2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测8三角函数的图象与性质

考点过关检测8 三角函数的图象与性质

一、单项选择题

1．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为(　　)

A．y＝sin     B．y＝sin

C．y＝sin     D．y＝sin

2．[2023·辽宁朝阳模拟]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的图象的相邻两个最高点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝(　　)

A．sin (2x＋)    B．2sin (2x＋)

C．sin (4x＋)    D．2sin (4x＋)

3．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则f(x)的(　　)

A．最小正周期为π，最小值为－－1

B．最小正周期为π，最小值为－2

C．最小正周期为2π，最小值为－－1

D．最小正周期为2π，最小值为－2

4．函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，则ω可以为(　　)

A．    B．

C．    D．1

5．[2022·全国甲卷]将函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)

A．    B．

C．    D．

6．[2022·北京卷]已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)

A．f(x)在(－，－)上单调递减

B．f(x)在(－，)上单调递增

C．f(x)在(0，)上单调递减

D．f(x)在(，)上单调递增

7．[2022·新高考Ⅰ卷]记函数f(x)＝sin(ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，则f＝(　　)

A．1    B．C．    D．3

8．[2023·山东济南模拟]阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)，若振幅是2，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(1，2)，则ω和φ的值分别为(　　)

A．π，    B．2π，C．π，－    D．2π，－

二、多项选择题

9．[2023·广东广州期末]下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是(　　)

A．y＝|cos x|    B．y＝sin 2x

C．y＝sin (2x＋)    D．y＝cos x

10．已知函数f(x)＝|tan x|，则下列结论正确的是(　　)

A．2π是f(x)的一个周期

B．f＝f

C．f(x)的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}

D．f(x)的图象关于点(，0)对称

11．[2023·山东济宁模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．φ＝－

B．f(－x)＝f(x－)

C．函数g(x)为偶函数

D．函数g(x)在区间[，]上单调递增

12．[2022·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点(，0)中心对称，则(　　)

A．f(x)在区间(0，)单调递减

B．f(x)在区间(－，)有两个极值点

C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴

D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线

[答题区]

三、填空题

13．函数y＝＋的定义域为________________．

14．[2023·河南驻马店模拟]写出一个同时满足下列条件①②③的函数f(x)＝________．

①f(x－1)为偶函数；②f(x)的最小值为3；③f(x)是周期为2的函数．

15．[2023·安徽合肥十中模拟]已知函数f(x)＝4sin (ωx＋φ)sin (ωx＋φ＋)，ω>0，|φ|<，如图是y＝f(x)的部分图象，则f＝________________．

16．[2023·北京海淀模拟]若函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)和g(x)＝cos2(x＋φ)－sin2(x＋φ)的图象的对称中心完全重合，则ω＝________；g＝________．

考点过关检测8　三角函数的图象与性质

1．答案：A

解析：将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线C1，则C1的解析式为y＝sin 2（x＋）＝sin （2x＋），再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为y＝sin （x＋）.

2．答案：D

解析：因为函数f（x）＝2sin （ωx＋φ）（0<φ<）的图象的相邻两个最高点的距离为，所以f（x）的图象的最小正周期为，所以ω＝＝4.因为f（0）＝，所以sin φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以f（x）＝2sin （4x＋）.故选D.

3．答案：B

解析：因为f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝2（sin 2x＋cos 2x）＝2sin （2x＋），所以最小正周期为T＝＝π，最小值为－2.故选B.

4．答案：C

解析：f（x）＝cos （ωx－）（ω>0），对称轴为：ωx－＝kπ⇒ω－＝kπ⇒ω＝2k＋（ω>0）（k∈Z），当k＝0时，ω取值为.故选C.

5．答案：C

解析：（通解）将函数f（x）＝sin （ωx＋）的图象向左平移个单位长度得到y＝sin （ωx＋ω＋）的图象．由所得图象关于y轴对称，得ω＋＝kπ＋（k∈Z），所以ω＝2k＋（k∈Z）.因为ω>0，所以令k＝0，得ω的最小值为.故选C.

（快解）由曲线C关于y轴对称，可得函数f（x）＝sin （ωx＋）的图象关于直线x＝对称，所以f（）＝sin （＋）＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C.

6．答案：C

解析：f（x）＝cos2x－sin2x＝cos2x.令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故f（x）的减区间为[kπ，＋kπ]，k∈Z.令k＝0，则[0，]为f（x）的一个减区间．因为（0，）⊆[0，]，所以f（x）在（0，）上单调递减．故选C.

7．答案：A

解析：因为＜T＜π，所以＜＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点（，2）中心对称，所以b＝2，ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝－＋k，k∈Z.令2＜－＋k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝.所以f（x）＝sin （x＋）＋2，所以f（）＝sin （＋）＋2＝1.故选A.

8．答案：A

解析：

根据题意，由振幅是2易知A＝2，故s＝2sin （ωt＋φ），则B（1，2）是s＝2sin （ωt＋φ）的最高点，不妨记B相邻的最低点为C，连接BC，过C作CD⊥y轴，过B作BD⊥CD，交点为D，如图．则CD＝，BD＝2－（－2）＝4，BC＝5，故42＋＝52，得T＝6，又因为T＝，故ω＝＝＝，得ω＝π，所以s＝2sin （t＋φ），因为B（1，2）是s＝2sin （t＋φ）的点，故2sin （＋φ）＝2，得＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ（k∈Z），因为|φ|<，所以φ＝，故ω＝π，φ＝.故选A.

9．答案：AC

解析：对于A，定义域为R，因为f（－x）＝|cos （－x）|＝|cos x|＝f（x），所以函数为偶函数，因为y＝|cos x|的图象是由y＝cos x的图象在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图象共同组成，所以y＝|cos x|的最小正周期为π，所以A正确；

对于B，定义域为R，因为f（－x）＝sin （－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以函数为奇函数，所以B错误；

对于C，定义域为R，f（x）＝sin （2x＋）＝cos 2x，最小正周期为π，因为f（－x）＝cos （－2x）＝cos 2x＝f（x），所以函数为偶函数，所以C正确；

对于D，定义域为R，最小正周期为＝4π，所以D错误．故选AC.

10．答案：ABC

解析：对A，画出函数f（x）＝|tan x|的图象（如图），易得f（x）的周期为T＝kπ（k∈Z），取k＝2，则2π是f（x）的一个周期，故A正确；

对B，f（x）是偶函数，则f＝f，故B正确；

对C，易得f（x）的定义域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，故C正确；

对D，由图可得点（，0）不是函数f（x）＝|tan x|图象的对称中心，故D错误．故选ABC.

11．答案：ABD

解析：由图象可得函数f（x）的最大值为2，最小值为－2，所以A＝2，又＋＝T，所以T＝π，故＝T＝π，所以ω＝2，由图象函数f（x）经过点（，2），所以2sin （2×＋φ）＝2，所以＋φ＝2kπ＋，所以φ＝2kπ－，又|φ|<，所以φ＝－，A对；所以f（x）＝2sin （2x－），故f（－x）＝2sin （－2x－）＝－2sin （2x＋），f（x－）＝2sin （2x－－）＝2sin （2x＋－π）＝－2sin （2x＋），所以f（－x）＝f（x－），B对；因为函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，所以g（x）＝f（x－）＝－2sin （2x＋），所以g（）＝－2sin ＝－，g（－）＝0，故函数g（x）不是偶函数，C错；由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z）可得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函数g（x）的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋]（k∈Z），取k＝0可知函数g（x）在区间[，]上单调递增，D对．故选ABD.

12．答案：AD

解析：由题意得：f＝sin （＋φ）＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝，故f（x）＝sin （2x＋）.

对A，当x∈（0，）时，2x＋∈（，），由正弦函数y＝sin u图象知y＝f（x）在（0，）上单调递减；

对B，当x∈（－，）时，2x＋∈（，），由正弦函数y＝sin u图象知y＝f（x）只有1个极值点，由2x＋＝，解得x＝，即x＝为函数的唯一极值点；

对C，当x＝时，2x＋＝3π，f＝0，直线x＝不是对称轴；

对D，由y′＝2cos （2x＋）＝－1得：cos （2x＋）＝－，解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，从而得：x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cos ＝－1，切线方程为：y－＝－（x－0）即y＝－x.故选AD.

13．答案：[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z

解析：由题可得，根据各象限三角函数值的符号可得，x的终边位于第二象限或者y轴的非负半轴，x轴的非正半轴，即x∈[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z.

14．答案：3cos （πx）

解析：f（x－1）为偶函数，故f（x）关于x＝－1对称；则满足题意的函数答案不唯一，可以为：f（x）＝3cos （πx）.

15．答案：－

解析：f（x）＝4sin （ωx＋φ）sin （ωx＋φ＋）＝4sin （ωx＋φ）cos （ωx＋φ）＝2sin （2ωx＋2φ）.由题图可知f（0）＝，即sin 2φ＝，由于点（0，）在单调递增的区间内，所以2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，根据题意知φ＝，由图象过点（，0），则ω＋＝2π，解得ω＝2，故f（x）＝2sin （4x＋），则f＝2sin ＝－2sin ＝－.

16．答案：2　－1或1

解析：由g（x）＝cos2（x＋φ）－sin2（x＋φ）＝cos2（x＋φ），与f（x）的对称中心完全重合，所以两函数的最小正周期相同，故ω＝2，则f（x）＝sin （2x＋），令2x＋＝kπ且k∈Z，故x＝－且k∈Z，则对称中心为（－，0）且k∈Z，所以cos 2（－＋φ）＝cos （kπ－＋2φ）＝0，故kπ－＋2φ＝k1π＋且k1∈Z，则φ＝＋，k1－k∈Z，令k1－k＝0，此时φ＝，所以g（x）＝cos 2（x＋），故g＝cos π＝－1；令k1－k＝1，此时φ＝，所以g（x）＝cos 2（x＋），故g＝cos 2π＝1；由余弦函数的周期性、对称性知：g＝±1.