2023北京房山初三（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京房山初三（上）期末数学（教师版），共27页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

2023北京房山初三（上）期末
数 学
2022.12
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 如图，在△中，∥，如果，，，那么的值为（ ）

A. B. C. D.
2. 在△中，∠，如果，，那么cos的值为（ ）

A. B.
C. D.
3. 把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（　　）
A. y＝（x+1）2+3 B. y＝（x﹣2）2+3 C. y＝（x﹣1）2+5 D. y＝（x﹣1）2+3
4. 如图，A，B，C是上的三个点，如果，那么的度数是（ ）

A. B. C. D.
5. 河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（ ）

A. 1：3 B. 1：2.6 C. 1：2.4 D. 1：2
6. 已知点，都是反比例函数图象上点，并且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 道路施工部门在铺设如图所示管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，两点同时从原点出发，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，设运动时间为秒，以为直径作圆，圆心为点．在运动的过程中有如下5个结论：
①的大小始终不变；
②始终经过原点O；
③半径的长是时间t的一次函数；
④圆心的运动轨迹是一条抛物线；
⑤始终平行于直线．
其中正确的有（ ）

A. ①②③④ B. ①②⑤ C. ②③⑤ D. ①②③⑤
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 二次函数的顶点坐标为__________．
10. 如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点和点，则a的值为______．

11. 在正方形网格中，的位置如图所示，则为______．

12. 平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，则的值为______．
13. 丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是______cm．

14. 如图，在矩形中，若，，且，则EF的长为______．

15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆直径是多少步．”该问题的答案是________步．
16. 在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点M，直线与y轴交于点N，当取得最小值时，k的值为______．
三、解答题（本题共12道小题，共68分．17，18，20，21每题5分；其余每题6分）
17. 计算：．
18. 抛物线过点和．
（1）求b，c的值；
（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．
19. 如图，中，，．

（1）求的长．
（2）是边上的高，请你补全图形，并求的长．
20. 下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图，及外一点．
求作：过点的的切线（为切点）．
作法：①连接与交于点，延长与交于点；
②以点为圆心，长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，在上方两弧交于点C；
③连接与交于点；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线．
请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明过程：
证明：由作图可知，，，
点______线段CO中点，
∴（____________）
又∵点D在上，
∴PD是切线（____________）
21. 如图，割线与交于点，割线过圆心，且．若，的半径，求弦的长．

22. 中央电视塔是一座现代化标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．）

23. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）．

24. 如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B．

（1）求m的值；
（2）点是图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E．
①当时，判断与的数量关系，并说明理由；
②当时，直接写出的取值范围．
25. 如图，是的直径，直线与相切于点．过点作于，线段与相交于点．

（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求BC的长．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上存在两点，，若，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点，，，当时，求的取值范围．
27. 已知为等腰直角三角形，，．点D为平面上一点，使得．点P为中点，连接．

（1）如图，点D为内一点．
①猜想的大小；
②写出线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）直接写出线段的最大值．
28. 在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．

（1）已知抛物线．
①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
（2）已知抛物线，若点A在直线上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 【答案】B
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得到，从而AC的长度可求.
【详解】∵∥
∴
∴
∴
故选B
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
2. 【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.
【详解】∵∠，，
∴
∴
故选A
【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
3. 【答案】D
【解析】
【详解】y= ，
所以,y=. 故选D.
4. 【答案】C
【解析】
【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得结果．
【详解】∵在中，，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．
5. 【答案】C
【解析】
【详解】分析：在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC的长，根据坡面AB的坡比即为∠BAC的正切即可求解.
详解：
在Rt△ABC中，BC=5米，AB=13米，
根据勾股定理得AC=12米，
∴AB的坡度i=.
故选C.
点睛：本题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
6. 【答案】D
【解析】
【分析】反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小，从而可得答案．
【详解】解：∵点，都是反比例函数图象上的点，
又∵，
∴反比例函数的图象在第一象限和第三象限，
即当时，y随x的增大而减小，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
7. 【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求长即可求解．
【详解】解：依题意，，
故选：B．
【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．
8. 【答案】D
【解析】
【分析】根据，即可判断①，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可判断②，根据题意求得，即可判断③④，待定系数法求得的解析式，即可判断⑤，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴，
∴的大小始终不变，故①正确；
如图，连接，

∴，
∴始终经过原点O，故②正确
∵
∴半径的长是时间t的一次函数，故③正确；
∵
∴圆心的运动轨迹是一条直线；故④不正确
∵，，
设直线的解析式为,
则，
解得：，
∴直线的解析式为
∴始终平行于直线，故⑤正确．
故选：D
【点睛】本题考查了求正切，，勾股定理，一次函数解析式，一次函数的平移，点的轨迹，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 【答案】（-1，-2）
【解析】
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为（-1，-2）．
故答案为：（-1，-2）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．
10. 【答案】##1.5
【解析】
【分析】根据点的坐标求得反比例函数解析式，将代入，即可求解．
【详解】解：依题意，将点代入，得出，
∴反比例数解析式为，
当时，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求得反比例函数解析式是解题的关键．
11. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意找到，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图

∵是直角三角形，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理与网格，掌握正弦的定义是解题的关键．
12. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得出，即，然后再根据一元二次方程的判别式，计算即可．
【详解】∵抛物线与轴只有一个交点，
∴方程根的判别式，
即，
解得：，
故答案为：1
【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，转为为一元二次方程根的判别式进行求解是解题的关键．
13. 【答案】5
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理可得：是该圆形镜子的直径，进而直接根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】如图，连接，
∵，
∴是该圆形镜子直径，
在Rt中，cm，cm，
∴cm，
∴该圆形镜子的半径是cm，
故答案为：5．


【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，证得是该圆形镜子的直径．
14. 【答案】
【解析】
【分析】先证明，由勾股定理求得的长度，再根据三角形相似比得到，最后利用得的长度．
【详解】∵是矩形，且，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴，，
∵，
∴
∴，且
∴
故答案为:．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，矩形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题关键．
15. 【答案】6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，
设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】考点：三角形的内切圆与内心．
16. 【答案】或##或
【解析】
【分析】根据题意先求得，即可求得，，设直线与x轴的交点为，然后利用，即可求得k的值
【详解】∵直线与y轴交于点N，
∴，且，
∴，
∵单位长1为半径的圆与直线相切于点M，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值，
∴点，
设直线与x轴的交点为，
∴，，，，
∴，
∴，
解得：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理及分式方程，解决问题的关键是利用三角形的面积相等解分式方程
三、解答题（本题共12道小题，共68分．17，18，20，21每题5分；其余每题6分）
17. 【答案】1．
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】原式=
=，
=1.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
18. （1）求b，c的值；
（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．
【答案】（1），
（2）（或）
【解析】
【分析】（1）将已知点代入抛物线表达式即可求得b，c的值
（2）根据抛物线的开口方向和对称轴即可求得x的取值范围
【小问1详解】
解：∵抛物线过点和，
∴，
解得：，
【小问2详解】
由（1）知抛物线的表达式为，
∵，，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∴当（或）时，函数y随x的增大而增大
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键
19. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解；
（2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，

∵
∴，
∵
∴,
∴
在中，,
∴
小问2详解】
解：如图，过点，作交的延长线于点

∵
∴
∵
∴
∵,
∴
【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20. 【答案】（1）见解析 （2）；三线合一；切线的判定定理
【解析】
【分析】（1）根据基本作图补全图形即可求解；
（2）根据作图步骤，由三线合一得出，进而判断是切线
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：由作图可知，，，
点线段CO中点，
∴（三线合一）
又∵点D在上，
∴是切线（切线的判定定理）
故答案为：；三线合一；切线的判定定理
【点睛】本题考查了切线的判定，三线合一，掌握基本作图是解题的关键．
21. 【答案】
【解析】
【分析】作于点，根据垂径定理可得出，根据含30度角的直角三角形的性质，在中，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，作于点，

则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
22. 【答案】中央电视塔的高度为米．
【解析】
【分析】在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴
在中，，
∴，
∴
∵
∴,
由图可知四边形是矩形，则
∴（米），
答：中央电视塔的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
23. 【答案】11.2
【解析】
【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理列出关于的方程求出答案即可．
【详解】∵，且，
∴．
根据题意可知，
∴（）．
根据勾股定理，得，
解得．
所以这个盏口半径的长为11.2．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
24. 【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）将点代入反比例函数，即可求得m的值
（2）①将分别代入反比例函数和一次函数即可求得与，即可得到与的数量关系
②当时，可以得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围
【小问1详解】
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴
【小问2详解】
①，理由如下：

将代入得： ，
∴
将代入得：，
∴,
∴
②∵，，且，

∴，，
∵，
∴，且，
∴，
∴或，且，
∴或
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解决问题的关键是能够按照点的坐标求到坐标轴的距离
25. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，根据半径相等，等边对等角得出，等量代换可得，即可得证；
（2）连接交于点，连接，勾股定理求得，垂径定理求得，进而勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵直线与相切于点．
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
【小问2详解】
解：如图，连接交于点，连接，

∵是的直径，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
26. 【答案】（1）直线
（2）抛物线有最高点，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）化为顶点式即可求解；
（2）将点，代入抛物线解析式，根据，得出，即可求解；
（3）将点，，代入抛物线解析式，根据时，结合，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：抛物线有最高点，理由如下
∵抛物线上存在两点，，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴，
∴此时抛物线有最高点；
【小问3详解】
将点，，，代入抛物线解析式得：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
27. 【答案】（1）①②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由为等腰直角三角形，，以为直径作圆，则点D与点P是圆周上的点，再根据等腰直角三角形的性质可知，然后利用圆周角的性质可知
②过点B作交的延长线于点E，得到，即可得，然后由，得到
（2）连接与圆周交于点D，点D在外，此时最大，利用勾股定理即可求得
【小问1详解】
①猜想，下面证明：
以为直径作，

∵，
∴点D在圆上，
连接，点P为中点，为等腰直角三角形，
∴，即点P也在上，
∴，
∴
②，下面证明：
过点B作交的延长线于点E，

由①知，，
∴，，即
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
【小问2详解】
连接与圆周交于点D，点D在外，此时最大，

∵，，
∴
【点睛】本题是圆与等腰直角三角形综合题，考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质及勾股定理，解决问题的关键是依据题意画出辅助圆
28. 【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意分别求得的长，的长，根据定义即可求解；
②根据题意求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”，根据它的“扁度”为2，建立方程，解方程即可求解；
（2）设的横坐标为，则的横坐标为，同（1）的方法求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”， 根据它的“扁度”不超过3，得出，根据点A在直线上也在抛物线上得出，代入解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：①如图，

∵点A横坐标为，
∴，
∴，则关于轴对称的点，
∴，
设与轴交于点，半圆与轴交于点，
∴，
∴，，
∴则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；
故答案：；
②∵关于轴对称，
∴当点A横坐标为t，则横坐标为，点在点左侧，
∴得到的“抛物圆”的“横径”长为，
“纵径”长为，
∵它的“扁度”为2，
即，
解得：或（舍去），
【小问2详解】
，
对称轴为，顶点为，
设的横坐标为，则的横坐标为，
∴，半径为，
∵在抛物线上，当时，，
∴“纵径”长为，“抛物圆”的“横径”长为，
“扁度”为，
即，即，
∵点A在直线上，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．