2022北京清华附中初三一模数学（教师版）

这是一份2022北京清华附中初三一模数学（教师版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京清华附中初三一模
数 学
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB等于（　　）

A. B. C. D.
2. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）.

A. B. C. D.
3. 广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
4. 点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
5. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
6. 如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是 　　

A. B. C. D.
7. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点，，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数.有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③
8. 《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（ ）
A. 300倍 B. 3000倍 C. 9000倍 D. 90000倍
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
10. 分解因式：__________．
11. 如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC．如果，AC＝10，那么EC＝________．

12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于_____．

13. 如图，是直径，为上的点，若，则=____ .

14. 某学习小组做抛掷一枚纪念币实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数
50
100
200
500
1000
2000
3000
4000
5000
“正面向上”的次数
19
38
68
168
349
707
1069
1400
1747
“正面向上”的频率
0.3800
0.3800
0.3400
0.3360
0.3490
0.3535
03563
0.3500
0.3494
下面有三个推断：
①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．
其中正确的是__．
15. 2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝_____（m）．

16. 如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．

三、解答题（本大题共12小题，共88分）
17. 计算：
18. 已知是关于x的方程的一个根，求的值．
19. 如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．

20. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知：直线及直线外一点P.

求作：直线，使.
作法：如图，

①在直线上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线于两点；
②连接，以B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线
所以直线就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：连接，
∵，
∴__________.
∴（______________）（填推理的依据）.
∴（_____________）（填推理的依据）.
21. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1＝0，其中k＜0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当k＝﹣1时，求该方程的根．
22. 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．
（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝　 　（用α的代数式表示），∠BFC的度数为　 　°；
（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．

23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标
（1）求点B的坐标；
（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；
（3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
24. 如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边上，且满足sinA＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）

25. 如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．

26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是　 　；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
27. 如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.

(1)求证：FB=FD；
(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N.
①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；
②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．

（1）如图1，已知点，；
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；
②在，，这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．
（2）如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
（3）如图3，已知点，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．

参考答案
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB等于（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴sinB=
故选A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．
2. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）.

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b、c对应点的数，再逐个判断得结论．
【详解】解：A.由数轴知：a＜b，选项A错误，故不符合题意；
B.由数轴知，a＜b＜0，选项B错误，故不符合题意；
C.因为a＜0，c＞0，所以a•c＜0，选项C错误，故不符合题意；
D.因为-4＜a＜-3，2＜b＜3，所以，选项D正确，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值．认真分析数轴，理解绝对值的含义是解决本题的关键．
3. 广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（ ）
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013．
故选A．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．
【详解】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点，
∴＝−6，＝−2，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．
5. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．
详解】，
=
=
=2a（a+3）
=2（a2+3a），
∵a2+3a+1=0，
∴a2+3a=-1，
∴原式=2×（-1）=-2，
故选D．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
6. 如图，已知点在的边上，下列条件中，不能判断的是 　　

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】A、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A＝∠A，AB2＝AP•AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
7. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点，，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数.有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给的点的信息进行辨析即可得解.
【详解】①上午派送快递所用时间最短的是A1，即甲，不足2小时；故①正确；
②下午派送快递件数最多的是B2即乙，超过40件，其余的不超过40件，故②错误；
③在这一天中派送快递总件数为：甲：40+25=65（件），乙：45+30=75；丙：30+20=50，所以这一天中派送快递总件数最多的是乙，故③正确.
故选B.
【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出图象中点的几何意义，是解答的关键．
8. 《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（ ）
A. 300倍 B. 3000倍 C. 9000倍 D. 90000倍
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意树叶尖部点的变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，根据位似变换的性质，以及平移的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．
∴树叶变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，
根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 可得变化后树叶的面积变为原来的90000倍
故选D
【点睛】本题考查了位似变换，平移的性质，相似图形的性质，根据题意理解变换是位似变换加平移变换是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≥3
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案：x≥3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
11. 如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC．如果，AC＝10，那么EC＝________．

【答案】4
【解析】
【分析】由DE∥BC，推出 , 可得EC= , 由此即可解决问题．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AC=10，
∴EC===4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于_____．

【答案】4
【解析】
【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．
【详解】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，
解得：k＝4，
因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形ODPC的面积等于4，
故答案为4
【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．
13. 如图，是的直径，为上的点，若，则=____ .

【答案】110
【解析】
【分析】AB为直径，，求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
【详解】解：为直径，

，
，
，
在圆内接四边形ABCD中，
．
故答案是：110．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14. 某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数
50
100
200
500
1000
2000
3000
4000
5000
“正面向上”的次数
19
38
68
168
349
707
1069
1400
1747
“正面向上”的频率
0.3800
0.3800
0.3400
0.3360
0.3490
0.3535
0.3563
0.3500
0.3494
下面有三个推断：
①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．
其中正确的是__．
【答案】②③
【解析】
【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.35，据此进行判断即可．
【详解】解：①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确，错误；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动，正确；
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，正确，
故答案为②③．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
15. 2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝_____（m）．

【答案】1154cosα．
【解析】
【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，
故答案为1154cosα．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．
16. 如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．

【答案】1
【解析】
【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；
【详解】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．

∵∠POB＝∠PAB＝90°，
∴P、O、B、A四点共圆，
∴∠AOB＝∠APB，
∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，
在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，
解得k＝（负根已经舍弃），
∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝，
∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，
∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，
∴△AMB∽△PNA，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝，
∴OB＝OM﹣BM＝1．
故答案为1
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．
三、解答题（本大题共12小题，共88分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后进行加减运算即可.
【详解】，
=，
=
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 已知是关于x的方程的一个根，求的值．
【答案】1.
【解析】
【分析】把 代入方程 中，即可得到关于m 的方程，变形即可求得所求代数式的值．
【详解】∵ 是关于x的方程的一个根，

∴ .
∴
∴
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，把方程的解代入得到关于k的方程是解题的关键．
19. 如图，AB∥CD，AC与BD交点为E，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）AC=9，CD=.
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；
（2）利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
（2）∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AC•AE，
∵AB＝6，AE＝4，
∴AC＝，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴ ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
20. 下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.
已知：直线及直线外一点P.

求作：直线，使.
作法：如图，

①在直线上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线于两点；
②连接，以B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线.
所以直线就是所求作的直线.
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：连接，
∵，
∴__________.
∴（______________）（填推理的依据）.
∴（_____________）（填推理的依据）.
【答案】（1）补全的图形如图所示见解析；（2），等弧所对的圆周角相等内错角相等，两直线平行.
【解析】
【分析】根据要求作图即可；
根据圆的有关性质和平行线的判定求解可得．
【详解】解：如图所示：

证明：连接PB、QB．
，
．
等弧所对圆周角相等．
内错角相等，两直线平行．
故答案为，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定．
21. 关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1＝0，其中k＜0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当k＝﹣1时，求该方程的根．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根．（2）x1＝﹣3，x2＝0
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式就可以证明结论；
（2）把k＝﹣1代入原方程即可得到结论．
【详解】解：（1）依题意可知，△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝5﹣4k，
∵k＜0，
∴△＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）当k＝﹣1时，方程为x2+3x＝0．
解得x1＝﹣3，x2＝0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
22. 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．
（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝　 　（用α的代数式表示），∠BFC的度数为　 　°；
（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．

【答案】（1）α﹣45°，45°；（2）图详见解析，点A到直线BE的距离为 ．
【解析】
【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．
（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．
【详解】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，
∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，
而∠BAC＝45°，
∴∠CAD＝α﹣45°；
∵AB＝AD，AE＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°．
故答案为α﹣45°；45°；

（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，
而AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝2，
而AG平分∠BAE，
∴AG⊥BE，
∴AG＝BE＝，
即此时点A到直线BE的距离为．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标
（1）求点B的坐标；
（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；
（3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）点B的坐标为（0，2）；（2）k的值为8；（3）k＜3.
【解析】
【分析】（1）有点A的坐标，可求出直线的解析式，再由解析式求出B点坐标．
（2）把点P的横坐标代入直线解析式即可求得点P的纵坐标，然后把点P代入反比例函数解析式即可得k值．
（3）根据△POB的面积为S的取值范围求点P的横坐标取值，然后把横坐标代入直线解析式，即可求得点P纵坐标的取值范围，进而求得k的取值范围．
【详解】解：（1）∵直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0）
∴﹣2+b＝0
∴b＝2
∴一次函数解析式为：y＝x+2
∴直线l与y轴交于点B为（0，2）
∴点B的坐标为（0，2）；
（2）∵双曲线y与直线l交于P，Q两点
∴点P在直线l上
∴当点P的横坐标为2时，y＝2+2＝4
∴点P的坐标为（2，4）
∴k＝2×4＝8
∴k的值为8
（3）如图：

S△BOP2×xp＝xp，
∵，
∴xp＜1，
∴yp＜3，
∴k＜3
【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数相交的知识点．根据交点既在一次函数上又在反比例函数上，即可解决问题．
24. 如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边上，且满足sinA＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）

【答案】BD=12,AB=15,补图详见解析.
【解析】
【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．
【详解】解：如图，作BD⊥l于点D，
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，
∴cosC＝cosα＝，
∴CD＝BC•cosC＝13×＝5，BD＝＝12，
在Rt△ABD中，BD＝12，sinA＝，
∴tanA＝，
∴AB＝＝15，AD＝＝9，
作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，

【点睛】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．
25. 如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．

【答案】（1）见解析；(2)
【解析】
【详解】分析: （1）连接CO，由且OC=OB,得,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；
（2）设AC=2x，由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB，通过证明△AOD∽△ACB，列出等式即可.
详解：（1）证明：如图，连接CO.

∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.
∴∠DCE+∠BCE=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵，
∴∠OCB=∠DCE.
∴∠OCE=∠DCB=90°.
∴OC⊥CE.
∵OC是半径，
∴CE是半圆的切线.
（2）解：设AC=2x，
∵在Rt△ACB中，,
∴BC=3x.
∴.
∵OD⊥AB,
∴∠AOD=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB.
∴.
∵，AD=2x+10,
∴.
解得 x=8.
∴.
则半圆的半径为.
点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是　 　；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
【答案】（1）①n﹣1；②x2＜﹣2或x2＞4；（2）m≤﹣2或m＝2或．
【解析】
【分析】（1）①把m＝2代入抛物线解析式，利用x＝−，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n的式子表示出顶点的纵坐标；
②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；
（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（−1，2），抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论．
【详解】解：（1）①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．
∵x1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．
（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3．
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；

当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；

当抛物线的顶点在线段PQ上时，2，解得m＝±2．

结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．
故答案为：m≤﹣2或m＝2或．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．
27. 如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.

(1)求证：FB=FD；
(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N.
①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；
②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）①AH⊥BF，见解析；②.
【解析】
【分析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题．
（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH=∠CBF即可解决问题．
②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．理由三角形的三边关系解决问题即可．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠BAD=90°，BA=AD，
∴∠FAD=∠FAB=45°，
∵AF=AF，
∴△FAD≌△FAB（SAS），
∴BF=DF．
（2）①解：结论：AH⊥BF．
理由：如图2中，连接CD．

∵∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∵AD=AB=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，
∴△ABH≌△DCE（SAS），
∴∠BAH=∠CDE，
∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，
∴△CFD≌△CFB（SAS），
∴∠CDF=∠CBF，
∴∠BAH=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAH+∠ABF=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AH⊥BF．
②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．

∵∠ANB=90°，AO=OB，
∴ON=AB=1，
在Rt△OBC中，OC=，
∵CN≥OC-ON，
∴CN≥-1，
∴CN的最小值为-1．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题.
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．

（1）如图1，已知点，；
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；
②在，，这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．
（2）如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
（3）如图3，已知点，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点（其中）是坐标平面内一个动点，且，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）①3，；
②；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）①观察图像d的最小值是OA，最大值为OB，由勾股定理即可求解；②根据平衡点的定义即可求解；
（2）如图，可得OE1=3，解得此时的x=，OE2=7，解得x=，即可得到范围；
（3）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与相切，此时要想上的任意两点都是圆的平衡点，需要满足，，分两种情况求出b值即可判断．
【小问1详解】
由题意可知，OA=3，，
则d的最小值为3，最大值为，
根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点；
【小问2详解】
如图，

由题意点D到⊙O的距离是4，最远距离是6，
∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，
即OE1=3，可得，
同理：当E2到⊙O最小距离是6时，OE2=7，此时，
综上所述，满足条件的x的值为：；
【小问3详解】
∵点C在以O为圆心，5为半径的圆上运动，
∴以C为圆心、2为半径的圆刚好与相切，此时要想上任意的两点都是⊙C的平衡点需要满足，，
如下图，当CK=6时，作CM⊥HK于点M，

根据题意有：
，解得：，（b为负值的舍去），
当CH=6时，如下图，同理可得，


在两者中间时，a=0，b=5，
观察图像可知：满足条件的b的取值范围：．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了点P到点Q是图形W的一对平衡点、两圆的位置关系、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊位置解决问题，属于压轴题．