2022北京平谷初三一模数学（教师版）

这是一份2022北京平谷初三一模数学（教师版），共23页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2022北京平谷初三一模
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　）


A. 长方体 B. 三棱锥 C. 圆锥 D. 三棱柱
2. 2022年北京冬奥会圆满结束，运动健儿奋力摘金夺银的背后，雪务工作人员也在攻坚克难，实现了一项项技术突破，为奥运提供了有力的雪务保障．整个造雪期持续6周，人工造雪面积达到125000平方米，125000用科学记数法表示应为（　　）
A. 1.25×105 B. 1.25×104 C. 1.25×103 D. 1.25×102
3. 如图，直线AB∥CD，点F是CD上一点，∠EFG＝90°，EF交AB于M，若∠CFG＝35°，则∠AME的大小为（　　）


A. 35° B. 55° C. 125° D. 130°
4. 2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（　　）

A. 它是轴对称图形 B. 它是中心对称图形
C. 它的外角和是360° D. 它的每个内角都是140°
5. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　）

A. ﹣1 B. ﹣2 C. 2 D. 3
6. 从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（　　）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（　　）

A. 55° B. 110° C. 130° D. 140°
8. 研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　）
A. 300度 B. 500度 C. 250度 D. 200度
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若分式有意义，x 的取值范围是_________.
10. 分解因式：ax2+2ax+a=____________．
11. 方程1﹣＝0的解为 _____．
12. 若已知是一个无理数，且1＜＜3，请写出一个满足条件的a值 _____．
13. 如图，正方形ABCD中，将线段BC绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接BE、DE，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是 _____．

14. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
15. 甲、乙两个人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为 ，，则_____．（填“＞”“＜”或“＝”）


16. 新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价（a+1）元，重（m﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差 _____元，通过称重其他盲盒，大家发现：
称重情况
重量大于小林的盲盒的
与小林的盲盒一样重
重量介于小林和小李之间的
与小李的盲盒一样重
重量小于小李的盲盒的
盲盒个数
0
5
0
9
4
若这些礼物共花费2018元，则a＝_____元．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 计算：．
18. 解不等式组：x+2>2x5x+32≥x．
19. 已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣1）的值．
20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：
①在⊙O中作直径AB，分别以A、B圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D；
②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；
③大⊙O即为所求作．


（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成如下证明：
证明：连接CA、CB
在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点，
∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据）
设小O半径长为r
∵OB＝OD，∠DOB＝90°
∴BD＝r
∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
23. 某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
52
56
5.2
…
请解决以下问题：
（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 　 　米（精确到0.1）；
（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
24. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．


（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD长．
25. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．


（1）求证：∠DCB＝∠DOF；
（2）若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．
26. 2022年2月20日晚，北京冬奥会在国家体育场上空燃放的绚丽烟花中圆满落幕，伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰上运动、了解冰上运动知识的热潮，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并随机从七八两个年级各抽取30名同学的数据（成绩）
进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息：
a．七年级测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90）：
b．七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是：
70 72 73 75 76 77 78 78
c．七、八两个年级测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
七年级
71.1
m
80
八年级
72
73
73
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是 　　，理由是 　　．
（3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人．


27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．
34. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠CAE＝∠BCD；
（3）判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．

（1）如图1，若r为1．
①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是 　 　；
②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；
（2）已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1. 【答案】D
【解析】
【分析】展开图为三个长方形，两个三角形，由此可知是三棱柱的展开图．
【详解】解：∵展开图为三个长方形，两个三角形，
∴这个几何体是三棱柱，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三棱柱的展开图，熟知几何体的展开图是解题的关键．
2. 【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 【答案】B
【解析】
【分析】先求出∠CFE的度数，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵∠EFG=90°，∠CFG=35°，
∴∠CFE=∠EFG-∠CFG=55°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CFE=55°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
4. 【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断A、B的正误；根据正多边形的外角和为360°可判断C的正误；根据正n边形的内角为可判断D的正误．
【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形
∴A正确，B错误；
由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°
∴C正确；
由正n边形的内角为，可得
∴D正确；
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角、外角与对称性．
5. 【答案】A
【解析】
【分析】由数轴可得，，由对各选项进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得，
∵，
∴的值可以为
故选A．
【点睛】本题考查了实数与数轴上的点的关系．解题的关键在于确定实数在数轴上的位置．
6. 【答案】C
【解析】
【分析】根据题意用列举法求概率即可．
【详解】解：随机抽取两名同学所能产生的所有结果，
它们是：甲与乙，甲与丙，乙与丙，
所有可能的结果共3种，
并且出现的可能性相等，
甲与乙恰好被选中的概率：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用列举法求概率，能正确列举出所有等可能结果是做出本题的关键．
7. 【答案】D
【解析】
【分析】先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
8. 【答案】C
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式，然后求出当时y的值即可得到答案．
【详解】解：设近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的反比例函数解析式为，
∵小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
∴小明的近视镜度数可以调整为250度，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于能够正确求出反比例函数解析式．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 【答案】
【解析】
【详解】根据分式的分母不等于0时，分式有意义，列出不等式即可得出答案.
解：因为分式有意义，
所以，
解得，
故答案为.
10. 【答案】a（x+1）2
【解析】
【详解】ax2+2ax+a
=a（x2+2x+1）
=a（x+1）2．
11. 【答案】
【解析】
【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
12. 【答案】2
【解析】
【分析】只需让介于1和9之间，且开方后不是一个有理数即可．
【详解】解：，
．
故答案：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的概念，常见的有开方开不尽的数．
13.【答案】
【解析】
【分析】由旋转的性质可知 ，，，，到边上的高；到边上的高，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知 ，
∵
∴
∴到边上的高；到边上的高
∴



故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14. 【答案】k＜1．
【解析】
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.
15. 【答案】>
【解析】
【分析】根据成绩起伏越小，方差越小，成绩起伏越大，方差越大进行求解即可．
【详解】解：由统计图可知，在10次射击中，甲成绩的起伏比乙成绩的起伏要大，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，折线统计图，熟知成绩起伏越小，方差越小，成绩起伏越大，方差越大是解题的关键．
16. 【答案】 ①. 1 ②. 50
【解析】
【分析】由题意知，盲盒中礼物的重量组合有，，共三种情况，由图表可知，小林的盲盒的重量组合为，小李的盲盒的重量组合为，共有个盲盒，表示出小林与小李盲盒的总价钱后作差即可；由图表可得盲盒中共有礼物有个，礼物有个，列一元一次方程，计算求解即可得到的值．
【详解】解：由题意知，盲盒中礼物的重量组合有，，共三种情况，总重量分别为，，千克
∴由图表可知，小林的盲盒的重量组合为，重量为千克，小李的盲盒的重量组合为，重量为千克，共有个盲盒
∴小林盲盒的总价钱为元，小李盲盒的总价钱为元
∴两个盲盒的总价钱相差元
∴盲盒中共有礼物有个，礼物有个
∴
解得
故答案为：1；50．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于确定两种礼物的个数与不同盲盒的个数．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 【答案】
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式
移项合并得
系数化为1得
∴不等式的解集为；
解不等式
去分母得
移项合并得
系数化为1得
∴不等式的解集为；
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的计算．
19. 【答案】
【解析】
【分析】，由可得，整体代入求解即可．
【详解】解：



∵
∴
∴原式．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于熟练掌握平方差公式及整体代入的思想．
20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）按照题意作图即可；
（2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；

【小问2详解】
证明：连接CA、CB
在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点，
∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据）
设小O半径长为r
∵OB＝OD，∠DOB＝90°
∴BD＝r
∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O．

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．
21. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过待定系数法将点，代入解析式求出的值，进而可得一次函数表达式；
（2）由题意知，将代入得，则，根据题意：， 如图，当时，与平行，可知当时，成立；当时，将代入中得，解得，由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；进而可得m的取值范围．
【小问1详解】
∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：．
【小问2详解】
解：由（1）得：，将代入得，则
根据题意：， 如图，

当时，与平行，可知当时，成立；
当时，将代入中得，解得
由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；
综上所述，
∴m的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质．运用数形结合的思想是解题的关键．
22. 【答案】（1）作图见解析 （2）6.7
（3）游船有被喷泉淋到的危险
【解析】
【分析】（1）以左下角的点为原点，建立平面直角坐标系如图，然后描点，最后用平滑的曲线连接即可；
（2）根据图象中米时，估算值即可；
（3）由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，将代入，解得，可得二次函数顶点式，由平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米，可将代入二次函数解析式中求得的值，然后与比较大小，进而可得出结论．
【小问1详解】
解：建立如图坐标系，描点后用平滑的曲线连接即可，
【小问2详解】
解：米时，由图象可估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米
故答案为：6.7．
【小问3详解】
解：由点坐标可知，该二次函数图象的顶点坐标为
设二次函数的解析式为
将代入，解得
∵平顶游船宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米
∴将代入二次函数解析式中得米
∵
∴游船有被喷泉淋到的危险．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用．解题的关键在于熟练掌握二次函数的知识并灵活运用．
23. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的判定条件：对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可；
（2）先证明∠AEC=∠EBF，从而求出CE=3，，BC =8，利用勾股定理求出AB的长，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．
【小问1详解】
解：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE=DF，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形AEBF是菱形，
∴，AE=BF=BE=5，
∴∠AEC=∠EBF，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴CE=3，
∴，BC=CE+BE=8，
∴，
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
24. 【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接OC，先证明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可证∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可证∠DOF=∠OAC，即可证明∠DOF=∠DCB；
（2）先证△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，则CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，则，，即可得到，可证△OFD∽△ACD，得到，则．
【小问1详解】
解：如图所示，连接OC，
∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，
∴∠DCB=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，
∵，
∴∠DOF=∠OAC，
∴∠DOF=∠DCB；

【小问2详解】
解：设OF与BC交于点G，
∵，
∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°
∴，∠CGF=90°
∴，
∴CG=2，
∵∠BCD=∠OAC，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
同理可证△OFD∽△ACD，
∴，
∴，
∴．


【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．
25 【答案】（1）74 （2）同学B；同学A在七年级的排名是第15名，八年级测试成绩的中位数和众数都是73，故同学B在八年级的排名中在第14名或第14名之前
（3）140人
【解析】
【分析】（1）根据频数分布直方图的数据和七年级测试成绩在70≤x＜80这一组的数据，可求出七年级成绩的中位数m；
（2）由题可得同学A在七年级的排名，由八年级测试成绩的中位数和众数都是73，可知同学B在八年级的排名中在第17名或第17名之后，故可推出同学A排名更靠前；
（3）根据频数分布直方图的数据和七年级测试成绩在70≤x＜80这一组的数据，可估算出七年级所有学生中成绩不低于75分的人数．
【小问1详解】
解：根据频数分布直方图的数据，可知七年级测试成绩在40≤x＜70的共有1+4+7=12（人），
七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是：
70 72 73 75 76 77 78 78
∵七年级抽取的是30名同学的数据，
∴七年级成绩的中位数；
【小问2详解】
根据频数分布直方图的数据，可知七年级测试成绩在80≤x＜90的有10人，
七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是：
70 72 73 75 76 77 78 78
故可得出同学A在七年级的排名是第15名，
由八年级测试成绩的中位数和众数都是73，且八年级抽取的是30名同学的数据，
可知八年级的第15、16名的成绩都是73，故同学B在八年级的排名中在第14名或第14名之前，
故同学B排名更靠前；
【小问3详解】
（人）
故七年级所有学生中成绩不低于75分的约有140人．
【点睛】本题考查的是平时分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，能够综合运用以上知识分析数据是解题的关键．
26. 【答案】（1）；
（2）；
（3）或
【解析】
【分析】（1）把代入解析式，解答即可；
（2）根据对称轴为直线计算即可；
（3）把坐标代入解析式后，整理，最终转化为解不等式问题．
【小问1详解】
解：把代入解析式，
，
解得，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：二次函数的对称轴为直线：，
【小问3详解】
解：将A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入得，
，
整理得：，，
当y1•y2＜0时，则，
，
，
令，
解得：，
根据高次不等式的求解法则，
的解集为，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质．
27 【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；
（3）过点作于点，则，证明，结合已知条件EF＝EC，证明，即可得到．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
，
，
．
，
，
，
即∠CAE＝∠BCD．
【小问3详解】
，理由如下，
如图，过点作于点，则，

由（2）可知，
，
，
．
又，
，
．
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
28. 【答案】（1）① ；②或
（2）
【解析】
【分析】（1）由⊙O友好点的定义可判段出结果；点P应在半径为的圆环内．
（2）根据定义可列出不等式组，解出可得到结果．
【小问1详解】
①由题意知：当时，P为⊙O的友好点．

∴⊙O的友好点是．
②根据友好点定义，只要点在半径圆环内都是⊙O的友好点，
或．
【小问2详解】
∵M（0，3），N（3，0），
∴圆心O到线段MN的距离为
∴在x轴上点N到⊙O最左侧的距离为
∴根据题意可列不等式组得

解得

∴不等式组解集为：
∴r的取值范围为：
【点睛】本题考查圆综合题，中心对称，列不等式组等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题．