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2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期中数学试卷-普通用卷
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期中数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若a>b，则下列式子一定成立的是( )
A. a+1b−2C. −2a>−2bD. a33. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是( )
A. x>−1B. −1−1或x≤2
4. 四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13.其中直角三角形是( )
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
5. 已知点A(2−a,a+1)在第四象限，则a的取值范围是( )
A. a<−1B. −16. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7. 若不等式组x+5<5x+1x−m>0的解集是x>1，则m的取值范围是( )
A. m≥1B. m≤1C. m≥0D. m≤0
8. 如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是( )
A. ΔABC≌ΔDEFB. ∠DEF=90°
C. AC=DFD. EC=CF
9. 如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是______．
12. 如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于______ cm．
13. 如图，已知函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式x+1≥ax+3的解集是______ ．
14. 如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为______．
15. 如图，Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式：x+12+x−13≤1，并把解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
解不等式组：5x<1+4x1−x2−1≥x+43．
18. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC，∠C=90°，AC(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数．
19. (本小题8.0分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DE的长．
20. (本小题8.0分)
△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
(3)在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标．
21. (本小题8.0分)
某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元．
①求关于a的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
22. (本小题8.0分)
已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°．
(1)如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
(2)若将Rt△MON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB=4，ON=3，求出线段AM的长；
(3)若将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2=2PO2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：A.a>b，不妨设a=4，b=1，
则a+1>b+2，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴a−2>b−2，故本选项符合题意；
C.∵a>b，
∴−2a<−2b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴a3>b3，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1、不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式的性质2、不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3、不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】B
【解析】解：在数轴上表示为如图所示的是−1故选：B．
根据数轴上表示的解集确定出所求即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：①22+32≠42，不能构成直角三角形；
②32+42=52，能构成直角三角形；
③52+62≠72，不能构成直角三角形；
④52+122=132，能构成直角三角形．
综上所述：能构成直角三角形是②④．
故选：C．
已知三角形三边的长判断这个三角形是否为直角三角形，根据勾股定理逆定理只需要判断最大的边的平方是否等于另外两个边的平方和即可．
本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】A
【解析】解：∵点A(2−a,a+1)在第四象限，
∴2−a>0a+1<0，
解得：a<−1．
故选：A．
根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得到关于a的不等式组，求解即可．
此题主要考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN//BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∵MN=ME+EN，
∴MN=BM+CN．
∵BM+CN=9，
∴MN=9，
故选：D．
由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，得∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后得到边之间的关系，即可求得结论．
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME和△CNE是等腰三角形．
7.【答案】B
【解析】解：解不等式x+5<5x+1，得：x>1，
解不等式x−m>0，得：x>m，
∵不等式组的解集为x>1，
∴m≤1，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得m的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确；
B、△DEF为直角三角形，则∠DEF=90°成立，故正确；
C、△ABC≌△DEF，则AC=DF成立，故正确；
D、EC=CF不一定成立，故错误．
故选D．
由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9.【答案】B
【解析】解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故选B．
根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
10.【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△POE和△POF中，
∠POE=∠POF∠PEO=∠PFOPO=PO，
∴△POE≌△POF(AAS)，
∴OE=OF，PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+(OF−NF)=2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】16
【解析】解：当等腰三角形的另一边为7时，7−2<7<7+2，符合三角形的三边关系，此三角形的周长=7+7+2=16；
当等腰三角形的另一边为2时，2+2<7，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在；
故答案为：16．
先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
12.【答案】10
【解析】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE=BE
∴AE+CE=BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC=8cm
∴AE+CE=BE+CE=10cm．
故填10．
由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求出AC的长．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质；进行线段的等量代换后得到AE+CE=BE+CE是正确解答本题的关键．
13.【答案】x≥1
【解析】解：由图知：当直线y=x+1的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+1≥ax+3成立；
由于两直线的交点横坐标为：x=1，
观察图象可知，当x≥1时，x+1≥ax+3，即不等式x+1≥ax+3的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】4
【解析】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，
∴a=5−3=2，b=−2+4=2，
∴a+b=4，
故答案为：4．
利用坐标平移的变化规律解决问题即可．
本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律．
15.【答案】3：4：5
【解析】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OH⊥BC于H，如图，
∵Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，
∴AC= 62+82=10，
∵O点为△ABC三内角的平分线的交点，OE⊥AB，OF⊥AC，OH⊥BC，
∴OE=OF=OH，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12AB⋅OE：(12BC⋅OH)：(12AC⋅OF)=AB：BC：AC=6：8：10=3：4：5．
故答案为：3：4：5．
过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OH⊥BC于H，如图，先利用勾股定理计算出AC=10，再根据角平分线的性质得到OE=OF=OH，然后利用三角形面积公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：AC．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16.【答案】解：去分母，得：3(x+1)+2(x−1)≤6，
去括号，得：3x+3+2x−2≤6，
移项，得：3x+2x≤6−3+2，
合并同类项，得：5x≤5，
系数化为1，得：x≤1，
将解集表示在数轴上如下：
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
17.【答案】解：5x<1+4x①1−x2−1≥x+43②，
解不等式①得：x<1；
解不等式②得：x≤−115；
∴不等式组的解集为x≤−115．
【解析】分别解每个不等式，再求出公共解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤，能求出不等式的公共解集．
18.【答案】解：(1)如图所示：点D即为所求；
(2)∵△ABC，∠C=90°，∠B=32°，
∴∠BAC=58°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB=32°，
∴∠CAD=58°−32°=26°．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，交BC于一点，这点就是D点位置；
(2)根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC的度数，再根据等边对等角可得∠DAB的度数，进而可得答案．
此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的做法，关键是掌握直角三角形两锐角互余，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
19.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°−∠EDC=30°；
(2)∵∠B=∠EDC=∠ACD=60°，
∴∠DEC=180°−∠EDC−∠ACD=60°，
∴△EDC为等边三角形．
∴CE=DC=DE．
∵DC=2，
∴DE=2．
【解析】(1)证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，则可得出答案；
(2)先求得CF=DE，然后由EC=DC进行求解即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点A(−2,3)、B(−1,1)、C(0,2)关于点C的对称点坐标分别为A1(2,1)、B1(1,3)、C1(0,2)，依次连结A1、B1、C1．
△A1B1C1就是所求的图形．
(2)点A1(2,1)、B1(1,3)、C1(0,2)向右平移4个单位得到的对应点分别为A2(6,1)、B2(5,3)、C2(4,2)，依次连结A2、B2、C2．
△A2B2C2就是所求的图形．
(3)作点A1(2,1)关于x轴的对称点D(2,−1)，连结C2D，交x轴于点P，连结A1P.
由“两点之间，线段最短”可知，此时PA1+PC2=DC2的值最小，
∴点P就是所求的点．
设直线PC2的一次函数关系式为y=kx+b，
由作图可得，点D在直线PC2上，
把D(2,−1)、C2(4,2)代入y=kx+b，
得2k+b=−14k+b=2，解得k=32b=−4，
∴y=32x−4．
当y=0时，由32x−4=0，得x=83，
∴P(83,0)．
综上所述，经过点P、C2的一次函数关系式为y=32x−4，点P的坐标为(83,0)．
【解析】(1)由中心对称的定义，作出点A、B关于点C的对称点，点C的对称点与点C重合，再依次连结得到的各点即可求得△A1B1C1．
(2)根据平移的特征：图形上的对应点都沿平移方向平移了相同的距离，作出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，连结A2、B2、C2，求得△A2B2C2．
(3)作点A1关于x轴的对称点D，连结C2D交x轴于点P，则点P就是所求的点，由中心对称、平移和轴对称的特征求出点C2、D的坐标，再用待定系数法求出直线PC2的一次函数关系式及点P的坐标．
此题重点中心对称、轴对称、平移的特征和作图、最短路线问题的作图以及图形与坐标、用待定系数法求一次函数关系式等知识和方法，图形结合，动手动脑，难度适中，是一道很好的练习题．
21.【答案】解：(1)设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑销售利润为y元，
根据题意，得10x+20y=400020x+10y=3500，
解得x=100y=150，
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元．
(2)①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑(100−a)台，
依题意得：w=100a+150(100−a)，即w=−50a+15000，
∵100−a≥0100−a≤2a，
解得3313≤a≤100，
∴w关于a的函数关系式为w=−50a+15000(3313≤a≤100且a为正整数)，
②∵w=−50a+15000，−50<0，
∴w随a的增大而减小，
∵3313≤a≤100且a为正整数，
∴当a=34时，w取得最大值，则购进B型电脑100−34=66(台)，
答：商店购进A型电脑34台和购进B型电脑66台的销售总利润最大．
【解析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
(2)①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
22.【答案】(1)证明：如图1中，
∵∠AOB=∠MON=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵AO=BO，OM=ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)．
(2)如图3−1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．
∵△AOM≌△BON，
∴AM=BN，∠OAM=∠OBN，
∵∠AJN=∠BJO，
∴∠ANJ=∠JOB=90°，
∵OM=ON=3，∠MON=90°，OH⊥MN，
∴MN=3 2，MH=HN=OH=3 22，
∴AH= OA2−OH2= 42−(3 22)2= 462，
∴BN=AM=MH+AH= 46+3 22．
如图3−2中，同法可证AM=BN= 46−3 22．
综上所述，BN的长为 46+3 22或 46−3 22．
(3)证明：如图2中，在OB上取一点T，使得OT=OP，连接PT，NT．
∵∠MON=∠POT=90°，
∴∠MOP=∠NOT，
∵OM=ON，OP=OT，
∴△POM≌△TON(SAS)，
∴PM=TN，∠M=∠ONT=45°，
∵∠ONM=∠ONT=45°，
∴∠PAN=∠ONM+∠ONT=90°，
∴PT2=PN2+NT2=PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2=2OP2，
∴PM2+NN2=2OP2．
【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．
(2)分两种情形分别画出图形求解即可．
(3)如图2中，在OB上取一点T，使得OT=OP，连接PT，NT.证明∠PAN=∠ONM+∠ONT=90°，可得PT2=PN2+NT2=PN2+PM2，即可得出结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若a>b，则下列式子一定成立的是( )
A. a+1
A. x>−1B. −1
4. 四个三角形的边长分别是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13.其中直角三角形是( )
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
5. 已知点A(2−a,a+1)在第四象限，则a的取值范围是( )
A. a<−1B. −1
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
7. 若不等式组x+5<5x+1x−m>0的解集是x>1，则m的取值范围是( )
A. m≥1B. m≤1C. m≥0D. m≤0
8. 如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是( )
A. ΔABC≌ΔDEFB. ∠DEF=90°
C. AC=DFD. EC=CF
9. 如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
10. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是______．
12. 如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于______ cm．
13. 如图，已知函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x的不等式x+1≥ax+3的解集是______ ．
14. 如图，将线段AB平移到线段CD的位置，则a+b的值为______．
15. 如图，Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式：x+12+x−13≤1，并把解集在数轴上表示出来．
17. (本小题8.0分)
解不等式组：5x<1+4x1−x2−1≥x+43．
18. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC，∠C=90°，AC
(2)连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数．
19. (本小题8.0分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数；
(2)若CD=2，求DE的长．
20. (本小题8.0分)
△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
(2)将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．
(3)在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标．
21. (本小题8.0分)
某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元．
①求关于a的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
22. (本小题8.0分)
已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°．
(1)如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
(2)若将Rt△MON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB=4，ON=3，求出线段AM的长；
(3)若将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2=2PO2．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：A.a>b，不妨设a=4，b=1，
则a+1>b+2，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴a−2>b−2，故本选项符合题意；
C.∵a>b，
∴−2a<−2b，故本选项不符合题意；
D.∵a>b，
∴a3>b3，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1、不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式的性质2、不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3、不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】B
【解析】解：在数轴上表示为如图所示的是−1
根据数轴上表示的解集确定出所求即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：①22+32≠42，不能构成直角三角形；
②32+42=52，能构成直角三角形；
③52+62≠72，不能构成直角三角形；
④52+122=132，能构成直角三角形．
综上所述：能构成直角三角形是②④．
故选：C．
已知三角形三边的长判断这个三角形是否为直角三角形，根据勾股定理逆定理只需要判断最大的边的平方是否等于另外两个边的平方和即可．
本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】A
【解析】解：∵点A(2−a,a+1)在第四象限，
∴2−a>0a+1<0，
解得：a<−1．
故选：A．
根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得到关于a的不等式组，求解即可．
此题主要考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN//BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∵MN=ME+EN，
∴MN=BM+CN．
∵BM+CN=9，
∴MN=9，
故选：D．
由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，得∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可得∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后得到边之间的关系，即可求得结论．
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME和△CNE是等腰三角形．
7.【答案】B
【解析】解：解不等式x+5<5x+1，得：x>1，
解不等式x−m>0，得：x>m，
∵不等式组的解集为x>1，
∴m≤1，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得m的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A、Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确；
B、△DEF为直角三角形，则∠DEF=90°成立，故正确；
C、△ABC≌△DEF，则AC=DF成立，故正确；
D、EC=CF不一定成立，故错误．
故选D．
由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9.【答案】B
【解析】解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故选B．
根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
10.【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在△POE和△POF中，
∠POE=∠POF∠PEO=∠PFOPO=PO，
∴△POE≌△POF(AAS)，
∴OE=OF，PE=PF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
∵OM+ON=OE+ME+(OF−NF)=2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】16
【解析】解：当等腰三角形的另一边为7时，7−2<7<7+2，符合三角形的三边关系，此三角形的周长=7+7+2=16；
当等腰三角形的另一边为2时，2+2<7，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在；
故答案为：16．
先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
12.【答案】10
【解析】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE=BE
∴AE+CE=BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC=8cm
∴AE+CE=BE+CE=10cm．
故填10．
由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求出AC的长．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质；进行线段的等量代换后得到AE+CE=BE+CE是正确解答本题的关键．
13.【答案】x≥1
【解析】解：由图知：当直线y=x+1的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+1≥ax+3成立；
由于两直线的交点横坐标为：x=1，
观察图象可知，当x≥1时，x+1≥ax+3，即不等式x+1≥ax+3的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】4
【解析】解：由题意，线段AB向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段CD，
∴a=5−3=2，b=−2+4=2，
∴a+b=4，
故答案为：4．
利用坐标平移的变化规律解决问题即可．
本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的变化规律．
15.【答案】3：4：5
【解析】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OH⊥BC于H，如图，
∵Rt△ABC的两直角边AB，BC长分别为6，8，
∴AC= 62+82=10，
∵O点为△ABC三内角的平分线的交点，OE⊥AB，OF⊥AC，OH⊥BC，
∴OE=OF=OH，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12AB⋅OE：(12BC⋅OH)：(12AC⋅OF)=AB：BC：AC=6：8：10=3：4：5．
故答案为：3：4：5．
过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OH⊥BC于H，如图，先利用勾股定理计算出AC=10，再根据角平分线的性质得到OE=OF=OH，然后利用三角形面积公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：AC．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16.【答案】解：去分母，得：3(x+1)+2(x−1)≤6，
去括号，得：3x+3+2x−2≤6，
移项，得：3x+2x≤6−3+2，
合并同类项，得：5x≤5，
系数化为1，得：x≤1，
将解集表示在数轴上如下：
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
17.【答案】解：5x<1+4x①1−x2−1≥x+43②，
解不等式①得：x<1；
解不等式②得：x≤−115；
∴不等式组的解集为x≤−115．
【解析】分别解每个不等式，再求出公共解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤，能求出不等式的公共解集．
18.【答案】解：(1)如图所示：点D即为所求；
(2)∵△ABC，∠C=90°，∠B=32°，
∴∠BAC=58°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB=32°，
∴∠CAD=58°−32°=26°．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，交BC于一点，这点就是D点位置；
(2)根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC的度数，再根据等边对等角可得∠DAB的度数，进而可得答案．
此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的做法，关键是掌握直角三角形两锐角互余，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
19.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°−∠EDC=30°；
(2)∵∠B=∠EDC=∠ACD=60°，
∴∠DEC=180°−∠EDC−∠ACD=60°，
∴△EDC为等边三角形．
∴CE=DC=DE．
∵DC=2，
∴DE=2．
【解析】(1)证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F=30°，则可得出答案；
(2)先求得CF=DE，然后由EC=DC进行求解即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点A(−2,3)、B(−1,1)、C(0,2)关于点C的对称点坐标分别为A1(2,1)、B1(1,3)、C1(0,2)，依次连结A1、B1、C1．
△A1B1C1就是所求的图形．
(2)点A1(2,1)、B1(1,3)、C1(0,2)向右平移4个单位得到的对应点分别为A2(6,1)、B2(5,3)、C2(4,2)，依次连结A2、B2、C2．
△A2B2C2就是所求的图形．
(3)作点A1(2,1)关于x轴的对称点D(2,−1)，连结C2D，交x轴于点P，连结A1P.
由“两点之间，线段最短”可知，此时PA1+PC2=DC2的值最小，
∴点P就是所求的点．
设直线PC2的一次函数关系式为y=kx+b，
由作图可得，点D在直线PC2上，
把D(2,−1)、C2(4,2)代入y=kx+b，
得2k+b=−14k+b=2，解得k=32b=−4，
∴y=32x−4．
当y=0时，由32x−4=0，得x=83，
∴P(83,0)．
综上所述，经过点P、C2的一次函数关系式为y=32x−4，点P的坐标为(83,0)．
【解析】(1)由中心对称的定义，作出点A、B关于点C的对称点，点C的对称点与点C重合，再依次连结得到的各点即可求得△A1B1C1．
(2)根据平移的特征：图形上的对应点都沿平移方向平移了相同的距离，作出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，连结A2、B2、C2，求得△A2B2C2．
(3)作点A1关于x轴的对称点D，连结C2D交x轴于点P，则点P就是所求的点，由中心对称、平移和轴对称的特征求出点C2、D的坐标，再用待定系数法求出直线PC2的一次函数关系式及点P的坐标．
此题重点中心对称、轴对称、平移的特征和作图、最短路线问题的作图以及图形与坐标、用待定系数法求一次函数关系式等知识和方法，图形结合，动手动脑，难度适中，是一道很好的练习题．
21.【答案】解：(1)设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑销售利润为y元，
根据题意，得10x+20y=400020x+10y=3500，
解得x=100y=150，
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元．
(2)①设购进A型电脑a台，则购进B型电脑(100−a)台，
依题意得：w=100a+150(100−a)，即w=−50a+15000，
∵100−a≥0100−a≤2a，
解得3313≤a≤100，
∴w关于a的函数关系式为w=−50a+15000(3313≤a≤100且a为正整数)，
②∵w=−50a+15000，−50<0，
∴w随a的增大而减小，
∵3313≤a≤100且a为正整数，
∴当a=34时，w取得最大值，则购进B型电脑100−34=66(台)，
答：商店购进A型电脑34台和购进B型电脑66台的销售总利润最大．
【解析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
(2)①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
22.【答案】(1)证明：如图1中，
∵∠AOB=∠MON=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵AO=BO，OM=ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)．
(2)如图3−1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．
∵△AOM≌△BON，
∴AM=BN，∠OAM=∠OBN，
∵∠AJN=∠BJO，
∴∠ANJ=∠JOB=90°，
∵OM=ON=3，∠MON=90°，OH⊥MN，
∴MN=3 2，MH=HN=OH=3 22，
∴AH= OA2−OH2= 42−(3 22)2= 462，
∴BN=AM=MH+AH= 46+3 22．
如图3−2中，同法可证AM=BN= 46−3 22．
综上所述，BN的长为 46+3 22或 46−3 22．
(3)证明：如图2中，在OB上取一点T，使得OT=OP，连接PT，NT．
∵∠MON=∠POT=90°，
∴∠MOP=∠NOT，
∵OM=ON，OP=OT，
∴△POM≌△TON(SAS)，
∴PM=TN，∠M=∠ONT=45°，
∵∠ONM=∠ONT=45°，
∴∠PAN=∠ONM+∠ONT=90°，
∴PT2=PN2+NT2=PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2=2OP2，
∴PM2+NN2=2OP2．
【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．
(2)分两种情形分别画出图形求解即可．
(3)如图2中，在OB上取一点T，使得OT=OP，连接PT，NT.证明∠PAN=∠ONM+∠ONT=90°，可得PT2=PN2+NT2=PN2+PM2，即可得出结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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