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2023年浙江省杭州市观城教育集团中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年浙江省杭州市观城教育集团中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省杭州市观城教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，则12023的相反数为( )
A. −2023 B. 2023 C. 12023 D. −12023
2. 第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为( )
A. 2.16×105 B. 21.6×104 C. 2.16×104 D. 216×103
3. 下列计算正确的是( )
A. a2=a B. a2=±a C. a2=|a| D. a2=a2
4. 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为( )
A. 10x+5(x−1)=70 B. 10x+5(x+1)=70
C. 10(x−1)+5x=70 D. 10(x+1)+5x=70
5. 如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1=70°，则∠2的度数为( )
A. 85°
B. 60°
C. 50°
D. 95°
6. 若xy−1
7. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是( )
A. 2，2，2 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 1，1，1
8. 如图，在正五边形ABCDE中，若BP=1，则PE=( )
A. 2
B. 5+12
C. 32
D. 5+1
9. 如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O
C. AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
10. 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度(忽略掉头等时间).明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y(米)与行走时间x(分)的函数关系的图象，则( )
A. 明明的速度是80米/分 B. 第二次相遇时距离B地800米
C. 出发25分时两人第一次相遇 D. 出发35分时两人相距2000米
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 要使代数式1 x−3有意义，则x应满足的条件是______ ．
12. 计算：tan60°−sin60°= ______ ．
13. 现有四张形状、大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4.从中随机抽取一张卡片，那么抽取的卡片上的数字不大于2的概率是______ ．
14. 若扇形的圆心角为120°，半径为32，则它的弧长为______．
15. 如图菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落在AB边的中点G处，则BF= ______ ．
16. 如图在四边形ABCD中，AB//CD且∠C=90°，AD=AB，CD=4，AC=8，则S△BCDS△BAD= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
17. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
(1)求证：AB=AC．
(2)若BD=11，DE=2，求CD的长．
四、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：2x+1−x+5x2−1，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
(1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______ 步开始出现错误；乙同学的解答从第______ 步开始出现错误；
(2)请重新写出此题的正确解答过程．
甲同学
乙同学
2x+1−x+5x2−1
=2(x−1)(x+1)(x−1)−x+5(x+1)(x−1)第一步
=2x−2−x+5(x+1)(x−1)第二步
=x+3(x+1)(x−1)第三步
2x+1−x+5x2−1
=2(x−1)(x+1)(x−1)−x+5(x+1)(x−1)第一步
=2x−2−x−5第二步
=x−7第三步
19. (本小题8.0分)
在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加.为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如所示两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，一共抽取了______ 名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE=AD，DF=2．
(1)求证：DE为∠ADF的角平分线；
(2)求BD的长．
21. (本小题10.0分)
如图，已知反比例函数y1=cx(c≠0)和一次函数y2=kx+b(k≠0)的图象相交于点A(−2,3)，B(3,a)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将一次函数y2向下平移5个单位长度后得到直线y3，当y2>y1>y3时，求x的取值范围．
22. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，E为对角线BD上的一点，
(1)如图1，过点E做EG⊥CD，EF⊥BC，连结AE，FG，请猜想AE与FG的关系，并证明．
(2)如图2，连结EC，过点E作EC的垂线交AB于点P，在BC上找到一点Q，使得BP=BQ；
①求证：△EQC为等腰三角形；
②连结PC，若BQCQ=k2，且DE= 2，求PC的长(用k表示)．
23. (本小题12.0分)
已知二次函数y=mx2−4mx+m−2(m≠0)，且与x轴交于不同点M、N．
(1)若二次函数图象经过点A(3,0)，
①求二次函数的表达式和顶点坐标；
②将抛物线在0≤x≤5之间的那部分函数图象沿直线x=5翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F，若直线y=kx+n过点C(15,1)，且与图象F恰有两个交点，求n的取值范围；
(2)若m<0，当MN≤4时，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据相反数的意义得出：12023的相反数是−12023，
故选：D．
根据相反数的意义可得．
本题考查的是相反数，解题的关键是掌握相反数的意义．
2.【答案】A
【解析】解：216000=2.16×105．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：∵a的值不确定，可取任意实数，
∴ a2=|a|．
故选：C．
二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的开方结果也是非负数，当a的值不确定时要分情况讨论，即带上绝对值符号．
主要考查了二次根式的化简．在化简的过程中要注意： a2=|a|.其中a可取任意实数．
4.【答案】A
【解析】解：设每个肉粽x元，则每个素粽(x−1)元，
依题意得：10x+5(x−1)=70．
故选：A．
设每个肉粽x元，则每个素粽(x−1)元，根据总价=单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠1=70°，
∴∠3=180°−60°−∠1=50°，
∵∠4=45°，
∴∠2=∠3+∠4=50°+45°=95°，
故选：D．
根据平角的定义求出∠3，再依据平行线的性质，即可得到∠2．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】C
【解析】解：已知x
则A不符合题意；
若x=−2，y=1时，x2>y2，
则B不符合题意；
因x
若x=−2，y=1，a=0，
则x−a
故选：C．
根据不等式的基本性质进行判断即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7.【答案】A
【解析】解：A、∵2+2+2=6>5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；
B、∵1+1+5=7<8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
C、∵1+2+2=5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
D、∵1+1+1=3<5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点P，
∴∠ABC=∠BAE(5−2)×180°5=108°，
∵AB=AC=AE，
∴∠ABP=∠AEP=∠BAP=∠BCP=180°−108°2=36°，
∵∠PAE=108°−36°=72°，∠APE=36°+36°=72°，
∴∠PAE=∠APE，
∴AE=PE，
∵∠APB=∠BAE=108°，∠ABP=∠EBA=36°，
∴△ABP∽△EBA，
∴ABAP=BEAB，
∴AB2=AP⋅BE，
即PE2=BP⋅(BP+PE)，
∴PE2=1×(1+PE)，
解得PE=1+ 52(取正值)，
故选：B．
根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质得出PE2=BP⋅(BP+PE)，代入求解即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及一元二次方程，掌握正多边形和圆的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，圆内接四边形，三角形内角和定理的有关知识，正确的作出辅助线是解题的关键．过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到AE=BE，于是得到AE=BE=BC，推出AE=BE=BC，根据三角形的三边关系得到2BC>AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA=12(180°−∠AOB)=90°−∠BOC，∠OCA=12(180°−∠AOC)=90°−32∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；
【解答】
解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则AE=BE，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=12∠AOB，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴AE=BE=BC，
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA=12(180°−∠AOB)=90°−∠BOC，
∠OCA=12(180°−∠AOC)=90°−32∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE=∠BOC=12∠AOB，
∵∠BOE+∠OBA=90°，
∴∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3×2800米，且二者速度不变，
∴c=60÷3=20，
∴出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；
亮亮的速度为2800÷35=80(米/分)，
两人的速度和为2800÷20=140(米/分)，
明明的速度为140−80=60(米/分)，A选项错误；
第二次相遇时距离B地距离为60×60−2800=800(米)，B选项正确；
出发35分钟时两人间的距离为60×35=2100(米)，D选项错误．
故选：B．
C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；
A、当x=35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度=路程÷时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；
B、根据第二次相遇时距离B地的距离=明明的速度×第二次相遇的时间−A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇时距离B地800米，B选项正确；
D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离=明明的速度×出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误．
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
11.【答案】x>3
【解析】解：要使代数式1 x−3有意义，则x−3>0，
解得x>3．
故答案为：x>3．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可得x−3>0，解之即可求出x的范围．
此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】 32
【解析】解：原式= 3− 32=(1−12) 3= 32，
故答案为： 32．
代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
13.【答案】12
【解析】解：共有4种情况，摸出的卡片的数字不大于2的有2种，
∴摸出的卡片的数字不大于2的概率为：24=12，
故答案为：12．
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡片的数字之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】π
【解析】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为32，
∴它的弧长为：120π×32180=π，
故答案为：π．
根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式l=nπr180．
15.【答案】1.2
【解析】解：如图所示，过F作FH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵∠A=60°，AD//BC，
∴∠HBF=60°，∠BFH=30°，
设BH=x，则BF=2x，CF=4−2x=GF，FH= 3x，
∵G是AB的中点，
∴BG=2，GH=2+x，
Rt△FGH中，FH2+GH2=GF2，
∴( 3x)2+(2+x)2=(4−2x)2，
解得x=0.6，
∴BF=2x=1.2．
故答案为：1.2．
过点F作FH⊥AB于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠HFB=30°，再设HB=x，则BF=2x，CF=4−2x=GF，FH= 3x，在Rt△FGH中，依据勾股定理得到方程( 3x)2+(2+x)2=(4−2x)2，求得x的值即可得到BF的长．
本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
16.【答案】 6−1
【解析】解：过点D作DE//BC，如图，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠BCD=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴CD=BE，BC=DE，∠DEA=90°，∠ABC=90°，
∴(AB−BE)2+DE2=AD2，AB2+BC2=AC2，
∵AD=AB，CD=4，AC=8，
∴(AB−4)2+BC2=AB2①，AB2+BC2=64②，
②−①得：8AB−16=64−AB2，
解得：AB=4 6−4，AB=−4 6−4(不符合题意，舍去)，
∵S△ABD=12AB⋅DE，S△BCD=12DC⋅BC，
∴S△BCDS△BAD=12AB⋅DE12DC⋅BC=ABDC=4 6−44= 6−1．
故答案为： 6−1．
过点D作DE//BC，则可求得四边形BCDE是矩形，从而有CD=BE，BC=DE，利用勾股定理可得(AB−4)2+BC2=AB2，AB2+BC2=AC2，则可求得AB=4 6−4，再根据图形可得△BCD与△BAD等高，利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查勾股定理，矩形的判定与性质，三角形的面积，解答的关键是作出适当的辅助线．
17.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF=∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ADF=∠ABC，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
AE=AGAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD=ED=2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
AE=AGAB=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB(HL)，
∴BG=CE，
∵BD=11，
∴BG=BD−GD=11−2=9，
∴CE=BG=9，
∴CD=CE−DE=9−2=7．
【解析】(1)根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；
(2)过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．
本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
18.【答案】二 二
【解析】解：(1)甲同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是未遵守去括号法则，当括号前面是减号时，去括号，括号内的加号变减号，减号变加号，所以第二步分子中的“+5”应为“−5”；
乙同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是与等式混淆，丢掉了分母；
故答案为：二；二；
(2)原式=2(x−1)(x+1)(x−1)−x+5(x+1)(x−1)
=2x−2−x−5(x+1)(x−1)
=x−7(x+1)(x−1)．
(1)观察解答过程，找出错误步骤，分析错误原因即可；
(2)根据分式的混合运算法则和运算顺序计算即可．
本题主要考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序．
19.【答案】200
【解析】解：(1)在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷72°360∘=200(名)，
故答案为：200；
(2)C的人数为：200−20−80−40=60(名)，
补全条形统计图如下：
(3)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为416=14．
(1)由D的人数除以所占的比例即可；
(2)求出C的人数，补全条形统计图即可；
(3)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，
∴DF是△ACE的中位线，
∴DF//AE，
∴∠AED=∠FDE，
∴∠ADE=∠FDE，
∴DE为∠ADF的角平分线；
(2)解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=12AC=AD=4．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE，根据三角形中位线定理得到DF//AE，根据平行线的性质得到∠AED=∠FDE，根据角平分线的定义即可得到结论；
(2)根据三角形中位线定理得到AE=2DF=4，求得AD=4，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查三角形的中位线定理，直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，解答本题的关键是求出AD的长．
21.【答案】解：(1)将A(−2,3)代入y1=cx，得：c=−6，
∴反比例函数的表达式为：y1=−6x，
对于y1=−6x，当x=3时，y=−2，
∴点B的坐标为(3,−2)，
设一次函数的表达式为：y2=kx+b，
将A(−2,3)、B(3,−2)代入y2=kx+b，得：−2k+b=33k+b=−2，
解得：k=−1b=1，
∴一次函数的表达式为：y2=−x+1，
(2)将一次函数y2=−x+1向下平移5个单位长度后得到直线y3=−x−4，
画出直线y3=−x−4，
由函数的图象可知：当y2>y1>y3时，x的取值范围是：x<−2或0
(2)先根据平移求出直线y3的表达式，然后画出直线y3，观察函数的图象即可得出x的取值范围．
此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，交点，一次函数的平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式；难点是根据函数性质，结合函数的图象求不等式的解集．
22.【答案】(1)解：结论：AE=FG，AE⊥FG．
理由：连接EC，延长AE交FG与点J，交CD于点K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠AB E=∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCE，
∵EG⊥CD，EF⊥CB，
∴∠EGC=∠EFC=∠FCG=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴FG=CE，
∴AE=FG，
∵EG=FC，∠GEF=∠CFE=90°，EF=FE，
∴△GEF≌△CFE(SAS)，
∴∠ECF=∠EGF，
∵∠BAE=∠EGF，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠EKG，
∴∠EGF=∠EKG，
∵∠GEK+∠EKG=90°，
∴∠GEK+∠EGJ=90°，
∴∠EJG=90°，
∴AE⊥FG；
(2)①证明：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBA=∠EBC，
∵EM⊥AB，EN⊥CB，
∴EM=EN，
∵∠EMB=∠ENB=∠MBN=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴∠MEN=90°，
∵EP⊥EC，
∴∠PEC=∠MEN=90°，
∴∠MEP=∠NEC，
∵∠EMP=∠ENC=90°，
∴△EMP≌△ENC(ASA)，
∴EP=EC，
∵BP=BQ，∠PBE=∠QBE=45°，BE=BE，
∴△PBE≌△QBE(SAS)，
∴EP=EQ，
∴EQ=EC，
∴△EQC是等腰三角形；
②解：延长ME交CD与点K.则四边形EKCN是矩形，
∵DE= 2，∠EDK=45°，∠EKD=90°，
∴DK=EK=1，
∴CN=1，
∵EQ=EC，EN⊥CQ，
∴QN=NC=1，
∴CQ=2，
∵BQ>QC=k：2，
∴BQ=BP=k，
在Rt△PCB中，PC= PB2+BC2= k2+(k+2)2= 2k2+4k+4．
【解析】(1)结论：AE=FG，AE⊥FG.连接EC，延长AE交FG与点J，交CD于点K.分别证明EA=EC，FG=EC，可得结论；
(2)①过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，分别证明EP=EC，EQ=EP，可得结论；
②延长ME交CD与点K.则四边形EKCN是矩形，证明CQ=2，BQ=k，利用勾股定理求解．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】解：(1)①∵二次函数图象经过点A(3,0)，
∴9m−12m+m−2=0，
∴m=−1，
∴二次函数为y=−x2+4x−3，
∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，
∴顶点为(2,1)；
②∵x=0时，y=−x2+4x−3=−3，x=5时，y=−(x−2)2+1=−8，
∴将抛物线在0≤x≤5之间的那部分函数图象沿直线x=5翻折，点(0,−3)的对应点为(10,−3)，
∵直线y=kx+n过点C(15,1)，
∴1=15k+n，
∴k=1−n15，
∴y=1−n15x+n，
当直线y=kx+n过点(5,−8)时，直线y=kx+n与图象F恰有两个交点，此时，−8=1−n15×5+n，
解得n=−252，
当直线y=kx+n过点(10,−3)时，直线y=kx+n与图象F恰有三个交点，此时，n=−11，
当直线y=kx+n过点(2,1)时，直线y=kx+n与图象F恰有三个交点，此时，1=1−n15×2+n，
解得n=1
∴若直线y=kx+n过点C(15,1)，且与图象F恰有两个交点，n的取值范围是−252≤n<−11或n=1；
(2)设M(x1,0)，N(x2,0)，
令y=0，则mx2−4mx+m−2=0，
∴x1+x2=−−4mm=4，x1x2=m−2m=1−2m，
∵MN≤4，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16−4×(1−2m)≤16，
∴2m≤1，
∴m<0时，不等式成立，
∴实数m的取值范围是m<0．
【解析】(1)①代入A的坐标，求得m=−1，即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
②画出函数图象，代入关键点，结合图象即可求得n的取值范围；
(2)利用根与系数的关系得到根与m的不等式，解不等式即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，数形结合是解题的关键．
2023年浙江省杭州市观城教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，则12023的相反数为( )
A. −2023 B. 2023 C. 12023 D. −12023
2. 第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为( )
A. 2.16×105 B. 21.6×104 C. 2.16×104 D. 216×103
3. 下列计算正确的是( )
A. a2=a B. a2=±a C. a2=|a| D. a2=a2
4. 端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为( )
A. 10x+5(x−1)=70 B. 10x+5(x+1)=70
C. 10(x−1)+5x=70 D. 10(x+1)+5x=70
5. 如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1=70°，则∠2的度数为( )
A. 85°
B. 60°
C. 50°
D. 95°
6. 若x
7. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是( )
A. 2，2，2 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 1，1，1
8. 如图，在正五边形ABCDE中，若BP=1，则PE=( )
A. 2
B. 5+12
C. 32
D. 5+1
9. 如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是( )
A. ∠OBA=∠OCA B. 四边形OABC内接于⊙O
C. AB=2BC D. ∠OBA+∠BOC=90°
10. 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度(忽略掉头等时间).明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y(米)与行走时间x(分)的函数关系的图象，则( )
A. 明明的速度是80米/分 B. 第二次相遇时距离B地800米
C. 出发25分时两人第一次相遇 D. 出发35分时两人相距2000米
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 要使代数式1 x−3有意义，则x应满足的条件是______ ．
12. 计算：tan60°−sin60°= ______ ．
13. 现有四张形状、大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4.从中随机抽取一张卡片，那么抽取的卡片上的数字不大于2的概率是______ ．
14. 若扇形的圆心角为120°，半径为32，则它的弧长为______．
15. 如图菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落在AB边的中点G处，则BF= ______ ．
16. 如图在四边形ABCD中，AB//CD且∠C=90°，AD=AB，CD=4，AC=8，则S△BCDS△BAD= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
17. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
(1)求证：AB=AC．
(2)若BD=11，DE=2，求CD的长．
四、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：2x+1−x+5x2−1，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
(1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______ 步开始出现错误；乙同学的解答从第______ 步开始出现错误；
(2)请重新写出此题的正确解答过程．
甲同学
乙同学
2x+1−x+5x2−1
=2(x−1)(x+1)(x−1)−x+5(x+1)(x−1)第一步
=2x−2−x+5(x+1)(x−1)第二步
=x+3(x+1)(x−1)第三步
2x+1−x+5x2−1
=2(x−1)(x+1)(x−1)−x+5(x+1)(x−1)第一步
=2x−2−x−5第二步
=x−7第三步
19. (本小题8.0分)
在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加.为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如所示两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，一共抽取了______ 名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点，若AE=AD，DF=2．
(1)求证：DE为∠ADF的角平分线；
(2)求BD的长．
21. (本小题10.0分)
如图，已知反比例函数y1=cx(c≠0)和一次函数y2=kx+b(k≠0)的图象相交于点A(−2,3)，B(3,a)．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将一次函数y2向下平移5个单位长度后得到直线y3，当y2>y1>y3时，求x的取值范围．
22. (本小题12.0分)
在正方形ABCD中，E为对角线BD上的一点，
(1)如图1，过点E做EG⊥CD，EF⊥BC，连结AE，FG，请猜想AE与FG的关系，并证明．
(2)如图2，连结EC，过点E作EC的垂线交AB于点P，在BC上找到一点Q，使得BP=BQ；
①求证：△EQC为等腰三角形；
②连结PC，若BQCQ=k2，且DE= 2，求PC的长(用k表示)．
23. (本小题12.0分)
已知二次函数y=mx2−4mx+m−2(m≠0)，且与x轴交于不同点M、N．
(1)若二次函数图象经过点A(3,0)，
①求二次函数的表达式和顶点坐标；
②将抛物线在0≤x≤5之间的那部分函数图象沿直线x=5翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F，若直线y=kx+n过点C(15,1)，且与图象F恰有两个交点，求n的取值范围；
(2)若m<0，当MN≤4时，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据相反数的意义得出：12023的相反数是−12023，
故选：D．
根据相反数的意义可得．
本题考查的是相反数，解题的关键是掌握相反数的意义．
2.【答案】A
【解析】解：216000=2.16×105．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：∵a的值不确定，可取任意实数，
∴ a2=|a|．
故选：C．
二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的开方结果也是非负数，当a的值不确定时要分情况讨论，即带上绝对值符号．
主要考查了二次根式的化简．在化简的过程中要注意： a2=|a|.其中a可取任意实数．
4.【答案】A
【解析】解：设每个肉粽x元，则每个素粽(x−1)元，
依题意得：10x+5(x−1)=70．
故选：A．
设每个肉粽x元，则每个素粽(x−1)元，根据总价=单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠1=70°，
∴∠3=180°−60°−∠1=50°，
∵∠4=45°，
∴∠2=∠3+∠4=50°+45°=95°，
故选：D．
根据平角的定义求出∠3，再依据平行线的性质，即可得到∠2．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】C
【解析】解：已知x
则A不符合题意；
若x=−2，y=1时，x2>y2，
则B不符合题意；
因x
若x=−2，y=1，a=0，
则x−a
故选：C．
根据不等式的基本性质进行判断即可．
本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7.【答案】A
【解析】解：A、∵2+2+2=6>5，
∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；
B、∵1+1+5=7<8，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
C、∵1+2+2=5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
D、∵1+1+1=3<5，
∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点P，
∴∠ABC=∠BAE(5−2)×180°5=108°，
∵AB=AC=AE，
∴∠ABP=∠AEP=∠BAP=∠BCP=180°−108°2=36°，
∵∠PAE=108°−36°=72°，∠APE=36°+36°=72°，
∴∠PAE=∠APE，
∴AE=PE，
∵∠APB=∠BAE=108°，∠ABP=∠EBA=36°，
∴△ABP∽△EBA，
∴ABAP=BEAB，
∴AB2=AP⋅BE，
即PE2=BP⋅(BP+PE)，
∴PE2=1×(1+PE)，
解得PE=1+ 52(取正值)，
故选：B．
根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质得出PE2=BP⋅(BP+PE)，代入求解即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及一元二次方程，掌握正多边形和圆的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，圆内接四边形，三角形内角和定理的有关知识，正确的作出辅助线是解题的关键．过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到AE=BE，于是得到AE=BE=BC，推出AE=BE=BC，根据三角形的三边关系得到2BC>AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA=12(180°−∠AOB)=90°−∠BOC，∠OCA=12(180°−∠AOC)=90°−32∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；
【解答】
解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则AE=BE，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=12∠AOB，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴AE=BE=BC，
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA=12(180°−∠AOB)=90°−∠BOC，
∠OCA=12(180°−∠AOC)=90°−32∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE=∠BOC=12∠AOB，
∵∠BOE+∠OBA=90°，
∴∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3×2800米，且二者速度不变，
∴c=60÷3=20，
∴出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；
亮亮的速度为2800÷35=80(米/分)，
两人的速度和为2800÷20=140(米/分)，
明明的速度为140−80=60(米/分)，A选项错误；
第二次相遇时距离B地距离为60×60−2800=800(米)，B选项正确；
出发35分钟时两人间的距离为60×35=2100(米)，D选项错误．
故选：B．
C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；
A、当x=35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度=路程÷时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；
B、根据第二次相遇时距离B地的距离=明明的速度×第二次相遇的时间−A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇时距离B地800米，B选项正确；
D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离=明明的速度×出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误．
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
11.【答案】x>3
【解析】解：要使代数式1 x−3有意义，则x−3>0，
解得x>3．
故答案为：x>3．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可得x−3>0，解之即可求出x的范围．
此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】 32
【解析】解：原式= 3− 32=(1−12) 3= 32，
故答案为： 32．
代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
13.【答案】12
【解析】解：共有4种情况，摸出的卡片的数字不大于2的有2种，
∴摸出的卡片的数字不大于2的概率为：24=12，
故答案为：12．
先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡片的数字之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】π
【解析】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为32，
∴它的弧长为：120π×32180=π，
故答案为：π．
根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式l=nπr180．
15.【答案】1.2
【解析】解：如图所示，过F作FH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵∠A=60°，AD//BC，
∴∠HBF=60°，∠BFH=30°，
设BH=x，则BF=2x，CF=4−2x=GF，FH= 3x，
∵G是AB的中点，
∴BG=2，GH=2+x，
Rt△FGH中，FH2+GH2=GF2，
∴( 3x)2+(2+x)2=(4−2x)2，
解得x=0.6，
∴BF=2x=1.2．
故答案为：1.2．
过点F作FH⊥AB于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠HFB=30°，再设HB=x，则BF=2x，CF=4−2x=GF，FH= 3x，在Rt△FGH中，依据勾股定理得到方程( 3x)2+(2+x)2=(4−2x)2，求得x的值即可得到BF的长．
本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
16.【答案】 6−1
【解析】解：过点D作DE//BC，如图，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠BCD=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴CD=BE，BC=DE，∠DEA=90°，∠ABC=90°，
∴(AB−BE)2+DE2=AD2，AB2+BC2=AC2，
∵AD=AB，CD=4，AC=8，
∴(AB−4)2+BC2=AB2①，AB2+BC2=64②，
②−①得：8AB−16=64−AB2，
解得：AB=4 6−4，AB=−4 6−4(不符合题意，舍去)，
∵S△ABD=12AB⋅DE，S△BCD=12DC⋅BC，
∴S△BCDS△BAD=12AB⋅DE12DC⋅BC=ABDC=4 6−44= 6−1．
故答案为： 6−1．
过点D作DE//BC，则可求得四边形BCDE是矩形，从而有CD=BE，BC=DE，利用勾股定理可得(AB−4)2+BC2=AB2，AB2+BC2=AC2，则可求得AB=4 6−4，再根据图形可得△BCD与△BAD等高，利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查勾股定理，矩形的判定与性质，三角形的面积，解答的关键是作出适当的辅助线．
17.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF=∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ADF=∠ABC，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
AE=AGAD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD=ED=2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
AE=AGAB=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB(HL)，
∴BG=CE，
∵BD=11，
∴BG=BD−GD=11−2=9，
∴CE=BG=9，
∴CD=CE−DE=9−2=7．
【解析】(1)根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；
(2)过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．
本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
18.【答案】二 二
【解析】解：(1)甲同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是未遵守去括号法则，当括号前面是减号时，去括号，括号内的加号变减号，减号变加号，所以第二步分子中的“+5”应为“−5”；
乙同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是与等式混淆，丢掉了分母；
故答案为：二；二；
(2)原式=2(x−1)(x+1)(x−1)−x+5(x+1)(x−1)
=2x−2−x−5(x+1)(x−1)
=x−7(x+1)(x−1)．
(1)观察解答过程，找出错误步骤，分析错误原因即可；
(2)根据分式的混合运算法则和运算顺序计算即可．
本题主要考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序．
19.【答案】200
【解析】解：(1)在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷72°360∘=200(名)，
故答案为：200；
(2)C的人数为：200−20−80−40=60(名)，
补全条形统计图如下：
(3)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为416=14．
(1)由D的人数除以所占的比例即可；
(2)求出C的人数，补全条形统计图即可；
(3)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，
∴DF是△ACE的中位线，
∴DF//AE，
∴∠AED=∠FDE，
∴∠ADE=∠FDE，
∴DE为∠ADF的角平分线；
(2)解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=12AC=AD=4．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE，根据三角形中位线定理得到DF//AE，根据平行线的性质得到∠AED=∠FDE，根据角平分线的定义即可得到结论；
(2)根据三角形中位线定理得到AE=2DF=4，求得AD=4，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查三角形的中位线定理，直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，解答本题的关键是求出AD的长．
21.【答案】解：(1)将A(−2,3)代入y1=cx，得：c=−6，
∴反比例函数的表达式为：y1=−6x，
对于y1=−6x，当x=3时，y=−2，
∴点B的坐标为(3,−2)，
设一次函数的表达式为：y2=kx+b，
将A(−2,3)、B(3,−2)代入y2=kx+b，得：−2k+b=33k+b=−2，
解得：k=−1b=1，
∴一次函数的表达式为：y2=−x+1，
(2)将一次函数y2=−x+1向下平移5个单位长度后得到直线y3=−x−4，
画出直线y3=−x−4，
由函数的图象可知：当y2>y1>y3时，x的取值范围是：x<−2或0
(2)先根据平移求出直线y3的表达式，然后画出直线y3，观察函数的图象即可得出x的取值范围．
此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，交点，一次函数的平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式；难点是根据函数性质，结合函数的图象求不等式的解集．
22.【答案】(1)解：结论：AE=FG，AE⊥FG．
理由：连接EC，延长AE交FG与点J，交CD于点K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠AB E=∠CBE=45°，∠BCD=90°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCE，
∵EG⊥CD，EF⊥CB，
∴∠EGC=∠EFC=∠FCG=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴FG=CE，
∴AE=FG，
∵EG=FC，∠GEF=∠CFE=90°，EF=FE，
∴△GEF≌△CFE(SAS)，
∴∠ECF=∠EGF，
∵∠BAE=∠EGF，
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠EKG，
∴∠EGF=∠EKG，
∵∠GEK+∠EKG=90°，
∴∠GEK+∠EGJ=90°，
∴∠EJG=90°，
∴AE⊥FG；
(2)①证明：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBA=∠EBC，
∵EM⊥AB，EN⊥CB，
∴EM=EN，
∵∠EMB=∠ENB=∠MBN=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴∠MEN=90°，
∵EP⊥EC，
∴∠PEC=∠MEN=90°，
∴∠MEP=∠NEC，
∵∠EMP=∠ENC=90°，
∴△EMP≌△ENC(ASA)，
∴EP=EC，
∵BP=BQ，∠PBE=∠QBE=45°，BE=BE，
∴△PBE≌△QBE(SAS)，
∴EP=EQ，
∴EQ=EC，
∴△EQC是等腰三角形；
②解：延长ME交CD与点K.则四边形EKCN是矩形，
∵DE= 2，∠EDK=45°，∠EKD=90°，
∴DK=EK=1，
∴CN=1，
∵EQ=EC，EN⊥CQ，
∴QN=NC=1，
∴CQ=2，
∵BQ>QC=k：2，
∴BQ=BP=k，
在Rt△PCB中，PC= PB2+BC2= k2+(k+2)2= 2k2+4k+4．
【解析】(1)结论：AE=FG，AE⊥FG.连接EC，延长AE交FG与点J，交CD于点K.分别证明EA=EC，FG=EC，可得结论；
(2)①过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，分别证明EP=EC，EQ=EP，可得结论；
②延长ME交CD与点K.则四边形EKCN是矩形，证明CQ=2，BQ=k，利用勾股定理求解．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23.【答案】解：(1)①∵二次函数图象经过点A(3,0)，
∴9m−12m+m−2=0，
∴m=−1，
∴二次函数为y=−x2+4x−3，
∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，
∴顶点为(2,1)；
②∵x=0时，y=−x2+4x−3=−3，x=5时，y=−(x−2)2+1=−8，
∴将抛物线在0≤x≤5之间的那部分函数图象沿直线x=5翻折，点(0,−3)的对应点为(10,−3)，
∵直线y=kx+n过点C(15,1)，
∴1=15k+n，
∴k=1−n15，
∴y=1−n15x+n，
当直线y=kx+n过点(5,−8)时，直线y=kx+n与图象F恰有两个交点，此时，−8=1−n15×5+n，
解得n=−252，
当直线y=kx+n过点(10,−3)时，直线y=kx+n与图象F恰有三个交点，此时，n=−11，
当直线y=kx+n过点(2,1)时，直线y=kx+n与图象F恰有三个交点，此时，1=1−n15×2+n，
解得n=1
∴若直线y=kx+n过点C(15,1)，且与图象F恰有两个交点，n的取值范围是−252≤n<−11或n=1；
(2)设M(x1,0)，N(x2,0)，
令y=0，则mx2−4mx+m−2=0，
∴x1+x2=−−4mm=4，x1x2=m−2m=1−2m，
∵MN≤4，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16−4×(1−2m)≤16，
∴2m≤1，
∴m<0时，不等式成立，
∴实数m的取值范围是m<0．
【解析】(1)①代入A的坐标，求得m=−1，即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
②画出函数图象，代入关键点，结合图象即可求得n的取值范围；
(2)利用根与系数的关系得到根与m的不等式，解不等式即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，数形结合是解题的关键．
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