2023年四川省绵阳市江油重点学校中考数学一模试卷-普通用卷

这是一份2023年四川省绵阳市江油重点学校中考数学一模试卷-普通用卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式中，正确的是( )
A. 16=±4B. (− 2)2=4C. (−5)2=−5D. 3−27=−3
2. 下列由若干个完全相同的正方体搭成的几何体中，主视图和左视图相同的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a3+3a3=5a6B. 7a2⋅a3=7a6C. (−2a3)2=4a5D. a8÷a2=a6
4. 某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：61，75，70，56，81，91，92，91，75，81.该组数据的中位数是( )
A. 77.3B. 91C. 81D. 78
5. 一个64位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的150000000000倍.其中数据150000000000用科学记数法表示为( )
A. 0.15×1012B. 1.5×1011C. 15×1010D. 1.5×1010
6. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，若AC=6，BD=10，则边AB的长的取值范围是( )
A. 6B. 4C. 2D. 37. 小张和小王同时从学校出发去距离15千米的青少年素质训基地，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x千米，则( )
A. 15x−15x+1=12B. 15x−15x−1=12C. 15x−1−15x=12D. 15x+1−15x=12
8. 若一元二次方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. k=−1B. k≥−1且k≠0C. k>−1且k≠0D. k≤−1且k≠0
9. 如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1=∠2，则图中全等三角形共有( )
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
10. 若m+n=4，则2m2+4mn+2n2−5的值为( )
A. 27B. 11C. 3D. 0
11. 二次函数y=−2(x+1)2+5的顶点坐标是( )
A. −1B. 5C. (1,5)D. (−1,5)
12. 如图，在等边三角形ABC中，AB=3，点P为BC边上一动点，连接AP，在AP左侧构造三角形OAP，使得∠AOP=120°，OA=OP.当点P由点B运动到点C的过程中，点O的运动路径长为( )
A. 4 33
B. 3
C. 4 39π
D. 3π
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 因式分解：3a2−3= ______ ．
14. 如果a<0，那么不等式组x>−2ax>3a的解集为______ ．
15. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=2，AE=3，BC=4，则AB的长为______．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交AB，AC于点E，D，若AD=8，则AB的长为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A在第一象限，将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=−3x(x>0)上．若点A的横坐标为2，则点D的坐标为______．
18. 如图是三个正方形组成的图案，实线围成的三个封闭部分面积分别为S1，S2，S3，若S1=1，则S2=______，S3=______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)(−2)2× 14+|3−8|+ 2×(−1)2016
(2) 81+3−27+ (−2)2+| 3−2|
20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1=∠2．
(1)求证：AD//BC；
(2)若BD平分∠ABC，∠A=130°，求∠C的度数．
21. (本小题8.0分)
某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案)，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．

(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为______ ，在扇形统计图中，m的值为______ ；
(2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
(3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
22. (本小题8.0分)
为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向(30+30 3)km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
(1)求学校到红色文化基地A的距离？
(2)哪组同学先到达目的地？请说明理由(结果保留根号)．
23. (本小题8.0分)
如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上且∠CDA=∠CBD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠C=30°，AC=5，求⊙O的半径．
24. (本小题8.0分)
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF=∠ADE．
(1)如图1，求证：AF⊥DE；
(2)如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；
(3)在(1)(2)的基础上，若AF平分∠BAC，且△BDE的面积为4+2 2，求正方形ABCD的面积．
25. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)抛物线上是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点M为OC的中点，若有一动点P自点M处出发，沿直线运动至x轴上的某点(设为点E)，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点F)，最后又沿直线运动至点C，则点P运动的总路程最短为______.(请直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ 16=4≠±4，故选项A错误；
(− 2)2=2≠4，故选项B错误；
(−5)2=5≠−5，故选项C错误；
3−27=−3，故选项D正确．
故选：D．
先利用开方、平方运算逐个计算，再得结论．
本题考查了实数的运算，掌握开方运算和平方运算是解决本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1；左视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，符合题意；
B、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意；
C、主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，2，不符合题意；
D、主视图从左往右2列正方形的个数依次为1，2；左视图2列正方形的个数依次为2，1，不符合题意；
故选：A．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到主视图、左视图和俯视图是全等图形的选项即可．
此题考查的是简单组合体的三视图，解决本题的关键是找到几何体的三视图，掌握全等的定义．
3.【答案】D
【解析】解：a3+3a3=4a3，
故A不符合题意；
7a2⋅a3=7a5，
故B不符合题意；
(−2a3)2=4a6，
故C不符合题意；
a8÷a2=a6，
故D符合题意，
故选：D．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法法则分别判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：将这组数据重新排列为：56、61、70、75、75、81、81、91、91、92，
则其中位数为75+812=78，
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
此题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5.【答案】B
【解析】解：150000000000=1.5×1011．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC，BO=12BD，
∵AC=6，BD=10，
∴AO=3，BO=5，
在△ABO中，AB的取值范围是：5−3故选：C．
直接利用平行四边形形对角线互相平分得出AO，BO的长，再利用三角形三边关系得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，得出AO，BO的长是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：设小王每小时走x千米，则小张每小时走(x+1)千米，
根据题意得，15x−15x+1=12．
故选：A．
设小王每小时走x千米，分别表示出二人所用时间，根据“小张比小王早到半小时”，列出分式方程即可．
本题考查了列分式方程，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
根据根的判别式及一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即可求出答案．
本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
【解答】
解：由题意可知：Δ=9+9k≥0，且k≠0，
∴k≥−1且k≠0，
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：①在△AEO与△ADO中，
AE=AD∠1=∠2OA=OA，
∴△AEO≌△ADO(SAS)；
②∵△AEO≌△ADO，
∴OE=OD，∠AEO=∠ADO，
∴∠BEO=∠CDO，
在△BEO与△CDO中，
∠BEO=∠CDOOE=OD∠BOE=∠COD，
∴△BEO≌△CDO(ASA)；
③∵△BEO≌△CDO，
∴BE=CD，BO=CO，OE=OD，
∴CE=BD，
在△BEC与△CDB中，
BE=CDCE=BDBC=CB，
∴△BEC≌△CDB(SSS)；
④在△AEC与△ADB中，
AE=AD∠AEC=∠ADBCE=BD，
∴△AEC≌△ADB(SAS)；
⑤∵△AEC≌△ADB，
∴AB=AC，
在△AOB与△AOC中，
AO=AO∠1=∠2AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
综上所述，图中全等三角形共5对，
故选：D．
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵m+n=4，
∴2m2+4mn+2n2−5
=2(m+n)2−5
=2×42−5
=2×16−5
=32−5
=27，
故选：A．
根据m+n=4和完全平方公式，将所求式子变形，即可得到所求式子的值．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
11.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=−2(x+1)2+5，
∴该函数的顶点坐标是(−1,5)，
故选：D．
根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠ACB=60°，∠AOC=120°，
∴A、O、P、C四点共圆，
∵OA=OP，∠AOP=120°，
∴∠APO=∠OAP=30°，
∵AO=AO，
∴∠ACO=∠APO=30°，
∴∠ACO=12∠ACB=30°，
∴点O在∠ACB的角平分线上运动，
∴O点的运动轨迹为线段OO′，
当P点在B点时，∠OPC=90°，
当P点在C点时，∠ACO=30°，
∴∠OCB=30°，
∵AB=3，
∴OP=CB⋅tan30°=3× 33= 3，
∵OA=O′A，∠AOO′=60°，
∴OO′=OB=OP= 3，
∴点O的运动路径长为 3，
故选：B．
由题意，可知O点的运动轨迹为线段OO′，当P点在B点时，∠OPC=90°，当P点在C点时，∠ACO=30°，则△OAO′是等边三角形，求出OO′=OB=OP= 3，即可求点O的轨迹长．
本题考查点的运动轨迹，熟练掌握等边三角形的性质，由P点的运动情况确定O点的运动轨迹是解题的关键．
13.【答案】3 (a+1)(a−1)
【解析】解：3a2−3
=3(a2−1)
=3(a−1)(a+1)，
故答案为：3(a−1)(a+1)．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14.【答案】x>−2a
【解析】解：∵a<0，
∴−2a>0>3a
∴不等式组x>−2ax>3a的解集为x>−2a，
故答案为：x>−2a．
根据a<0，得出−2a>0>3a，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AEAB=DEBC，
∴3AB=24，
∴AB=6，
故答案为：6．
根据两角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】8 3
【解析】解：由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线．
∴AE=EB，AD=BD=8，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴DE=12AD=4，
∴AE=EB= AD2−DE2=4 3，
∴AB=8 3．
故答案为：8 3．
利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD=∠A=30°，AE=BE，AD=BD=8，根据含30度的直角三角形三边的关系求出DE.利用勾股定理求出AE=BE=4 3，即可得AB的长．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用基本作图得到MN垂直平分AB．
17.【答案】(3,1)
【解析】解：由旋转可知，CD=OB=2，AD=AB，
设AB=m，则AD=m，
∴C(2+m,−2+m)，D(2+m,m)，
∵点C落在双曲线y=−3x(x>0)上，
∴(2+m)(−2+m)=−3，解得m=1(负值舍去)．
∴D(3,1)．
故答案为：(3,1)．
由旋转的性质可知AD=AB，CD=BO=2，△OAB旋转90°，可知AD//x轴，CD⊥x轴，根据线段的长度求C点坐标，根据k=3可求出AB的长，由此可得出点D的坐标．
本题考查了反比例函数关系式的求法，旋转的性质．关键是通过旋转确定双曲线上点的坐标．
18.【答案】16 23
【解析】解：如图，

由正方形的性质可得：正方形ABCD的顶点C是正方形BDFE的中心，
则延长BC必经过点F，延长DC比经过点E，
设正方形ABCD的边长为a，则正方形BDFE的边长为 2a，
∴BF=2BC=2a．
∴AF= AB2+BF2= 5a.
即正方形AFGH的边长为 5a.
∵AD//BF，
∴S△ADB=S△ADF．
∴S2=12S正方形ABCD=12a2．
∴S△ABM=S△DFM．
∴S3=S正方形BDFE=2a2．
∵S1=S正方形AFGH−S2=S正方形AFGH−S正方形BDFE，
∴5a2−2a2=1．
∴a2=13．
∴S2=16，S3=23．
故答案为：16；23．
由正方形的性质可得：正方形ABCD的顶点C是正方形BDFE的中心，则延长BC必经过点F，延长DC比经过点E，设正方形ABCD的边长为a，则正方形BDFE的边长为 2a，利用勾股定理可得正方形AFGH的边长；利用AD//BF，可得△ABD与△ADF为同底等高的三角形，再利用面积割补法可得S3与正方形BDFE的面积相等；利用S1=S正方形AFGH−S2=S正方形AFGH−S正方形BDFE，列出方方程即可求得a2的值，则结论可得．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，利用平行线的性质和同底等高的三角形面积相等以及利用面积割补法解答是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(−2)2× 14+|3−8|+ 2×(−1)2016
=4×12+2+ 2
=4+ 2
(2) 81+3−27+ (−2)2+| 3−2|
=9−3+2+2− 3
=10− 3．
【解析】(1)首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
(2)首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20.【答案】解：(1)证明：如图，
∵BD⊥CD，EF⊥CD(已知)，
∴BD//EF(垂直于同一直线的两条直线平行)，
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3(等量代换)．
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)．
(2)∵AD//BC(已知)，
∴∠ABC+∠A=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠A=130°(已知)，
∴∠ABC=50°．
∵DB平分∠ABC(已知)，
∴∠3=12∠ABC=25°．
∴∠C=90°−∠3=65°．
【解析】(1)由BD⊥CD，EF⊥CD可得BD//EF，所以∠2=∠3，结合∠1=∠2得∠1=∠3，据此即可得证；
(2)由AD//BC、∠A=130°知∠ABC=50°，再根据平分线定义知∠3=25°，由直角三角形的两个锐角互余可得答案．
本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及角平分线的性质．
21.【答案】40 30
【解析】解：(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛’的人数为200×20%=40(人)，
则选择“书画展览”的人数为200−(40+80+20)=60(人)，
∴在扇形统计图中，m%=60200×100%=30%，
即m=30，
故答案为：40，30；
(2)估计全校2000名学生中选择文艺汇演”的学生大约有2000×80200=800(人)；
(3)列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，所以a同学参加的概率为12．
(1)总人数乘以A对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值；
(2)总人数乘以样本中B方案人数所占比例；
(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
22.【答案】解：(1)作BD⊥AC于D．

依题意得，
∠BAE=45°，∠ABC=105°，∠CAE=15°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=45°．
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠ACB=45°，
∴∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠DCB，
∴BD=CD，
设BD=x km，则CD=x km，
在Rt△ABD中，∠BAC=30°，
∴AB=2BD=2xkm，tan30°=BDAD，
∴ 33=xAD，
∴AD= 3x，
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=45°，
∴sin∠DCB=BDBC= 22，
∴BC= 2x，
∵CD+AD=30+30 3，
∴x+ 3=30+30 3，
∴x=30，
∴AB=2x=60(km)；
(2)第二组先到达目的地，
理由：∵BD=30km，
∴BC= 2x=30 3km，
第一组用时：60÷40=1.5(h)；第二组用时：30 2÷35=6 27(h)，
∵6 27<1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
【解析】(1)过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD=CD，设BD=x km，则CD=x km，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD=AC列出方程问题得解；
(2)根据速度=路程时间求得第一组用时：60÷40=1.5(h)；第二组用时：30 2÷35=6 27(h)，于是得到结论．
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
23.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
∴∠CDO=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：设⊙O的半径为r，
在Rt△CDO中，∠C=30°，
∴OD=12OC，
∵AC=5，
∴r=12(r+5)，
解得r=5，
∴⊙O的半径为5．
【解析】(1)连接OD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠DAO=90°，然后利用OD=OA证出∠DAB=∠ADO，从而得∠CDO=90°，根据切线的判定即可得出结论；
(2)在Rt△CDO中，根据含30度直角三角形的性质列出关于r的方程即可解答．
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解决问题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，
∵∠ADE=∠BAF，
∴∠ADE+∠AED=∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥DE．
(2)解：如图2中．结论：GH//AB．
理由：连接GH．
∵AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，∠ADE=∠BAF，
∴△ADE≌△BAF(ASA)，
∴AE=BF，
∵AE//CD，
∴AECD=EGDG，
∵BF//AD，
∴BFAD=BHDH，
∵AE=BF，CD=AD，
∴EGGD=BHHD，
∴GH//AB．
(3)解：如图2−1中，在AD上取一点J，使得AJ=AE，连接EJ.设AE=AJ=a．
∵AF平分∠BAC，∠BAC=45°，
∴∠BAF=∠ADE=22.5°，
∵AE=AJ=a，∠EAJ=90°，
∴∠AJE=45°，
∵∠AJE=∠JED+∠JDE，
∴∠JED=∠JDE=22.5°，
∴EJ=DJ= 2a，
∵AB=AD=a+ 2a，AE=AJ，
∴BE=DJ= 2a，
∵S△BDE=4+2 2，
∴12× 2a×(a+ 2a)=4+2 2，
解得a2=4，
∴a=2或−2(舍弃)，
∴AD=2+2 2，
∴正方形ABCD的面积=12+8 2．
【解析】(1)证明∠BAF+∠AED=90°即可解决问题．
(2)证明△ADF≌△BAF(ASA)，推出AE=BF，由AE//CD，推出AECD=EGDG，由BF//AD，推出BFAD=BHDH，由AE=BF，CD=AD，推出EGGD=BHHD可得结论．
(3)如图2−1中，在AD上取一点J，使得AJ=AE，连接EJ.设AE=AJ=a.利用三角形的面积公式构建方程求出a即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25.【答案】(1)解：将A(−1,0)，B(3,0)代入y=−x2+bx+c，
−1−b+c=0−9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3；
(2)解：存在，理由如下：
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
设P点横坐标为t，
如图1，①当点C为直角三角形的直角顶点时，
过点C作CP⊥BC交抛物线于点P，过点P作PQ⊥y轴于点Q，
∴∠QCP=45°，
∴CQ=PQ=t，
∴P(t,3+t)，
∴3+t=−t2+2t+3，
解得：t=0(舍)或t=1，
∴P(1,4)；
②如图2，当点B为直角三角形的直角顶点时，
过点B作BP⊥BC交抛物线于点P，过P点作PH⊥x轴于点H，
∴∠OBP=45°，
∴HP=HB=3−t，
∴P(t,t−3)，
∴t−3=−t2+2t+3，
解得: t=3(舍)或t=−2，
∴P(−2,−5)；
综上所述：P点坐标为(1,4)或(−2,−5)；
(3) 972．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：如图3，作M点关于x轴的对称点M′，过C点作关于抛物线对称轴的对称点C′，
连接M′C′交x轴于E点，交对称轴于F，连接CF，

∴ME=M′E，CF=C′F，
∴ME+EF+CF=M′E+EF+C′F=M′C′，
此时点P运动的总路程最短，
∵M是OC的中点，C(0,3)，
∴M(0,32)，
∴M′(0,−32)，
∵y=−x2+2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵C(0,3)，
∴C′(2,3)，
∴M′C′= 972，
∴点P运动的总路程最短为 972，
故答案为： 972．
(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=−x2+bx+c，即可求解；
(2)设P点横坐标为t，分两种情况讨论：①当点C为直角三角形的直角顶点时，过点C作CP⊥BC交抛物线于点P，过点P作PQ⊥y轴交于点Q，此时P的坐标为(t,3+t)，再将P点代入抛物线解析式即可；②当点B为直角三角形的直角顶点时，过点B作BP⊥BC交抛物线于点P，过P点作PH⊥x轴交于点H，此时P的坐标为(t,t−3)，再将P点代入抛物线解析式即可；
(3)作M点关于x轴的对称点M′，过C点作关于抛物线对称轴的对称点C′，连接M′C′交x轴于E点，交对称轴于F，连接CF，此时点P运动的总路程最短为M′ C′的长，分别求出M′(0,−32)，C′(2,3)，即可求点P运动的总路程最短为 972．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．
a
b
c
d
a
(b,a)
(c,a)
(d,a)
b
(a,b)
(c,b)
(d,b)
c
(a,c)
(b,c)
(d,c)
d
(a,d)
(b,d)
(c,d)