2023年四川省绵阳市江油实验学校中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年四川省绵阳市江油实验学校中考数学一模试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省绵阳市江油实验学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上）
1．下列各式中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．下列由若干个完全相同的正方体搭成的几何体中，主视图和左视图相同的是（    ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：61，75，70，56，81，91，92，91，75，81，该组数据的中位数是（    ）
A．78 B．81 C．91 D．77.3
5．一个64位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的150000000000倍．其中数据150000000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.15× B．1.5× C．15× D．1.5×
6．图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，若，，则边AB的长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
7．小张和小王同时从学校出发去距离15千米的青少年素质训基地，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走千米，则（    ）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为（   ）
A． B． C． D．
9．如图，在、上各取一点E、D，使，连接、相交于点O，再连接、，若，则图中全等三角形共有（    ）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
10．若,则的值为(    )
A．27 B．11 C．3 D．0
11．二次函数y = -2(x + 1)2+5的顶点坐标是(       )
A．-1 B．5 C．(1, 5) D．(-1, 5)
12．如图，在等边三角形中，，点为边上一动点，连接，在左侧构造三角形，使得，．当点由点运动到点的过程中，点的运动路径长为（   ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上）
13．因式分解：________．
14．如果，那么不等式组的解集为__________．
15．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝2，AE＝3，BC＝4，则AB的长为___．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧交于M，N两点，连结MN分别交AB，AC于点E，D，若AD＝8，则AB的长为 _____．

17．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A在第一象限，将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y（x＞0）上．若点A的横坐标为2，则点D的坐标为_______．

18．如图是三个正方形组成的图案，实线围成的三个封闭部分面积分别为S1，S2，S3，若S1=1，则S2=______，S3=_________．

三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）（﹣2）2×+||+；
（2）．
20．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，EF⊥CD，且∠1＝∠2．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠A＝130°，求∠C的度数．

21．某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．

(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为_，在扇形统计图中，m的值为 ；
(2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
(3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30＋30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．

(1)求学校到红色文化基地A的距离？
(2)哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
23．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上且∠CDA＝∠CBD．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠C＝30°，AC＝5，求⊙O的半径．
24．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF＝∠ADE．
（1）如图1，求证：AF⊥DE；
（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；
（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分∠BAC，且BDE的面积为4+2，求正方形ABCD的面积．

25．如图，抛物线经过两点，且与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点为的中点，若有一动点自点处出发，沿直线运动至轴上的某点(设为点)，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点)，最后又沿直线运动至点，则点运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)



















答案解析
1．【分析】根据算术平方根的定义、立方根的定义进行判断即可．
解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项错误；
D、，本选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根和立方根的定义及性质，熟练掌握定义和性质是解答的关键．
2．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图对各选项进行判断即可．
解：A中主视图与左视图均为，故符合题意；
B中主视图为，左视图为，故不符合题意；
C中主视图为，左视图为，故不符合题意；
D中主视图为，左视图为，故不符合题意；
故选A．
【点评】本题考查了主视图与左视图．解题的关键在于明确从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法法则分别判断即可．
解：A．，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
解：将这组数据重新排列为：56、61、70、75、75、81、81、91、91、92，
则其中位数为=78，
故选：A．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．【分析】把小数点点在最左边起第一个非零数字后，得到a，数出大整数的整数位数，减去1，得到n，写成的形式即可．
解：∵150000000000＝1.5×，
故选B．
【点评】本题考查了绝对值大于10的大数的科学记数法表示，准确把握把小数点点在最左边起第一个非零数字后，得到a，数出大整数的整数位数，减去1，得到n是解题的关键．
6．【分析】直接利用平行四边形形对角线互相平分得出AO，BO的长，再利用三角形三边关系得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC，BO=BD，
∵AC=6，BD=10，
∴AO=3，BO=5，
在△ABO中，AB的取值范围是：5-3＜AB＜5+3，即2＜AB＜8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，得出AO，BO的长是解题关键．
7．【分析】设小王每小时走千米，分别表示出二人所用时间，根据“小张比小王早到半小时” ，列出分式方程即可
解：设小王每小时走千米，则小张每小时走千米，根据题意得，

故选A
【点评】本题考查了列分式方程，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
8．【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ=9+9k≥0，
∴k≥-1，
∵k≠0，
∴k≥-1且k≠0，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9．【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找即可．
解：①在△AEO与△ADO中，，
∴△AEO≌△ADO（SAS）；
②∵△AEO≌△ADO，
∴OE=OD，∠AEO=∠ADO，
∴∠BEO=∠CDO，
在△BEO与△CDO中，，
∴△BEO≌△CDO（ASA）；
③∵△BEO≌△CDO，
∴BE=CD，BO=CO，OE=OD，
∴CE=BD，
在△BEC与△CDB中，，
∴△BEC≌△CDB（SSS）；
④在△AEC与△ADB中，，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
⑤∵△AEC≌△ADB，
∴AB=AC，
在△AOB与△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS）．
综上所述，图中全等三角形共5对．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键.
10．【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将代入计算即可．
解：，
∵，
∴原式=．
故选：A．
【点评】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了．
11．【分析】直接利用顶点式的特点写出顶点坐标．
解：因为y=2（x+1）2-5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，5）．
故选：D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键.
12．【分析】由圆内接四边形的性质得出A，O，P，C四点共圆，根据圆周角定理得出点在的角平分线上运动，进而得出O点的运动轨迹为线段，当点在点时，，由∠OCB的正切值求出OB的长，当点在点时，△AOO′是等边三角形，从而得出OO′的长；
解：如图，∵，，
∴、、、四点共圆，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在的角平分线上运动，
∴点的运动轨迹为线段，
当点在点时，，
当点在点时，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴△AOO′是等边三角形，
∴，
∴点的运动路径长为，
故选：B．

【点评】本题考查圆内接四边形的性质（对角互补），圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，由圆周角定理得出O点的运动轨迹为线段OO′是解题的关键．
13．【分析】根据提公因式法，乘法公式进行因式分解即可．
解：

，
故答案为：．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，掌握提公因式法，乘法公式进行因式分解是解题的关键．
14．【分析】根据，得出，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：∵，
∴
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
15．【分析】由角角相等证明△ABC∽△AED，根据性质求解即可．
解：∵，
∴
∴，即
解得
故答案为
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法与性质是解题的关键．
16．【分析】由作图可得：是的中垂线，证明 可得 再利用含的直角三角形的性质可得答案.
解：由作图可得：是的中垂线，





故答案为：
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，掌握以上基础知识的解本题的关键.
17．【分析】由旋转可知，CD＝OB＝2，AD＝AB，设AB＝m，则AD＝m，根据点C恰好落在双曲线y（x＞0）上，代入坐标解方程即可．
解：由旋转可知，CD＝OB＝2，AD＝AB，
设AB＝m，则AD＝m，
∴C（2+m，﹣2+m），D（2+m，m），
∵点C落在双曲线y（x＞0）上，
∴（2+m）（﹣2+m）＝﹣3，即，解得m＝1或 （舍去），
∴D（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查旋转与坐标，涉及到旋转性质、平面直角坐标系下点的坐标表示及坐标特征、点在函数图象上的意义、反比例函数图象与性质，解决问题的关键是根据旋转性质准确将关键点的坐标表示出来．
18．【分析】由正方形的性质可得：正方形的顶点是正方形的中心，则延长必经过点，延长比经过点，设正方形的边长为，则正方形的边长为，利用勾股定理可得正方形的边长；利用，可得与为同底等高的三角形，再利用面积割补法可得与正方形的面积相等；利用，列出方方程即可求得的值，则结论可得．
解：如图，

由正方形的性质可得：正方形的顶点是正方形的中心，
则延长必经过点，延长比经过点，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，
．
．
即正方形的边长为．
，
．
．
．
．
，
．
．
，．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，利用平行线的性质和同底等高的三角形面积相等以及利用面积割补法解答是解题的关键．
19．【分析】（1）先算乘方、开方和绝对值，再算乘法，最后算加法即可；
（2）先算乘方、开方和绝对值，再算加减法即可．
解：（1）（﹣2）2×+||+
＝4×+2+
＝4+
（2）
＝9﹣3+2+2﹣
＝10﹣．
【点评】本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数混合运算法则以及绝对值的性质是解题的关键．
20．【分析】（1）由题意易得BD∥EF，然后由平行线的性质及判定即可得证；
（2）由（1）得∠ABC＝50°，根据角平分线的定义及直角三角形的性质可得．
解：（1）证明：如图，

∵BD⊥CD，EF⊥CD（已知），
∴BD∥EF（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
（2）∵AD∥BC（已知），
∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A＝130°（已知），
∴∠ABC＝50°
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠3＝∠ABC＝25°
∴∠C＝90°﹣∠3＝65°．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及直角三角形的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．
21．【分析】（1）总人数乘以A对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值;
（2）总人数乘以样本中B方案人数所占比例;
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可
解：（1）解：在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛’的人数为(人)，
则选择“书画展览”的人数为 (人),
∴在扇形统计图中，，
即；
（2）解：估计全校2000名学生中选择文艺汇演”的学生大约有(人)；
（3）解：列表如下：

a
b
c
d
a

（b,a）
（c,a）
（d,a）
b
（a,b）

（c,b）
（d,b）
c
（a,c）
（b,c）

（d,c）
d
（a,d）
（b,d）
（c,d）

由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，所以a同学参加的概率为
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图数据的整理与描述
22．【分析】（1）过点B作BD⊥ AC于D，在Rt△BCD中证得BD=CD，设BD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解，进而即可求解；
（2）由（1）易知，，进而根据时间=路程÷速度分别求出两组所用时间，进而即可求得结论；
（1）
过点B作BD⊥ AC于D，
依题意得：∠BAE=45°，∠ABC=105°，∠CAE=15°，

∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=45°．            
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠ACB=45°，
∴∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠DCB，             
∴BD=CD，
设BD=x，则CD=x，
在Rt△ABD中，∠BAC=30°，
∴，，
∴，
∴，                      
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=45°，
∴，
∴，                                   
∵，
∴，
∴，
∴，
即学校到红色文化基地A的距离为60km．
（2）
第二组先到达目的地，
理由： 由（1）知：，，
∴，                       
第一组用时： (h)；
第二组用时： (h)，
∵，
∵<1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，方位角的计算，勾股定理，一元一次方程，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
23．【分析】（1）连接OD，由直径所对的圆周角为90°，再根据等量代换证得∠DAB+∠CDA＝90°，继而证得∠CDO＝90°，据此解答；
（2）在Rt△CDO中，根据含30°直角三角形的性质，得到OD＝OC，结合已知条件AC＝5解题即可．
（1）
解：证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
解：设⊙O的半径为r，
在Rt△CDO中，∠C＝30°，
∴OD＝OC，
∵AC＝5，
∴r＝（r+5），
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．

【点评】本题考查圆的综合题，涉及切线的证明、直径所对的圆周角是90°、含30°直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．【分析】（1）根据正方形的性质证明∠BAF+∠AED＝90°即可解决问题．
（2）证明△ADF≌△BAF（ASA），推出AE＝BF，由AECD，推出＝，由BFAD，推出＝，由AE＝BF，CD＝AD，推出＝可得结论．
（3）如图2﹣1中，在AD上取一点J，使得AJ＝AE，连接EJ．设AE＝AJ＝a．利用三角形的面积公式构建方程求出a即可解决问题．
解：（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥DE．
（2）解：如图2中．结论：GHAB．
理由：连接GH．

∵AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，∠ADE＝∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AECD，
∴＝，
∵BFAD，
∴＝，
∵AE＝BF，CD＝AD，
∴＝，
∴GHAB．
（3）解：如图2﹣1中，在AD上取一点J，使得AJ＝AE，连接EJ．设AE＝AJ＝a．

∵AF平分∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠ADE＝22.5°，
∵AE＝AJ＝a，∠EAJ＝90°，
∴∠AJE＝45°，
∵∠AJE＝∠JED+∠JDE，
∴∠JED＝∠JDE＝22.5°，
∴EJ＝DJ＝a，
∵AB＝AD＝a+a，AE＝AJ，
∴BE＝DJ＝a，
∵S△BDE＝4+2，
∴×a×（a+a）＝4+2，
解得a2＝4，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴AD＝2+2，
∴正方形ABCD的面积＝12+8．
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．
25．【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）分两种情况：①当C为直角顶点时，过点C作CP⊥BC，交抛物线于点P，过点P作PH⊥y轴于H，得到PH=CH，设P（），则，求出a即可；②当B为直角顶点时，过点B作BP⊥BC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，求出OB=OR=3，PG=RG，设P（），则，求出a即可；
（3）做M点关于x轴的对称点，做C点关于对称轴的对称点，连接C交x轴于E点，交对称轴于F，此时点运动的总路程最短，由勾股定理求出，即可求出点P运动的路径得到答案．
解：（1）将代入，得
，解得，
∴该抛物线的函数表达式是；
（2）存在．
①当C为直角顶点时，过点C作CP⊥BC，交抛物线于点P，过点P作PH⊥y轴于H，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，∠BCO=45°，
∴∠PCH=45°，
∴△PHC为等腰直角三角形，即PH=CH，
设P（），则，
解得（舍去），
此时，
∴P（1,4）；
②当B为直角顶点时，过点B作BP⊥BC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，
∵∠CBO=45°，
∴∠GPR=∠OBR=45°，
∴△PRG为等腰直角三角形，
∴OB=OR=3，PG=RG，
设P（），则，
解得（舍去），
此时，
∴P（-2，-5）；
综上，点P的坐标为（1,4）或（-2，-5）；

（3）如图3，做M点关于x轴的对称点，做C点关于对称轴的对称点，连接C交x轴于E点，交对称轴于F
∴
∵
此时点运动的总路程最短
∵点为的中点，C（0，3）
∴
∴
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵C（0,3）
∴

∴，
∴点P运动的路径，
故答案为：．