甘肃省张掖市某重点校2023届高三下学期第四次模拟检测数学（理）试题及答案

这是一份甘肃省张掖市某重点校2023届高三下学期第四次模拟检测数学（理）试题及答案，共20页。试卷主要包含了已知数列的前n项和为，若，，，已知函数f等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．－2B．－1C．2D．2i
2．已知集合，，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1，0]B．[－1，0]C．[－2，－1]D．（－∞，－1]
3．二项式的展开式中含的项的系数为（ ）
A．－360B．－18C．18D．135
4．2022年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代．如图是2022年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（ ）（注：同比，即和去年同期相比）
A．这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台
B．这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台
C．自2022年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降
D．这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4
5．已知数列的前n项和为，若，，（ ）
A．B．C．D．
6．仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm，足径为9.2cm，顶部到底部的高为4.1cm，底部圆柱高为0.7cm，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（ ）（参考数据：π的值取3，）
A．B．C．D．
7．对，[x]表示不超过x的最大整数，如，，，我们把函数叫做取整函数，也称之为高斯函数．执行下面与高斯函数有关的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．1129B．1130C．1131D．1132
8．已知函数f（x）的定义域为R，的图象关于点（1，0）对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作斜率为的直线与C在第一象限内相交于点P，过点P作于点M，连接MF交C于点N，若，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．函数的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象，给出下列说法：
①；
②f（x）图象的一条对称轴为直线；
③f（x）在区间上单调递增；
④若g（x）在区间[0，π]上恰有12个零点，则t的取值范围为．
其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①B．②④C．①③D．②③④
11．图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥，如图2．若二面角的大小为，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，且，则向量在方向上的投影为______．
14．已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为______．（写出满足题意的一个通项公式）
15．为巩固脱贫攻坚成果，推进共同富裕，我国西部某县政府派出含甲、乙、丙在内的6名农业专家，并分配到3个村庄进行农业技术指导，要求每个村庄至少分配到1名专家，每名专家只能去1个村庄，则在甲、乙两名专家不能分配在同一村庄的前提下，甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄的概率为______．
16．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，且与C的左支相交于A，B两点，点D与点A关于原点O对称，若，，则双曲线C的离心率为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，求证：△ABC是等边三角形；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围
18．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，点M在棱PD上，且，．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求BM与平面ACM所成角的余弦值．
19．（12分）杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举办．为迎接这一体育盛会，浙江某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，当好东道主”的亚运知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了200人，统计他们的竞赛成绩m（满分100分，已知每名参赛大学生至少得60分），制成了如下所示的频数分布表：
（1）规定成绩不低于85分为“优秀”，成绩低于85分为“非优秀”，这200名参赛大学生的成绩的情况统计如下表：
判断是否有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关；
（2）经统计，用于学习亚运知识的时间（单位：时）与成绩（单位：分）之间的关系近似为线性相关关系，对部分参赛大学生用于学习亚运知识时间x与知识竞赛成绩y进行数据收集，如下表：
求变量y关于x的线性回归方程；
（3）A市某企业赞助了这次知识竞赛，给予每位参赛大学生一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩m进行分类奖励，当时，奖励100元；当时，奖励200元；当时，奖励300元．
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有1次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的则有2次抽奖机会，其中每次抽奖抽中100元现金红包的概率均为，抽中200元现金红包的概率均为，且两次抽奖结果相互独立．
若每名参赛大学生只能选择一种奖励方案，试用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，每名参赛大学生选择哪种奖励方案更有利．
附：（其中；
线性回归方程中，，；
第（2）问中，，，，．
20．（12分）已知椭圆C：经过圆：的圆心，C的左焦点F到圆上的点的距离的最小值为．
（1）求C的标准方程．
（2）过点F作斜率之积为－1的两条直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足，，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
21．（12分）已知函数，为f（x）的导函数．
（1）讨论的极值；
（2）当时，，求k的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）动点D在曲线C上，动点A，B均在直线l上，且，求△ABD面积的最小值．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集M；
（2）记（1）中集合M中最大的整数为t，若正数a，b，c满足，求的最小值．
理科数学
选择题
1．C【解析】因为，
所以，则z的虚部为2．
2．B【解析】由已知得，因为，
所以．①当时，，满足题意；
②当时，，要使，
则解得．综上所述，实数m的取值范围是[－1，0]．
3．B【解析】的展开式的通项公式为，
令，解得，故所求系数为．
4．D【解析】将这10个月我国彩电月度产量（单位：万台）按从小到大排列依次为1513，1540，1553，1650，1727，1783，1802，1846，1926，2097，中位数为第5个数与第6个数的平均数，即，A错误；这10个月我国彩电月度产量低于1600万台的只有4月、5月、6月这3个月，且6个月的产量超过1700万台，故可知这10个月我国彩电月度平均产量肯定超过1600万台，B错误：自2022年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比，由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误；由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与－8.3%，故其极差为，故D正确．故选D．
5．D【解析】由，得，
即，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，所以．
6．D【解析】方法1：设该圆台的母线长为l，高为h，两底面圆的半径分别为R，r（其中），
则，，，
所以，故圆台部分的侧面积为．
方法2（估算法）：若按底面直径为15.5cm，高为3.4cm的圆柱估算圆台部分的侧面积得，易知圆台的侧面积应大于所估算的圆柱的侧面积，故此仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积大于，对照各选项可知只有D符合．
7．B【解析】当时，；当时，
；当时，；当时，
，跳出循环，所以．
8．C【解析】由题意可知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，，所以f（x）在（0，+∞）上也单调递减，且，，
所以当时，；当时，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集为．
9．C【解析】如图，过点N作准线l的垂线，垂足为Q，
则，轴．
因为，所以．
设直线PF的倾斜角为α，则，
所以，
解得（负值已舍去），所以，
所以，所以，即．
10．B【解析】当时，，则．
由题图可知，0在单调递增区间内，
所以，，又，所以，
所以，所以，
所以，，解得．
由题图可知，，所以，所以，
又因为，所以，所以，
，①错误；因为，
所以f（x）图象的一条对称轴为直线，②正确；
当时，，
因为在区间上先增后减，所以f（x）在区间上先增后减，③错误；
将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
得到函数的图象，当时，
，若g（x）在[0，π]上恰有12个零点，
则，解得，
即t的取值范围为，④正确．
故说法正确的是②④，故选B．
11．C【解析】如图，取AC的中点E，AB的中点F，连接ME，EF．
因为，所以．易知，因为，
所以，所以．
过点E作OE⊥平面MAC，过点F作OF⊥平面ABC，
，连接OA，易知E，F两点分别是△MAC和△ABC的外心，
所以点O是三棱锥的外接球的球心．
因为，所以，，
所以，因为，，
所以，所以，
又，所以，
则三棱锥的外接球的半径为，
所以外接球的表面积．
12．C【解析】由，得．
设，则，
故当时，，f（x）单调递增；
当时，，f（x）单调递减．
所以f（x）在处取得极大值，也是最大值，
即，即，
所以，所以（当且仅当时取等号），
所以，即．
设，则当时，
，所以g（x）单调递增，
所以，故，
所以，即，所以．
13．【解析】由，得，所以，
所以在方向上的投影为．
14．或或（写出其中一个即可）
【解析】由得，即．
因为数列是等差数列，所以由等差数列的性质可知．
设等差数列的公差为d，则，．
因为存在最大值，所以公差，又因为d为奇数且，
故可取．当时，，；
当时，，；
当时，，．
15．【解析】将6名专家分配到3个村庄的不同分法有（种），
其中甲、乙两名专家不分配在同一村庄的分法有（种），
甲、乙两名专家不分配在同一村庄且甲、丙两名专家分配在同一村庄的分法有（种）．
设事件A表示“甲、乙两名专家不分配在同一村庄”，事件B表示“甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄”，
则，，
故所求的概率为．
16．【解析】不妨设点A在x轴上方，由题意可知点D也在双曲线C上，设双曲线C的右焦点为，连接并延长，交双曲线C于点E，连接，EF，如图所示
由，可得四边形为矩形，
所以．在Rt△BDF中，设，
则由，得，
由对称性可得，，
由双曲线的定义可得①，
在直角三角形DEF中，，，，
可得②，
由①式和②式可得，将代入①式可得，
化简可得，则双曲线C的离心率．
17．【解析】（1）证明：由正弦定理得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴．
由，得，
由余弦定理的推论得，∴，∴，
∴△ABC为等边三角形．（6分）
（2）由（1）知，∴．
由△ABC为锐角三角形知
解得，∴．（8分）
由正弦定理得，（10分）
由，可得，∴，
即，∴的取值范围为．（12分）
18．【解析】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，所以，．
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，（2分）
又因为，，所以AM⊥平面PCD，
因为CD⊂平面PCD，所以，（4分）
又因为，，所以CD⊥平面PAD．（5分）
（2）由（1）可知，CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以，即平行四边形ABCD是矩形，所以．
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以，所以AB，AD，AP两两垂直．（6分）
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，0，8），C（4，8，0），D（0，8，0）．
由，可知，点M为PD的中点，所以M（0，4，4），
所以，，．
设平面ACM的法向量为，
则即解得，
令，得平面ACM的一个法向量为．（9分）
设BM与平面ACM所成角为θ，
则，（11分）
所以，即BM与平面ACM所成角的余弦值为．（12分）
19．【解析】（1）经计算得，
所以没有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关．（3分）
（2）由题意，可得，
所以，
所以所求线性回归方程为．（5分）
（3）对于方案一，设每名参赛大学生可获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为100，200，300，其对应的概率分别为，，，
故（元）．（7分）
对于方案二，设每名参赛大学生可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为100，200，300，400，
，
，
，
，
所以Y的分布列为
所以（元）．（10分）
因为，所以从数学期望的角度分析，每名参赛大学生选择方案二更有利．（12分）
20．【解析】（1）圆的方程可化为，故，半径，将代入椭圆方程得．
设C的左焦点F的坐标为（－c，0），则，解得，
所以，所以C的标准方程为．（4分）
（2）直线PQ过定点．
由（1）知F（－1，0），因为，的斜率之积为－1，所以，易知，的斜率存在且不为0．
由，，可知点P为线段AB的中点，点Q为线段MN的中点．（5分）
设的方程为，，，
由消去y，得，
则，所以，
所以点P的坐标为．（7分）
将点P坐标中的k换成，可得（8分）
当时，解得，此时直线PQ的方程为，恒过x轴上的点；（9分）
当时，，，
所以，即直线PQ过定点．
综上所述，直线PQ过定点．（12分）
21．【解析】（1），记，则．（1分）
①当时，，在R上单调递减，故无极值．（2分）
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在处取得极大值，且极大值为．
综上所述，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．（4分）
（2）可化为，
当时，，此时可得；（5分）
当时，不等式可化为，
设，
则，
设
则，
所以单调递增，
所以当时，，，
当时，，，
所以函数在（0，+∞）和[－1，0）上都为增函数，（7分）
取，则，
设，
则当时，，
所以在[－1，0）上单调递增，
所以当时，，
所以当时，，
所以的最小值为h（－1），即，（10分）
所以当和（0，+∞）时，没有最小值，
但当x趋近－1时，无限趋近，
且，又恒成立，所以，所以．
综上，k的取值范围为．（12分）
22．【解析】（1）对于曲线C，，，
所以．
因为当有意义时，，
所以，则，即，
所以C的普通方程为．（3分）
由，得，即，
将，代入上式，可得l的直角坐标方程为．（5分）
（2）设，则点D到直线l的距离
，
所以当且仅当，即（）时，d取得最小值，
，（8分）
所以△ABD面积的最小值为（10分）
23．【解析】（1）因为，所以．
当时，，此时x无解；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，不等式的解集M=．（5分）
（2）由（1）可知，即，
所以
，（9分）
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．（10分）．成绩/分
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
60
70
50
20
分类
优秀
非优秀
总计
男生
30
70
100
女生
20
80
100
x/时
8
9
11
12
15
y/分
67
63
80
80
85
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
B
D
D
D
题号
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
B
C
C
Y
100
200
300
400
P