甘肃省2023届高三第一次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

甘肃省2023届高三第一次模拟考试数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：__________

一、单选题

1．已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（    ）

A．{0，1} B．{－1，1，3} C．{－1，0，1} D．{3，5}

2．设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（    ）

A． B． C． D．

3．内角、、的对边分别是、、，若、、成等差数列，，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（    ）

A．计算 B．计算

C．计算 D．计算

5．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知实数满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B．2

C．7 D．8

7．在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，已知正方体棱长为，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点在侧面运动时，的最小值是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的范围是（       ）

A． B． C． D．

10．如图，在中，点C满足，点P为OC的中点，过点P的直线分别交线段OA，OB于点M，N，若，，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．已知圆：．设是直线：上的动点，是圆的切线，为切点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．5

12．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为(　　)

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为______.

14．将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______.

15．若函数为偶函数，则_____．

16．若椭圆和双曲线具有相同的焦点，离心率分别为，是两曲线的一个公共点，且满足，则的值为________.

三、解答题

17．已知数列满足且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足，求的前项和为.

18．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.

（1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；

（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.

19．如图1所示，在平面多边形中，四边形为长方形，为正三角形，，，沿将折起到的位置，使得平面平面（图2）.

(1)证明：；

(2)若点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值.

20．已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

21．已知a为实数，函数，．

(1)求a的值；

(2)求函数在上的极值．

22．在直角坐标系中， 直线的参数方程为(是参数)， 以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程和的直角坐标方程;

(2)若点的直角坐标为， 且直线与交于两点， 求的值;

23．设函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)已知不等式的解集为，，，，求的最小值.

参考答案：

1．D

【分析】求出集合B，然后求出即可

【详解】因为

所以

所以

故选：D.

2．B

【分析】根据向量的运算，结合复数的几何意义求解即可

【详解】由题意

故选：B

3．D

【分析】根据条件可得，再结合余弦定理，即可求出

【详解】解：因为、、成等差数列，所以，

由余弦定理可得，

解得，

故选：D

4．A

【分析】按流程图顺序计算可得结果.

【详解】初始值；第1次循环，；第2次循环，；

第3次循环，，；第4次循环，，

此时，跳出循环，输出.

故选：A

5．D

【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据诱导公式即可求解．

【详解】解：因为，，

所以，

所以．

故选：．

6．C

【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值．

【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，

如下图表示：由，得，

由此可知要取最大值，则直线在轴上的截距最大

作直线，将此直线向上平移经过点C时，取得最大值，

由，得，即，

所以的最大值为，

故选：C．

【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识，属于中档题．

7．A

【分析】根据线面角定义，先证明为与平面所成的角，再根据题设条件求出利用正弦的定义即可求解.

【详解】依题意，可得如图：

设底面的中心为，

易得平面，平面，所以，

又，，平面，

所以平面，

取的中点，连接，则，

所以平面，连接，

则为与平面所成的角.

因为，

所以.

所以.

故选：A.

8．B

【分析】建立空间直角坐标系，根据在内可设出点坐标，作，连接，可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围，即得最小值.

【详解】根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

作，交于M，连接，则，

作，交于N，则即为点P到平面距离.

设,则，，

∵点到平面距离等于线段的长，∴，

由两点间距离公式可得，化简得，则，可得，即.

在中，，所以（当且仅当时取等号）.

故选: B.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题转化成代数问题，通过计算二次函数的最小值来突破难点.

9．B

【分析】把方程有三个不同的实根转化为函数的图象与有三个不同交点，画出函数图象，数形结合可得，从而求得实数的范围.

【详解】解：，，，显然不合题意，因此，

方程有三个不同的实根，即函数的图象与有三个不同交点.

作出函数的图象如图：

由图可知：，得.

∴实数的范围是.

故选：B.

10．D

【分析】先由向量的线性运算得，再由得，由三点共线即可求解.

【详解】由题意得，，则，

又，则，则，又三点共线，

则，即.

故选：D.

11．D

【分析】把化成，再利用切线长性质转化成求点M到直线l距离即可作答.

【详解】如图，连AM，圆M半径为2，则，，

圆心到直线l的距离，从而得，

于是得，当且仅当时取“=”，

所以的最小值为5.

故选：D

12．A

【分析】构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为，即，解得，即

【详解】设，

因为为上奇函数，

所以，

即为上奇函数

对求导，得，

而当时，有

故时，，即单调递增，

所以在上单调递增

不等式

，

即

所以，解得

故选A项.

【点睛】本题考查构造函数解解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.

13．3

【分析】由圆台的体积公式直接求得.

【详解】圆台的体积，得.

所以该圆台的高为3.

故答案为：3.

14．280

【分析】组合问题中既有均分又有非均分，先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，注意均分分组中的顺序问题，剩余两人为一组.

【详解】先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.

满足条件的分组方法种数为.

故答案为：280.

15．1

【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，

．

考点：函数的奇偶性．

【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．

16．

【分析】根据椭圆及双曲线的定义求得，，结合，化简得到，则

【详解】设椭圆，双曲线，焦距为2c，

则，

则，

又，则由勾股定理知，

则，

则，

故答案为：2

【点睛】关键点点睛：，问题等价于求与的关系，结合条件，利用椭圆和双曲线的定义来求得.

17．(1).

(2).

【分析】（1）利用等比数列定义判断为等比数列，根据等比数列的通项公式求得答案.

（2）由（1）可求得的通项公式，利用错位相减法即可求得答案.

【详解】（1）由题意知数列满足且，

是首项为，公比为的等比数列，

；

（2）由，得，

所以，

则

两式相减得

，

所以.

18．（1）件；（2）需要对该工厂设备实施升级改造.

【解析】（1）根据评论分布直方图面积之和为1列等式计算得，用200乘以内的频率即可得出答案；

（2）根据题意计算等品件，不合格品有件，进而得合格品有件，根据题意计算其利润与9000比较判定需要对该工厂设备实施升级改造.

【详解】解：（1）因为，

解得，

所以200件样本中尺寸在内的样本数为（件）.

（2）由题意可得，这批产品中优等品有件，

这批产品中不合格品有件，            

这批产品中合格品有件，

元.                   

所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为8960元，

因为，

所以需要对该工厂设备实施升级改造.

【点睛】

频率分布直方图中的常见结论

（1）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标；

（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；

（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.

19．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得；

（2）作，取的中点F，则平面，可得为与平面所成的角，进而即得.

（1）

由四边形为长方形，可知，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以；

（2）

作，垂足为O，因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

连接，，取的中点F，连接，，则，，

所以平面，

所以为与平面所成的角，

由平面，平面，可知，

同理可得，因为，

所以，又，所以，

在直角中，，，

易求，又，

所以，

所以，又，

所以，

即与平面所成角的正弦值是.

20．（1）；（2）.

【分析】（1）根据线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物线的方程；

（2）设直线：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，，再由得，即可得到结论．

【详解】（1）设，两点的坐标分别为，，

则，，两式相减得.

即，

又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.

即抛物线的标准方程为.

（2）设直线：与抛物线：交于点，，

则，

，∴，

∴，，

由得，即，，

直线为，∴过定点.

【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

21．(1)

(2)的极大值为，极小值为

【分析】（1）求出导函数，结合已知条件即可求解；

（2）根据函数的单调性与导数的关系，求出函数在的单调区间，从而即可求解函数的极值.

(1)

解：因为，所以，解得；

(2)

解：由 ( 1 ) 知，，，

令，得或，令，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为，极小值为.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）首先消去参数即可得到直线的普通方程，再根据，即可得到C的直角坐标方程.

（2）首先直线l的参数方程代入C的直角坐标方程中，再根据直线参数方程的几何意义求解即可.

【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t是参数），消去参数t，

得，

即直线l的普通方程为．

将，代入C的极坐标方程，得，

即，

所以C的直角坐标方程为．

（2）因为点P的直角坐标为，所以直线l过点P．

将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程中，

得，

设A，B两点对应的参数分别为，，又，

所以，，

所以．

23．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由题知的解集为，进而得，再根据基本不等式求解即可.

(1)

解：当时，，

所以，当时，，解得该不等式无解；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为

(2)

解：因为不等式的解集为，

所以，的解集为，即的解集为

如图，要使的解集为，则，解得或

因为，，即.

因为，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.