2023年湖南省长沙市雅礼中学高三高考考前适应性训练数学试题及答案

这是一份2023年湖南省长沙市雅礼中学高三高考考前适应性训练数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（共8个小题，每个小题5分，共40分）
1．已知复数（i为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．设全集U=R，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．己知向量，满足，且，，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ）
A．96个B．78个C．72个D．64个
6．已知，，则（ ）
A．4B．6C．D．
7．已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知随机变量X服从正态分布N（100，），则下列选项正确的是（ ）
（参考数值：随机变量服从正态分布N（100，），则，，）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若不等式的解集为，则
B．若命题p：，，则p的否定为，
C．在△ABC中：“”是“”的充要条件
D．若对恒成立，则实数x的取值范围为（，）
11，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是
D．三棱锥D1-APC的体积不变
12．已知是定义在R上的偶函数，其图象关于点（1，0）对称，下列关于的结论，正确的是（ ）
A．是周期函数B．满足
C．在（0，2）上单调递减D．是满足条件的一个函数
三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）
13．己知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球体积为，且AA1=BC=2，则A1C与平面BB1C1C所成的角的大小为________．
14．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为________．
15．定义在R上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是________．
16．已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（i=1，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是________．
四、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
己知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC的周长L的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD=2AB=2EF=4，M为DF的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中：
（1）证明：EF⊥MC；
（2）求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（1）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
（2）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
（3）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P（2，），且它的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与圆相切的直线l：交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
己知函数，且．
（1）求a的值；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
年龄
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45，50）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
人数
6
7
3
5
4
雅礼中学2023届考前适应性训练
数学 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置）
13．14．9
15．60416．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）
17．解析：
（1）数列{an}是递增的等比数列，设公比为q，由题意可得q＞1，
由a2＝9，S3＝39，可得+9+9q＝39，解得q＝3或（舍去），
则数列{an}的通项公式为an＝a2qn﹣2＝9•3n﹣2＝3n；
（2）＝（2n﹣1）•（）n，
Tn＝1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，
Tn＝1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n﹣1）•（）n+1，
两式相减可得Tn＝+2[（）2+（）3+…+•（）n]﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，
化简可得．
易得：
18．解析：
（1）由已知得：，
再由正弦定理得：，
∵B＝π﹣（A+C），
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC②
又C∈（0，π），由①②得，
，又A∈（0，π），
∴．
（2）法一：由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccsA得b2+c2﹣bc＝9
即：（b+c）2﹣3bc＝9，而（当且仅当b＝c＝3时等号成立）
从而，得b+c≤6，
又b+c＞a＝3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；
法二：由正弦定理得：，
∴，又，
从而△ABC的周长L：＝
，，∴，∴，
从而：L∈（6，9]．
19．解析：
证明：（1）由题意知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF⊥AB，EF⊥CD，
∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，
∵DF∩CF＝F，∴EF⊥平面DCF，
又MC⊂平面DCF，∴EF⊥MC．
（2）∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且EF⊥DF，
∴DF⊥平面BEFC，∴DF⊥CF，∴DF，CF，EF两两垂直，
以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵DM＝1，∴FM＝1，
∴M（1，0，0），D（2，0，0），A（1，0，2），B（0，1，2），
∴＝（0，0，2），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，2），
设平面MAB的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，0），
设平面ABD的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（2，2，1），
∴cs＜＞＝＝＝，
∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值为．
20．解析：
（1） 设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A，
所以．
（2） 设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，
所以．
（3）X的可能取值为0，1，2，3．
所以，，
，．
所以X的分布列是
所以EX＝0×+1×+2×＝．
21．解析：
（1） 设椭圆的标准方程为，
由已知得：，解得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2） 因为直线l：y＝kx+t与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，
所以，2k＝，t≠0，
把y＝kx+t代入，并整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣24＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，
y1+y2＝kx1+t+kx2+t
＝k（x1+x2）+2t＝，
因为＝（x1+x2，y1+y2），
所以C（，），
又因为点C在椭圆上，所以，
，
因为t2＞0，所以，
所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．
22．解析：
（1）因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a﹣．
则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，
所以h（x）min＝h（），
又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以＝1，解得a＝1；
另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），
所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，
所以解得a＝1；
（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2﹣，
令t′（x）＝0，解得x＝，
所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，又t（）＝＞0，所以t（x）在（0，）上存在唯一零点，
所以t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2，
且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，
所以f（x0）＝﹣x0﹣x0lnx0＝﹣x0+2x0﹣2＝x0﹣，
由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max＝﹣+＝；
由f′（）＜0可知x0＜＜，
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，
所以f（x0）＞f（）＝；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
C
B
D
C
A
9
10
11
12
ABC
ABD
ABD
ABD
X
0
1
2
3
P