湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题

雅礼中学2023届模拟试卷（二）

数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过解二次不等式和对数不等式求出集合，然后由交集运算得出答案．

【详解】由可得，所以，

由，即，可得，所以，

所以.

故选：D．

2. 已知数列，若，则（    ）

A. 9 B. 11 C. 13 D. 15

【答案】B

【解析】

【分析】由题中条件，分别令，，即可得解.

【详解】由，

令，则，则，

令，则，则.

故选：B.

3. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（    ）

A. 1.322 B. 1.410

C. 1.507 D. 1.669

【答案】A

【解析】

【分析】由可得,进而将条件代入求解即可.

【详解】,,

故选:A

【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.

4. 某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 频率分布直方图中的值为0.004

B. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75

C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为150

【答案】D

【解析】

【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.

【详解】由可得，故A错误；

前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B错误；

这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；

总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.

故选：D

5. 年，新型冠状病毒引发疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．郑州某医院的甲、乙、丙、丁、戊名医生到湖北的、、三个城市支援，若要求每个城市至少安排名医生，则城市恰好只有医生甲去支援的概率为（    ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

把名医生分成三组，有、、和、、两种分法，然后再安排到三个医院，从而求得总数，再计算城市恰好只有医生甲去，同样把4名医生分成两组，有、和、两种分法，然后安排到其他两个医院，求出方法数后可计算概率．

【详解】先算总数：分两步，第一步，把名医生分成三组，有、、和、、两种分法，

当分成、、时，有种情况，

当分成、、时，有种情况，

第二步，把这三组分到三个城市，则共有种情况，

再算城市恰好只有医生甲去支援的情况：

分两步，第一步，把名医生分成二组，有、和、两种分法，

当分成、时，有种情况，

当分成、时，有种情况，

第二步，把这两组分到两个城市，则共有种情况，

因此所求概率为，

故选：B．

【点睛】方法点睛：本题考查古典概型，在求方法数涉及到分组分配问题．

分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数阶乘．个不同元素按分成组，若两两不等，分组数为，若中仅有个数相等，则分组数为．

6. 一条斜率为1的直线分别与曲线和曲线相切于点和点，则公切线段的长为（    ）

A. 2 B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】对和求导，根据公切线的斜率为，得到切点，横坐标，从而得到两个切点，的坐标，然后得到的值.

【详解】，求导得，

因为切线斜率为，所以，即，

所以

，求导得，

因为切线斜率为，所以，

而，所以，

所以，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义根据切线的斜率求切点，属于简单题.

7. 若，，则下列结论不正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正切函数的单调性可判断选项A；利用两角和的正切公式判断选项B；利用基本不等式判断选项C；根据题意结合估算判断选项D.

【详解】对于选项A，因为，

所以，故选项A正确；

对于选项B，因为，

所以，，

所以，

同理，

所以，故选项B正确；

对于选项C，因为

（当且仅当时取等）

因为，所以等号取不到，

则，故选项C正确；

对于选项D，因为，

所以，

因为，所以，则，

若，则，解得，

因为，故选项D错误，

故选：D.

8. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知等式可得，构造函数，分析出函数在上为增函数，由可求得的值.

【详解】等式两边取自然对数可得，

由可得，所以，，

构造函数，则函数在上为增函数，

由可知，由可知，从而，

由上可知，所以，，因此，.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于利用已知等式变形得出，通过利用函数的单调性得出，进而求得结果.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（    ）

A. 直线的方程为 B.

C. 椭圆的标准方程为 D. 椭圆的离心率为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直线过点和点可得直线的方程，与椭圆方程联立，可得的中点的横坐标得到可得椭圆标准方程和离心率，从而达到答案.

【详解】因为直线过点和点，所以直线的方程为，

代入椭圆方程，消去，得，

所以的中点的横坐标为，即，

又，所以，离心率为，

所以圆的方程为．

故选：ABD．

10. 函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，都存在，使得，则的可能值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】先利用三角函数图象的变换得出，再将问题转化为两个函数值域的包含关系后代入选项利用三角函数的图象与性质一一计算即可.

【详解】由题意可得：，对于任意，都存在，使得，显然，

故对于任意，都有函数的值域是的子集，

易得此时，

代入A项，由正弦函数的图象与性质知此时，不符合题意；

代入B项，同理知此时符合题意；

代入C项，知此时不符合题意；

代入D项，知此时符合题意.

故选：BD

11. 下列说法正确的有（    ）

A. 设直线系：，则存在一个圆与中所有直线相交

B. 设直线系：，则存在一个圆与中所有直线相切

C. 如果圆：与圆：有四条公切线，则实数的取值范围是

D. 过点作圆的切线，切点为、，若直线的方程为，则

【答案】AB

【解析】

【分析】本题为圆的综合问题，对于AB由圆的切线系方程即可得到，C考查两圆的位置关系中的外离，圆心距大于两圆半径之和即可解决，D选项作圆的两条切线，切点连线即为两圆的公共弦，问题即可解决.

【详解】因为为圆的切线系方程，存在一个圆与中所有直线相交，相切，故AB正确.

选项C,由圆的方程得圆心为，半径，又因为圆：圆：有四条公切线，则，即，解得，即.故C错误.

选项D，由得圆心O 设P，则的中点，，以长度为直径，为圆心的圆的方程为，两圆方程作差得，即为AB的直线方程，又直线的方程为，，故D错误.

故选：AB

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 是以为周期的函数

B. 直线是曲线的对称轴

C. 函数的最大值为，最小值为

D. 若函数在区间上恰有2023个零点，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据周期函数定义判断A即可；根据函数对称轴定义判断B即可；由A知是以为周期的函数，所以根据求解在区间上的最大值即可判断选项C，利用在区间上的零点个数即可判断选项D.

【详解】对于A，因为，

所以是以为周期的函数，故A正确；

对于B，有，故B错误；

对于C，由A知只需考虑在区间上的最大值，

当时，令，

则，

易知在区间上单调递减，

所以的最大值为，最小值为；

当时，令，

则，

易知在区间上单调递增，

所以的最大值为，最小值为，

综合可知：函数的最大值为，最小值为，故C正确；

对于D，因为是以为周期的函数，

可以先研究函数在区间上的零点个数，易知，

当时，令，解得或1，

因为，则，

则在区间上无解，

在区间上仅有一解，

当时，令，解得或1，

因为，则，

则在区间上无解，

在区间上也无解，

综合可知：函数在区间上有两个零点，分别为和，

又因为是以为周期的函数，

所以若，则在区间上恰有个零点，

又已知函数在区间上恰有2023个零点，

所以，故D正确．

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题主要考查命题的真假判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本题的关键，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设，则复数在复平面内对应的点的坐标为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知条件求出，结合复数的加减法运算法则对所求复数进行整理，从而可求出对应点坐标.

【详解】解：因为，所以，所以，

则复平面内对应的点的坐标为，

故答案为:

14. 已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）

【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.

【解析】

【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果.

【详解】设，因为，，

所以，

，

因为与，的夹角均相等，所以，

所以，

化简得，所以，

因为为非零向量，可取，此时.

故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.

15. 如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为_______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.

【详解】中，，，，

由余弦定理得，

则折成的三棱锥中，，

即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，

设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，

则，解得，

又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，

故三棱维的体积为，

又三棱锥四个侧面是全等的，

故三棱锥的表面积为，

设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，

故，故内切球表面积为.

故答案为：

16. 已知数表如图，记第行，第列的数为，如，记，则__________．

                     0

                   1  2

                3  4  5  6

         7  8  9  10  11  12  13  14

      15  16  17  18  19  20  21    30

                      ……

【答案】2022

【解析】

【分析】先根据图找规律，为等差数列，公差为1，故需根据规律求出首项即得.

【详解】表示前项出现的数字个数总和，即第行的第1个数字，

，

如，

所以，，

，，

所以是以首项为，公差为1的等差数列．

．

．

故答案为：2022

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.

（1）求与通项公式；

（2）设，求的前n项和.

【答案】（1），，   

（2），

【解析】

【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；

（2）根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可.

【小问1详解】

设的公差为d，因为，，

所以，解得，从而，

所以；

设的公比为q，因为，所以，解得，

因为，所以，

所以 .

【小问2详解】

由上可知：，所以，

所以，

所以，.

18. 已知的内角对应的边分别为，的面积为．

（1）求证：；

（2）点在边上，若，求．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角形面积公式可得，进而得到，然后利用正弦定理即可求解；

（2）结合（1）的结论，利用余弦定理即可求解.

【小问1详解】

，则，

即，即，

故，由正弦定理得.

【小问2详解】

由，由（1）可知，

则，可得为等边三角形，

则，从而，

在中，由余弦定理可得，

又，所以，

所以.

19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点在线段上，，平面平面．

（1）求四面体的体积；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，过点作的平行线，易证，根据面面垂直的性质可得平面，从而可得平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，取的中点，连接，根据求得点得坐标，根据，求出，再根据锥体得体积公式即可得解；

（2）利用向量法求解即可.

【小问1详解】

取的中点，连接，过点作的平行线，

在菱形中，为等边三角形，

又底面是边长为4的菱形，，且，

又平面平面，平面平面平面，

平面，又平面，

又平面，又，

如图以点原点，建立空间直角坐标系，

，

取的中点，连接，则，

，

，设，则，

由，得，

即，

设，则，

，

，

；

【小问2详解】

设平面的一个法向量为，

由，

得取，

又，

∴直线与平面所成角的正弦值为：

20. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

根据以上数据，绘制了散点图.

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.参考数据（其中）：

（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；

（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；

（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.

【答案】（1）；（2）当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）令，则可转化为，分别求出的值，即可求解；

（2）直接利用相关关系公式求得与的相关系数，可得，得到用反比例函数模型拟合效果更好，取，可得当千件时，每件产品的分原料成本；

（3）分别求出产品单价为100元与产品单价为90元企业的利润，即可得到答案．

【详解】（1）令，则可转化为，

因为，所以，

则，所以，

所以关于的回归方程为；

（2）与的相关系数为：

，

因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，

当时，（元），

所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；

（3）（i）若产品单价为100元，记企业利润为（千元），

订单为9千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为611（千元），

订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690（千元），

企业利润（千元）的分布列为

所以（千元）；

（ii）若产品单价为90元，记企业利润为（千元），

订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590（千元），

订单为11千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为659（千元），

企业利润（千元）的分布列为

所以（千元），

故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.

【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

21. 已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与直线相交于两点．当点为椭圆的上顶点时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，且，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意求出即可得解；

（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，由根与系数的关系及化简，利用求解.

【小问1详解】

由题意可知，，

当点为椭圆的上顶点时，，解得．

故椭圆的方程为.

小问2详解】

如图，

依题意，设直线的方程为，

易得．

联立方程组 消去并整理得，

则，，

直线的方程为，

令得，同理可得，

则，

由，解得，得，

即实数的取值范围为．

22. 已知函数．

（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；

（2）当时，求证在上只有一个零点，且．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解；

（2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明.

【小问1详解】

因为，所以．

由在R上单调递减，得，即在R上恒成立．

令，则．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

故，解得，

即a的取值范围为．

【小问2详解】

由（1）可知，在上单调递减，且，，

故，使得．

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

因为，，所以在上只有一个零点，

故函数在上只有一个零点．

因为，所以要证，即证，即证．

因为，得，

所以，故需证即可．

令，，则．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

故．即，

原不等式即证.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.