湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三下学期适应性月考（八）数学试题

雅礼中学2023届高三月考试卷（八）

数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（   ）

A.  B.

C.  D.或

2.下列说法正确的是（   ）

A.“”是“”的充要条件

B.“，”是“”的必要不充分条件

C.命题“，”的否定形式是“，”

D.“”是“”的充分不必要条件

3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（   ）

A. B. C. D.

4.在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则（   ）

A. B. C. D.

5.已知直角三角形中，，，，点P在以A为圆心且与边相切的圆上，则的最大值为（   ）

A. B. C. D.

6.已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ）

A. B. C. D.

7.若函数只有一个极值点，则a的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

8.已知双曲线与抛物线有公共焦点F，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长与抛物线相交于点B，若点A为线段的中点，双曲线的离心率为e，则（   ）

A. B. C. D.

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.上级某部门为了对全市36000名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本（数学水平分数）数据进行整理分析，全部的分数可0.040按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（   ）

A.图中x的值为0.025

B.估计样本数据的80%分位数为84

C.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为360

D.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数80分及以上的人数占比为3%

10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（   ）

A.  B.

C.事件A和事件B互为对立事件 D.事件A和事件B相互独立

11.如图，正方体棱长为2，点P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（   ）

A.的最小值为

B.的最小值为

C.三棱锥的体积不变

D.以点B为球心，为半径的球面与平面的交线长

12.对于定义在区间D上的函数，若满足：且，都有，则称函数为区间D上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（   ）

A.  B.，

C. D.，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中含项的系数为__________.

14.已知点P为抛物线上的一个动点，直线，点Q为圆上的动点，则点P到直线l的距离与之和的最小值为__________.

15.已知三棱锥满足，平面，，若，则其外接球体积的最小值为__________.

16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A是一个“0，1数列”，定义数列：数列A中每个0都变为“1，0，1”，A中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，且数列，，2，3，…，记数列的所有项之和为，则__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列的前n项和为Sn，且，.

（1）当，时，求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）当，时，不等式对于任意，都成立，求实数的取值范围.

18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若边上的中线，求面积的最大值.

19.如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

（2）在人工智能中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值；

（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X的概率分布列及数学期望.

附：，

21.已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，椭圆T的离心率.

（1）求椭圆T的标准方程；

（2）设，且，过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N，点是椭圆T的右焦点，且与互补，求面积的最大值.

22.已知函数（a为非零常数），记（），.

（1）当时，恒成立，求实数a的最大值；

（2）当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上.