湖南省长沙市长郡中学2023届高三高考前保温卷(1)数学试题

长郡中学2023届数学保温卷（1）

一、选择题：本大题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U=R，若集合，B={0，2，3}，则（    ）

A．{0}    B．{0，2}    C．{2，3}    D．{3}

2．函数在上的图像大致为（    ）

A．   B． C． D．

3．已知向量在单位向量上的投影向量为，则（    ）

A．    B．    C．3    D．5

4．若，则（    ）

A．0    B．    C．1    D．

5．黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观．小明同学在研究数列时，发现其递推公式，（）就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，

如果该数列的前两项分别为，，其前n项和记为，若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．若椭圆E：（）的离心率为，两个焦点分别为（，0），（c，0）（，M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则（    ）

A．2    B．    C．4    D．

8．如图，底面同心的圆锥高为，A，B在半径为3的底面圆上，C，D在半径为4的底面圆上，且AB∥CD，AB=CD，当四边形ABCD面积最大时，点O到平面PBC的距离为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．

9．近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：[50，60）、[60，70）、…、[90，100]，统计结果如图所示．由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布N（，），且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得s=12．则（    ）

A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5

B．由直方图可估计样本的中位数约为75

C．由正态分布可估计全县的人数约为2.3万人

D．由正态分布可估计全县的人数约为40.9万人

10．已知双曲线C经过点（，1），且与椭圆：有公共的焦点，，点M为椭圆的上顶点，点P为C上一动点，则（    ）

A．双曲线C的离心率为                        B．

C．当P为C与的交点时，        D．的最小值为1

11．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥B1-C1D1P的体积为定值

B．存在点P，使得D1P⊥AC1

C．若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为

D．若点P是AD的中点，点Q是BB1的中点，过P，Q作平面⊥平面ACC1A1，则平面截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为

12．已知函数定义域为R，满足，当时，．若函数的图象与函数（）的图象的交点为（，），（，），…（，），（其中[x]表示不超过x的最大整数），则（    ）

A．是偶函数        B．n=2024

C．        D．

三、填空题（本大题共4小题）

13．173，174，166，172，170，165，165，168，164，173，175，178，则这组数据的上四分位数为________．

14．若函数的最小值为，则常数的一个取值为________．（写出一个即可）

15．设直线与两坐标轴的交点分别为A，B，点C为线段AB的中点，若圆O：（）上有且只有一个点P，使得直线PC平分∠APB，则r=________．

16．已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为________．

四、解答题：（本大题共2小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知数列的前n项和为，，（）．

（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）若__________，求数列的前n项和．

从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答．注：若选择多个条件作答，则按第一个解答计分．

18．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠DCF=60°，G是线段BE上一动点（不含端点）．

（1）当点G为线段BE的中点时，证明：AG∥平面CDEF；

（2）若AD=1，CD=DE=2，且直线DG与平面CDEF成45°角，求二面角E-DG-F的正弦值．

长郡中学2023届数学保温卷（1）

参考答案

1．因为，即，且，

则，所以。故选：C

2．函数定义域为，而，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；而当时，，排除选项A，选项B符合要求，故选：B

3．因为向量在单位向量上的投影向量为，所以，又，所以，则．故选：A．

4．【解析】方法一：，

即，

选C.

方法二：

，选C.

5.由得，

所以，

，

．故选：D．

6．因为函数为偶函数，则，即，①

又因为函数为奇函数，则，即，②

联立①②可得，由基本不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为．故选：B.

7．

如图，连接，设到轴距离为到轴距离为，则设内切圆的半径为，则，

不妨设，则，

因为椭圆的离心率为，故选：A．

8．如图，直线交大圆于点，连接，由，知四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则，由，知四边形是矩形，因此四边形为矩形，过作于，连接，

从而四边形的面积，

当且仅当，即时取等号，此时，

如图，在几何体中，连接，因为平面平面，则，又平面，于是平面，而平面，

则有平面平面，显然平面平面，在平面内过作于，从而平面，即长即为点到平面的距离，

在Rt中，，

所以点到平面的距离是．故选：

9．对于选项，由直方图可估计样本的平均数为

对；对于B选项，前两个矩形的面积为，

前三个矩形的面积之和为，设样本的中位数为，则，

由中位数的定义可得，解得，B对；对于C选项，因为，

所以，，

所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；

对于D选项，因为，

所以，

，

所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对．故选：ABD．

10．A：由题意，，设双曲线的标准方程为，

将点代入得，所以双曲线方程为，得其离心率为，故A正确；

B：由选项的分析知，双曲线的渐近线方程为，如图，

，所以，得，故B错误；

C：当为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，，解得，

又，在中，由余弦定理得，故C正确；

D：设，则，所以

当时，，故D正确．故选：ACD．

11．ABD【解析】对于，由等体积法，三棱雉的高为，

底面积，所以，

所以三棱雉的体积为定值，正确；

对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

，若，则，

即，取，此时点与点重合，满足题意，

所以存在点，使得，B正确；

对于C，，若，即，所以点的轨迹就是线段，轨迹长为错误；

对于D，如图取中点，连接，由题可得平面，

连接，因为平面，则，又，平面，则平面，又取中点为，则，有四点共面，则平面即为平面，又由两平面平行性质可知，，

又都是中点，故是中点，是中点，

则平面截正方体的截面为正六边形，

又正方体棱长为2，则，故截面面积为，D正确．故选：ABD

12．【答案】BCD【解析】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；

函数定义域为，满足，当时，，

当时，，

当时，，

，

当时，，

当时，，

因此当时，函数在上递减，在上递增，当时，取得最大值，

当时，，

当时，，

当时，，

因此当时，函数，

在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，

当时，函数的图象有唯一公共点，

因为，因此，而满足的整数有2024个，即，B正确；

显然，

所以，C正确；

，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，D正确．

13．由题意可得，

将12位同学的身高从小到大排列为：，故这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数，即，故答案为：173．514．可化为，

所以，设，

则，设，则，

因为函数的最小值为，所以，

所以或，其中，故答案为：（答案不唯一）．

15．，点为线段的中点，直线平分在的垂直平分线上，

因为，所以中垂线的斜率为的中点为，由点斜式得，

化简得在圆满足条件的有且仅有一个，直线与圆相切，

，故答案为：．

16．当时，，

由图可知，，此时若对任意，只需，即，即．当，此时若对任意，即，所以只需．令，

则，当单调递增，当单调递减，．综上，．

17．【1】依题意可得，

两式相减并化简得，所以，

又，解得．所以，故由于，所以，于是．

故数列是首项为3，公比为3的等比数列，，即

【2】选（1）：由（1）得，则

两式相减得，所以

选（2）：由（1）得，

所以

（i）当为偶数时，

（ii）当为奇数时，

综上所述．

18．【1】证明：因为四边形为平行四边形，所以是中点，连接，又点为线段的中点，则，且又且，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面

【2】以为原点，为轴建立空间直角坐标系（如图）．

则有，设，

则，

为平面的法向量，所以，

解得（其中舍去）所以，

设平面的法向量为，则有，

，故可取．

设平面的法向量为，则有，

，故可取

所以．

所以二面角的正弦值为．