2022-2023学年重庆市巴蜀常春藤江南校区高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市巴蜀常春藤江南校区高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数f(x)=lnx，则f′(4)=( )
A. 0B. 1C. 14D. 4
2. 已知P(B|A)=35，P(A)=45，则P(AB)=( )
A. 34B. 45C. 1225D. 625
3. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
4. 已知随机变量X的分布列为
则实数q=( )
A. 14B. 16C. 18D. 112
5. 在二项式(x+1)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A. 15B. 20C. 30D. 40
6. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c+1)=P(ξA. 1B. 2C. 3D. 4
7. 某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有种( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
8. 已知函数对于任意x∈(0,+∞)时，不等式xeax+lnx+ax<1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1e2)B. (−∞,−1e)C. (−∞,−e)D. (−∞,−1)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知X～B(8,14)，则( )
A. E(X)=2B. E(X)=32C. D(X)=32D. D(X)=2
10. 已知随机变量X满足E(X)=5，D(X)=2，则下列选项正确的是( )
A. E(2X+1)=11B. E(2X+1)=10C. D(2X+1)=9D. D(2X+1)=8
11. 关于(7−x)7的展开式，下列判断正确的是( )
A. 展开式共有8项B. 展开式的各二项式系数的和为128
C. 展开式的第7项的二项式系数为49D. 展开式的各项系数的和为67
12. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是( )
A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B. 由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
C. 在“杨辉三角”中，当n=12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
D. 在“杨辉三角”中，第3行所有数字的平方和恰好是第6行的中间一项的数字
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X≤1)=0.2，则P(X<3)= ______ ．
14. 某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为______．
15. 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字且为偶数，这样两位数的个数有______ 个.
16. 设直线y=12x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．
(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加，有多少种选法？
18. (本小题12.0分)
甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12．
(1)现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
(2)求3人中恰好有1人投中的概率．
19. (本小题12.0分)
已知x=1是函数f(x)=x3−6x2+ax的一个极值点．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[−1,4]上的最小值．
20. (本小题12.0分)
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(Ⅰ)求三种粽子各取到1个的概率；
(Ⅱ)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
21. (本小题12.0分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望；
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx．
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得：f(x)=lnx⇒f′(x)=1x，
∴f′(4)=14．
故选：C．
直接求导计算即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，P(B|A)=P(AB)P(A)，
∵P(B|A)=35,P(A)=45
∴P(AB)=P(B|A)P(A)=35×45=1225
故选：C．
根据条件概率的公式，整理出求事件AB同时发生的概率的表示式，代入所给的条件概率和事件A的概率求出结果．
本题考查条件概率与独立事件，本题解题的关键是记住并且会利用条件概率的公式，要正确运算数据，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由y=f′(x)的图象易得当x<0或x>2时，f′(x)>0，
故函数y=f(x)在区间(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增；
当0故选：C．
先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，由随机变量的分布列，14+(1−4q)+q=1，
解得：q=112．
故选：D．
根据题意，由分布列的性质可得14+(1−4q)+q=1，解可得q的值，即可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：(x+1)6展开式的通项为Tr+1=C6rxr
令r=3得含x3的项的系数是C63=20
故选：B．
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得含x3的项的系数
本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：(1)正态曲线关于直线x=μ对称；(2)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1，属于基础题．
由对称性得c−1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．
【解析】
解：∵N(2,32)，P(ξ>c+1)=P(ξ则c−1+c+12=2，
解得c=2，
所以选B．
7.【答案】C
【解析】解：设四场讲座为A，B，C，D，
首先排B，C，共有A22种，视为一个整体与D全排，共有A22种，再排A，共有A21种，
综上共有A22A22A21=8种．
故选：C．
首先排B，C，共有A22种，视为一个整体与D全排，共有A22种，再排A，共有A21种，即可得到答案．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题设xeax+lnx+lneax<1，即xeax+lnxeax<1，
令f(x)=x+lnx且x∈(0,+∞)，上述不等式等价于f(xeax)而f′(x)=1+1x>0，故f(x)在(0,+∞)上递增，则有xeax<1在(0,+∞)上恒成立，
所以a<1xln1x在(0,+∞)上恒成立，记t=1x∈(0,+∞)，令g(t)=tlnt，则g′(t)=1+lnt，
当01e时，g′(t)>0，则g(t)单调递增，
所以y=1xln1x在(0,e)上递减，在(e,+∞)上递增，则ymin=y|x=e=−1e，故a<−1e．
故选：B．
将不等式化为xeax+lnxeax<1，构造f(x)=x+lnx进而化为f(xeax)本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，由xeax+lnxeax<1并构造函数f(x)=x+lnx并研究单调性，将问题转化为a<1xln1x在(0,+∞)上恒成立，再次构造g(t)=tlnt研究最值求范围，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为X～B(8,14)，所以E(X)=8×14=2,D(X)=8×14×(1−14)=32．
故选：AC．
根据二项分布的期望、方差公式计算可得．
本题考查了二项分布的期望、方差公式，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：E(2X+1)=2E(X)+1=2×5+1=11，
D(2X+1)=22⋅D(X)=4D(X)=4×2=8．
故选：AD．
利用数学期望以及方差的运算性质，求解即可．
本题考查期望方差的性质，属基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：展开式共有8项，A正确．
展开式的各二项式系数的和为27=128，B正确．
展开式的第7项的二项式系数为C76=7，C错误．
展开式的各项系数的和为(7−1)7=67，D正确．
故选：ABD．
根据二项式定理，对选项进行逐个判断，即可解出．
本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，在杨辉三角第9行中，从左到右第7个数是C96=84，故A正确；
对于B，由第n行所有数之和为2n猜想：Cn0+Cn1+Cn2+⋅⋅⋅+Cnn=2n．
理由如下：(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋅⋅⋅+Cnnxn，
令x=1，得：Cn0+Cn1+Cn2+⋅⋅⋅+Cnn=2n，故B正确；
对于C，在“杨辉三角”中，当n=12时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78，故C错误；
对于D，在“杨辉三角”中，第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字，
用数学语言表述为：(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+⋅⋅⋅+(Cnn)2=C2nn．
证明如下：
(1+2x)2n=(1+x)n(1+x)n
=(Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋅⋅⋅+Cnnxn)(Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋅⋅⋅+Cnnxn)，
对应相乘可得xn的系数为(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+⋅⋅⋅+(Cnn)2，
∴(1+x)2n利用二项式定理可得通项公式为T2nr=C2nrx2n−r，
当r=n时，T2nn=C2nnxn，∴xn的系数为C2nn，
∴(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+⋅⋅⋅+(Cnn)2=C2nn，故D正确．
故选：ABD．
利用二项式定理和二项式系数性质判断A；根据二项式定理，结合赋值法判断B；计算出n=12时，第1行起，每一行的第2列的数字之和为78，判断C；用数学语言表述，并用两各方法表达(1+x)2n中xn的系数，判断D．
本题考查命题真假的判断，考查杨辉三角、二项式定理、组合数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】0.8
【解析】解：随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，
则P(X≤1)=P(X≥3)=0.2，
故P(X<3)=1−P(X≥3)=1−0.2=0.8．
故答案为：0.8．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】0.55
【解析】解：由题意，因为两条生产线产量相同，故从该厂产品中任取一件，抽取到甲、乙两条生产线的概率均为0.5，
故从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为0.5×0.6+0.5×0.5=0.55，
故答案为：0.55．
根据全概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
15.【答案】16
【解析】解：当个位数字是8时，十位数字取1，2，3，4，5，6，7，只有7个．
当个位数字是6时，十位数字可取1，2，3，4，5，共5个．
当个位数字是4时，十位数字可取1，2，3，共3个．
同理可知，当个位数字是2时，有1个，
当个位数字是0时，共0个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1+3+5+7=16(个)．
故答案为：16．
利用分类计数原理，对个位进行分类讨论即可得到结果．
本题考查计数原理等相关知识，属于中档题．
16.【答案】ln2−1
【解析】
【分析】
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．
【解答】
解：y′=(lnx)′=1x，令1x=12得x=2，
∴切点为(2,ln2)，代入直线方程y=12x+b，
∴ln2=12×2+b，∴b=ln2−1．
故答案为：ln2−1．

17.【答案】解：(1)第一步，从5名男生中选2人，有C52种选法；第二步，从5名女生中选2人，有C52种选法．
根据分步乘法计数原理，共有C52C52=100种选法．
(2)从10人中选取4人，有C104种选法；男生甲与女生乙都不参加，有C84种选法．
所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有C104−C84=140种选法．
【解析】(1)分两步完成，第一步先选2名男生；第二步再选2名女生，根据乘法原理求得结果；
(2)先求出从10人中任选4人的方法数，再减去男生甲与女生乙都不参加的方法数，即得男生甲与女生乙至少有一个参加的选法种数．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，设A=甲投篮投进，B=乙投篮投进，C=丙投篮投进，三个事件相互独立，
若3人都没有投进，即A−B−C−，
其概率P(A−B−C−)=P(A−)P(B−)P(C−)=(1−13)(1−25)(1−12)=15，
即3人都没有投进的概率为15；
(2)3人中恰好有1人投中，即AB−C−+A−BC−+A−B−C，
其概率P(AB−C−+A−BC−+A−B−C)=13×(1−25)×(1−12)+(1−13)×25×(1−12)+(1−13)×(1−25)×12=1330，
即3人中恰好有1人投中的概率为1330．
【解析】(1)根据题意，设A=甲投篮投进，B=乙投篮投进，C=丙投篮投进，若3人都没有投进，即A−B−C−，由相互独立事件概率公式计算可得答案；
(2)3人中恰好有1人投中，即AB−C−+A−BC−+A−B−C，结合互斥事件概率的加法公式计算可得答案．
本题考查互斥事件和相互独立事件的概率计算，注意事件之间的关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f′(x)=3x2−12x+a，
∵x=1是函数f(x)的一个极值点，
∴f′(1)=3−12+a=−9+a=0，
∴a=9，
∴f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，
令f′(x)>0，解得x<1或x>3；令f′(x)<0，解得1所以函数f(x)的增区间为(−∞,1)，(3,+∞)，减区间为(1,3)．
(2)由(1)f(x)=x3−6x2+9x，
又∵f(x)在[−1,1]上单调递增，
在[1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，
又f(−1)=−1−6−9=−16，又f(3)=27−6×9+9×3=0，
∴函数f(x)在区间[−1,4]上的最小值为f(−1)=−16．
【解析】(1)求导后根据极值点的定义与满足的关系式求解即可；
(2)分析区间内的极值点与端点再判断大小即可．
本题主要考查利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率公式有P(A)=C21C31C51C103=14．
(Ⅱ)随机变量X的取值为：0，1，2，
则P(X=0)=C83C103=715，P(X=1)=C21C82C103=715，P(X=2)=C22C81C103=115，
EX=0×715+1×715+2×115=35．
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
(Ⅰ)根据古典概型的概率公式进行计算即可；
(Ⅱ)随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
21.【答案】解：(1)当n≥16时，y=16×(10−5)=80；
当n≤15时，y=5n−5(16−n)=10n−80，
∴y=10n−80(n≤15)80 (n≥16)(n∈N)；
(2)(i)X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，
又P(X=60)=频数总数=1010+20+16+16+15+13+10=10100=0.1，
P(X=70)=20100=0.2，P(X=80)=1−0.1−0.2=0.7，
∴X的分布列为：
∴E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76；
(ii)购进17枝时，当天的利润的期望为y=(14×5−3×5)×0.1+(15×5−2×5)×0.2+(16×5−1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4，
∵76.4>76，∴应购进17枝．
【解析】(1)根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
(2)(i)X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；
(ii)求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
本题考查分段函数模型的建立，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
22.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−1x−lnx(x>0)，则f′(x)=1x2−1x=1−xx2，
由f′(x)>0易知函数f(x)在(0,1)上单调递增，由f′(x)<0，知函数f(x)在在(1,+∞)上单调递减，
∴f(x)在x=1处取得极大值，同时也是最大值，
∴函数f(x)的最大值为f(1)=−1；
(2)f′(x)=a+1x2−a+1x=ax2−(a+1)x+1x2=(x−1)(ax−1)x2，
①当a=0时，由(1)可知，函数f(x)无零点；
②当a<0时，由f′(x)=(x−1)(ax−1)x2>0，可得函数f(x)在(0,1)上单调递增，由f′(x)=(x−1)(ax−1)x2<0可得函数在(1,+∞)上单调递减，
又f(1)=a−1<0，故此时函数f(x)无零点；
③当00知函数f(x)在(0,1),(1a,+∞)上单调递增，由f′(x)=(x−1)(ax−1)x2<0可得函数在(1,1a)单调递减，
且f(1)=a−1<0，f(1a)=1−a+(a+1)lna<0，且当x→+∞时，f(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点；
④当a=1时，f′(x)=(x−1)2x2≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(1)=0，故此时函数f(x)有唯一零点；
⑤当a>1时，由f′(x)=(x−1)(ax−1)x2>0可得函数在易知函数f(x)在(0,1a),(1,+∞)上单调递增，由f′(x)=(x−1)(ax−1)x2<0可得函数在(1a,1)上单调递减，
且f(1)=a−1>0，且当x→0时，f(x)<0，故函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点；
综上，实数a的取值范围为(0,+∞)．
【解析】(1)将a=0代入，对函数f(x)求导，判断其单调性，由此可得最大值；
(2)对函数f(x)求导，分a=0，a<0，01讨论即可得出结论．
本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．
X
−1
0
1
P
14
1−4q
q
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
X
0
1
2
P
715
715
115
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7