2021-2022学年重庆市江津第五中学校高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市江津第五中学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解

【详解】选项A，，错误；

选项B，，正确；

选项C，，错误；

选项D，，错误

故选：B

2．曲线在处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出导函数，计算出为切线斜率，再求得，由点斜式写出直线方程，并整理．

【详解】，，，故切线方程为，即.

故选：A.

3．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】依题意,,故.故选B.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为

（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ，

．）

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

【答案】B

【详解】试题分析：由题意

故选B．

【解析】正态分布

5．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【解析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.

【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，

先选出两个垃圾桶，有种选法，

之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法；

所以不同的摆放方法共有种，

故选：C.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：

（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有种选法；

（2）之后就相当于三个元素的一个全排；

（3）利用分步乘法计数原理求得结果.

6．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（       ）

A．变量，之间呈负相关关系 B．

C．可以预测，当时， D．该回归直线必过点

【答案】B

【解析】A.由回归方程的x的系数判断；B.将。代入回归方程求得即可；C. 将代入回归直线方程判断； D.根据回归直线过点判断.

【详解】A.由回归方程知，所以变量，之间呈负相关关系，故正确；

B.因为。则，所以，解得，故错误；

C. 当时，，故正确；

D.由B知：，，所以回归直线必过点，故正确；

故选：B

7．(+)(2-)5的展开式中33的系数为

A．-80 B．-40 C．40 D．80

【答案】C

【详解】，

由展开式的通项公式可得：

当时，展开式中的系数为；

当时，展开式中的系数为，

则的系数为.

故选C.

【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．

【解析】利用导数研究函数的单调性.

二、多选题

9．关于变量x，y的n个样本点及其线性回归方程．下列说法正确的有（       ）

A．相关系数r的绝对值|r|越接近0，表示x，y的线性相关程度越强

B．相关指数的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好

C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好

D．若，则点一定在线性回归方程上

【答案】BD

【解析】根据回归分析的相关知识，逐一分析四个选项的正误即可.相关系数的绝对值越接近0，线性相关度越弱.相关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，拟合程度越好.残差平方和越小，拟合程度越好.线性回归方程一定过样本中心点.

【详解】根据线性相关系数的意义可知，当的绝对值越接近于0时，

两个随机变量线性相关性越弱，则A错误；

用相关指数来刻画回归效果，

越大，说明模型的拟合效果越好，则B正确；

拟合效果的好坏是由残差平方和来体现的，

残差平方和越大，拟合效果越差，则C错误；

样本中心点一定在回归直线上，则D正确.

故选：BD.

10．设离散型随机变量的分布列如下表：

若离散型随机变量，且，则（       ）A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再利用期望和方差公式求， 即可，从而可得答案

【详解】由得，又由得，从而得，，故A选项错误，B选项正确；

，故C选项正确；

因为，所以，故D选项错误，

故选：BC．

11．一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球.下面几个命题中正确的是（       ）

A．如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件

B．如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率

C．如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是

D．如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是

【答案】CD

【分析】对于A，利用对立事件的概念判断即可；对于B，分别计算出第2次取到红球的概率和第1次取得红球的概率进行比较即可；对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球，然后求出概率；对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球包括第1 次红球第2次白球、第1次白球第2次红球、两次都是红球，从而可求得其概率

【详解】对于A，不放回地抽取两个球，包括两个都是红球、两个都是白球和一个红球一个白球，共3种情况，所以取出两个红球和取出两个白球不是对立事件，所以A错误；

对于B，不放回地抽取，第2次取到红球的概率为，第1次取得红球的概率为，所以第2次取到红球的概率等于第1次取到红球的概率，所以B错误；

对于C，有放回地抽取，取出1个红球1个白球包括第1次为红球第2次为白球、第1次为白球第2次为红球，所以所求概率为，所以C正确，

对于D，有放回地抽取，至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球包括第1 次红球第2次白球、第1次白球第2次红球、两次都是红球，所以所求概率为，所以D正确，

故选：CD

12．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（       ）

A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点

C．函数必有2个零点 D．

【答案】BD

【解析】对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．

【详解】函数，则，

当时，，故在上为增函数，A错误；

当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；

若，则有两个零点，

若，则有一个零点，

若，则没有零点，故C错误；

在上为增函数，则，即，化简得，D正确；

故选：BD

【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．

三、填空题

13．某学校派出4名学生和2名老师参加一个活动，活动结束后他们准备站成一排拍照留念，则2名老师相邻的不同排法有___________种.（用数字作答）

【答案】240

【分析】利用捆绑法即得.

【详解】因为2名老师相邻，把他们捆绑看作一个元素与4名学生排共有种排法，再排其内部顺序又种，

所以4名学生和2名老师站成一排拍照，2名老师相邻的不同排法有种.

故答案为：240.

14．对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是________．

【答案】74%

【分析】根据题意，结合概率的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为且该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，

所以这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率为.

故答案为：.

15．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：

①-2是函数的极值点；

②函数在处取最小值；

③函数在处切线的斜率小于零；

④函数在区间上单调递增.

则正确命题的序号是__________．

【答案】①④

【分析】根据导函数函数值的正负，即可求得的单调性和极值点.

【详解】根据导函数的图象可得，

当上，，在上，，

故函数在上函数单调递减，

在和，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，所以①正确；

函数在上单调递增，在处取不到函数的最小值，所以②不正确；

由图象可得，

所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；

由图象可得，当时，，

所以函数在上单调递增，所以④是正确的，

综上可知，①④是正确的.

故答案为：①④.

【点睛】本题考查导函数的图象与原函数的关系，属基础题.

四、双空题

16．设．若，则实数________，________．

【答案】     0.5    

【分析】令，即可求出的值.再分别求出与展开式中的的系数，再求和即为的值.

【详解】令，则

解得：.

的第项系数为.

所以展开式中的的系数为;

的第项系数为.

所以展开式中的的系数为;

故答案为：；.

【点睛】本题考查二项式定理.属于基础题.

五、解答题

17．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；

（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.

【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；

（2）由（1）可知：，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，

，，故函数的最小值为.

【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

18．已知在的展开式中，第6项为常数项．

（1）求；

（2）求含的项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项．

【答案】（1）；（2）；（3），，.

【解析】（1）求出的展开式的通项为，当时，指数为零，可得；

（2）将代入通项公式，令指数为，可得含的项的系数；

（3）根据通项公式与题意得，求出的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．

【详解】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．

（2）令，得，所以含的项的系数为．

（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．

【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令，由以及，求出的值，进而得出的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．

19．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y，如下表：

由表中数据得y关于x的经验回归方程为，其中合格零件尺寸为．

(1)求a的值

(2)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析加工零件的质量与甲、乙机床是否有关．

附：，

【答案】(1)；

(2)列联表见解析，认为加工零件的质量与甲、乙机床有关.

【分析】（1）根据给定数表，求出样本的中心点，再根据经验回归方程必过样本中心点，列式计算作答.

（2）完善列联表，计算的观测值，再与临界值比对即可作答.

【详解】(1)依题意，，，

由，得，解得，

所以a的值为11．

(2)由于合格零件尺寸为，

所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的列联表为：

令零假设为：加工零件的质量与甲、乙机床无关，

则，

因此根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

所以认为加工零件的质量与甲、乙机床有关．

20．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;

(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?

【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大．

【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为，，由于，，分别写出分布列，再求期望值均为；

（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.

【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，

依题意可得：，

∴，，，

∴X的分布列为：

∴．

，

∴，，

，，

∴Y的分布列为：

∴．

（2），

，

∵，

∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．

【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.

21．今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.

(1)若规定三个学校都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；

(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程，求解，，再利用对立事件的概率公式，即得解；

（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解

【详解】(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，，，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，，，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件

由题意可知，，，

解得，.

所以，乙答对这道题的概率为，丙答对这道题的概率为.

甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即

则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；

(2)若规定三所学校需要抢答这道题，

则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，，，则

，，，，，，

则

这个问题回答正确的概率为.

22．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）

【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）

对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．

【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）

又

当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）

所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数

在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数

（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0

由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，

又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意

当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，

所以：

令（a＞0）

所以：

在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0

所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，

故：a的取值范围为[1，+∞）

【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．