北师大版七年级数学下册学案（含解析）：第四章三角形3探索三角形全等的条件

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3  探索三角形全等的条件第1课时 三角形全等的条件——边边边自主学习 知识梳理 快乐学习1．三角形全等的条件（）（）三边分别__________的两个三角形全等，简写为“边边边”或“__________”．（）如图，已知，要使≌，则只需添加一个适当的条件是__________．（填一个即可） 【答案】（）相等；（）【解析】 2．三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，它的__________和__________就完全确定了，三角形的这个性质 叫做三角形的稳定性．【答案】形状；大小【解析】 当堂达标 活学巧练 巩固基础考点一：“边边边”1．如图所示，中，，，，则根据“”能直接判定（    ）． A．≌     B．≌   C．≌       D．≌【答案】C【解析】 2．（一题多辨）（）如图①，已知，，点，，，在一条直线上，要利用“”说明≌，还可以添加的一个条件是（    ）． A．      B．   C．      D．以上都不对（）如图②，在和中，，，要利用“”来判定和全等时，下面的个条件中：①；②；③；④，可利用的是（    ）．    A．①或②      B．②或③     C．①或③      D．①或④【答案】（）A（）A【解析】 3．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使≌，只需再添加的一个条件是__________．【答案】【解析】 考点二：“边边边”的应用4．如图，，，，则等于（    ）． A．          B．         C．         D．【答案】D【解析】 5．如图，已知，，，则下列结论中：①≌；②；③；④；⑤．正确的个数是（    ）．    A．       B．       C．       D．【答案】D【解析】 6．如图，是的中点，，．试说明：．【答案】见解析【解析】解：因为是的中点，所以．在和中，因为，，，所以≌，所以（全等三角形对应角相等）． 考点三：三角形的稳定性7．如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的 哪个性质？答：__________．（填“稳定性”或“不稳定性”）【答案】稳定性【解析】 强化训练 综合演练 强化能力1．（分）如图所示，小龙的爸爸买了一张桌子，桌面下有两个三角形，即图中的和，设计两个三角形的主要原因是（    ）．A．使≌     B．利用三角形的稳定性使桌子稳固   C．使两个三角形是全等的直角三角形  D．对称美【答案】B【解析】 2．（分）如图，，，，，则的度数是（    ）（数学思想链接：转化思想） A．       B．       C．       D．【答案】C【解析】 3．（分）如图， 是不等边三角形，，以，为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形最多可以作出（    ）．    A．个       B．个       C．个       D．个【答案】B【解析】 4．（分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有__________性． 【答案】稳定【解析】 5．（分）如图，已知，，再由一个隐含条件__________，可得≌．【答案】【解析】 6．（分）如图，是的中点，，．和全等吗？为什么？ 【答案】见解析【解析】解：≌．理由：因为是的中点，所以．在和中，因为，，，所以≌． 7．（分）（江岸区模拟）如图，是上一点，，，，试说明：．【答案】见解析【解析】解：在与中，因为，所以≌，所以，所以，所以． 8．（拓展提升题）（分）（河北）如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． （）试说明：≌．（）指出图中所有平行的线段，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（）因为，所以，即．在和中，因为，所以≌．（），．理由：因为≌，所以，，所以，． 第2课时 三角形全等的条件——角边角或角角边自主学习 知识梳理 快乐学习1．三角形全等的条件（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．【答案】角边角；【解析】 2．三角形全等的条件（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“__________”．【答案】角角边；【解析】 当堂达标 活学巧练 巩固基础考点一：“角边角”1．如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中一定和全等的是（    ）． A．甲、乙     B．甲、丙     C．乙、丙     D．乙【答案】C【解析】 2．如图，线段，相交于点，若，为了用“”判定≌，则应补充条件（    ）． A．      B．     C．      D．【答案】A【解析】 3．如图，在四边形中，，若用“”说明≌，需添加条件__________． 【答案】【解析】 考点二：“角角边”4．如图，己知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是（    ）． A．      B．    C．      D．【答案】B【解析】 5．（一题多辨）（）如图①，在上，在上，且，则下列条件中，无法判定 ≌的是（    ）． A．      B．    C．      D．（）如图②，已知，添加一个条件使≌（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是__________． 【答案】（）D（）示例：【解析】 6．如图，在中，，点是边上的一点，，且，过点作 交于点，则≌__________，理由是__________． 【答案】；（答案不唯一）【解析】 考点三：“角边角”及“角角边”的应用7．如图，，，是和的公共边，所以就可以判定 ≌．你认为这种说法正确吗？如果不正确，请说明理由． 【答案】见解析【解析】解：不正确．因为虽然是和的公共边，但它们不是对应边． 强化训练 综合演练 强化能力1．（分）如图所示，，是的中点，直接应用“”说明≌，还需要的条件是（    ）． A．      B．   C．      D．【答案】B【解析】 2．（分）如图，已知，，那么要得到≌，还应给出的条件是（    ）． A．      B．    C．      D．【答案】D【解析】 3．（分）如图，，，，，则等于（    ）．    A．       B．       C．       D．【答案】B【解析】 4．（分）小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（    ）．    A．第①块      B．第②块     C．第③块      D．第④块【答案】B【解析】 5．（分）如图，已知为直线上一点，，，请写出图中一组相等的线段__________． 【答案】示例：【解析】 6．（分）如图所示，，，垂足分别为，，且，相交于点，．   图中全等的三角形共有__________对． 【答案】【解析】 7．（分）（2016•济宁）如图，中，，，垂足分别为，，，交于点，请你添加一个适当的条件：__________，使≌． 【答案】示例：【解析】 8．（分）（2015•黄岛区期末）如图，，，，，，，则__________．【答案】【解析】 9．（分）（拓展提升题）（2015•胶南市王台中学质检）是经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且．（）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则__________；__________（填“>”“<”或“=”）；②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件__________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（）如图③，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．【答案】见解析【解析】解：（）①，；②所填的条件是：．证明：在中，．因为，所以，又因为，所以．又因为，，所以≌，所以，．又因为，所以．（）猜想：． 第3课时 三角形全等的条件——边角边自主学习 知识梳理 快乐学习三角形全等的条件（4）（）两边及其__________分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或__________．（）判定条件“”用符号可表示为：如图所示，在和中，如果，__________，__________，则≌． （）我们已经学习了四种说明两个三角形全等的方法，即__________、__________、__________和__________，【答案】（）夹角，（），（），，，【解析】 当堂达标 活学巧练 巩固基础考点一：边角边1．如图，，分别在，上，且，，则≌的依据是（    ）． A．        B．   C．         D．【答案】C【解析】 2．下列条件，不能判定两个三角形全等的是（    ）．A．两边及一角对应相等     B．两角及其中一角的对边对应相等   C．三边对应相等       D．两边及其夹角对应相等【答案】A【解析】 3．（一题多辨）（）如图①，在四边形中，，，若连接，相交于点，则图中全等三角形共有（    ）．A．对       B．对       C．对       D．对（）（2016•成安县期末）如图②，于点，，图中共有全等三角形__________对．【答案】（）C（）【解析】 4．如图，已知，，若要得到≌，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是（    ）．  A．    B． C． D．【答案】B【解析】 考点二：“”的应用5．如图，将两根弯曲的钢条，的中点连在一起，使，可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的依据是（    ）．A．边角边      B．角边角     C．边边边      D．角角边【答案】A【解析】 6．（胶南市王台中学质检）已知和都是等腰直角三角形，如图摆放使得一直角边重合，连接，．问：和有何位置关系？并说明理由．【答案】见解析【解析】解：．理由如下：因为和都是等腰直角三角形，所以，，．在和中，因为，所以≌，所以．又因为，所以，所以，即． 强化训练 综合演练 强化能力1．（分）（新疆）如图，在和中，，，添加下列一个条件后，仍然不能说明≌，这个条件是（    ）． A．      B．    C．     D．【答案】D【解析】 2．（分）（黄岛区期末）如图，，，以下条件中，不能推出≌ 的是（    ）． A．      B．   C．       D．【答案】C【解析】 3．（分）（河北模拟）如图，在正方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值为（    ）（数学思想链接：分类讨论思想）   A．       B．       C．       D．或【答案】D【解析】 4．（分）（胶州市期末）如图，已知平分，要使≌，只需再添加一个条件就可以了，你选择的条件是__________，理由是__________．【答案】示例：，【解析】 5．（分）如图，已知米，于点，米，射线于点，点从点 向点运动，每秒走米，点从点问点运动，每秒走米，，同时从点出发，则出发__________秒后，在线段上有一点，使与全等．（方法链接：动点问题）【答案】【解析】 6．（分）如图，和相交于点，，，和平行吗？为什么？【答案】见解析【解析】解：．理由：在和中，因为，，，所以≌，所以，所以． 7．（分）（2015•黄岛区期末）如图，在等腰中，，延长至点，使，连接，以为边作等腰，使，，连接交于点．（）吗？请说明理由．（）若，求的度数．【答案】见解析【解析】解：（）．理由如下：因为，所以，所以．在和中，因为，所以≌，所以．（）因为，，所以，由（）得：≌，所以．因为，，所以． 8．（分）（拓展提升题）如图①，，，点是上一点，且，．（）试判断与的位置关系，并说明理由．（）如图②，若把沿直线向左平移，使的顶点与重合，此时问题（）中的位置关系还成立吗？请说明理由．（注意字母的变化）【答案】见解析【解析】解：（）．理由如下：因为，，所以．又，，所以≌．所以．因为，所以，所以．所以．（）问题（）中的位置关系还成立．理由：因为，，所以．又，，所以≌．所以．又，所以．所以．所以．