2021北京通州初一（下）期末数学（教师版）

2021北京通州初一（下）期末

数    学

一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）若，则下列不等式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）下列，的各对数值中，是方程组的解的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）下列计算中，正确的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，两直角边与直线相交，如果，那么等于　　

A． B． C． D．

5．（3分）下列式子从左到右变形是因式分解的是　　

A． B． 

C． D．

6．（3分）某小区共有15栋规模相同居民楼，下列调查中，调查结果适用于该小区全体居民的是　　

A．随机调查了该小区运动广场上居民体育运动时间的情况 

B．随机调查了该小区某一户的居民用电量的情况 

C．随机调查了该小区某3栋楼的居民垃圾分类的情况 

D．随机调查了该小区老人的出行方式的情况

7．（3分）数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

8．（3分）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）

9．（3分）写出二元一次方程的一个正整数解 　　．

10．（3分）计算：　 　．

11．（3分）如图所示，四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：　　．

12．（3分）如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，则三角形的面积与三角形的面积的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．

13．（3分）如果一个关于的一元一次不等式组由三个一元一次不等式组成，它的解集在数轴上如图所示，那么这个不等式组的解集为 　　．

14．（3分）把1，3，6，10，15，这些数量的石子，按如图所示摆放，第一个石子单独摆放，其他按顺序分别排成三角形，像这样的数称为三角形数（包括，那么第个三角形数是 　　．（用含的代数式表示，为正整数．

15．（3分）下面是小明同学解不等式的步骤，其中第 　　步是错误的，错误原因是 　　．

解不等式：，

第一步：去分母得，

第二步：移项得，

第三步：系数化为1得．

16．（3分）如图所示，一段楼梯的3个台阶．如果上楼时，每次迈步只能登上1个台阶或者2个台阶．那么登上第3个台阶的迈步方法有 　　种；如果楼梯上有5个台阶，那么从楼梯底部登上第5个台阶的迈步方法有 　　种．

三、解答题（本题共52分，第17-22题，每小题5分，第23-24题，每小题5分，第25题8分）

17．（5分）计算：．

18．（5分）解方程组：．

19．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

20．（5分）已知：，求代数式的值．

21．（5分）请在括号内填上推理依据

已知：如图，为过顶点的一条射线，，分别是和的平分线．求证：．

证明：平分　　，

　　．

平分　　，

　　．

　　，

即．

22．（5分）已知点，是直线上不重合的两点，点不在上．分别作直线和，若点为直线上一点（与，不重合），过点作，与直线交于点．

（1）画出一个符合题意的图形；

（2）在（1）的基础上证明．

23．（7分）已知，点为内部一点，过点作交于点，为射线上一点，连接，满足．

（1）根据题意补全图形；

（2）求证：．

24．（7分）某年级共有300名学生，为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理，描述和分析．下面给出了部分信息．

．课程成绩的数据分成6组：，，，，，，每组对应的人数如表：

．课程成绩在这一组的是：

70  71  71  71  76  76  77  78  78.578.5  79  79  79  79.5

．，两门课程成绩的平均数中位数、众数如表：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中的值；

（2）在此次测试中，某学生的课程成绩为76分，课程成绩为71分．这名学生成绩排名更靠前的课程是 　　（填“”或“” ，理由是 　　；

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩超过75.8分的人数．

25．（8分）阅读材料，解决问题．

在平面内，画出原点重合的两条互相垂直的数轴，就组成了一个平面直角坐标系．其中，水平方向的数轴叫做轴，竖直方向的数轴叫做轴，原点叫做坐标原点．设是平面直角坐标系中的一点，作轴于，轴于，如果点和点在轴和轴上所对应的数分别是和，那么数叫做点的横坐标，数叫做点的纵坐标，把和合在一起叫做点的坐标，记作，如图所示点的坐标为．

（1）点的横坐标为 　　，纵坐标为 　　；

（2）在平面直角坐标系中作出点，；

（3）若过点的直线与轴平行，写出一个直线上不同于点的点的坐标为 　　；

（4）过点与轴平行的直线，与过点平行于轴的直线交于点，求三角形的面积．

参考答案

一、选择题（每题只有一个正确答案，共8道小题，每小题3分，共24分）

1．【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．

【解答】解：．，不妨设，，

则，

选项不符合题意；

．，

，

选项不符合题意；

．，

，

选项符合题意；

．，不妨设，，

则，

选项不符合题意．

故选：．

【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

2．【分析】求出方程组的解，即可做出判断．

【解答】解：，

②①得：，

把代入①得：，

则方程组的解为．

故选：．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

3．【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：、，无法计算，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，故此选项错误；

、，正确．

故选：．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．【分析】先由直线，根据平行线的性质，得出，再由已知直角三角板得，然后由求出．

【解答】解：已知直线，

（两直线平行，同位角相等），

（已知），

（已知直线），

．

故选：．

【点评】此题考查了学生对平行线性质的应用，关键是由平行线性质：两直线平行，同位角相等，求出．

5．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．

【解答】解：、不是因式分解，故本选项不符合题意；

、不是因式分解，故本选项不符合题意；

、不是因式分解，故本选项不符合题意；

、是因式分解，故本选项符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

6．【分析】根据抽样调查的样本要具有广泛性，代表性进行判断即可．

【解答】解：．随机调查了该小区运动广场上居民体育运动时间的情况，所抽查样本不具有代表性，故本选项不合题意；

．随机调查了该小区某一户的居民用电量的情况，所抽查样本不具有代表性，故本选项不合题意；

．随机调查了该小区某3栋楼的居民垃圾分类的情况，所抽查样本具有代表性，故本选项符合题意；

．随机调查了该小区老人的出行方式的情况，所抽查样本不具有代表性，故本选项不合题意；

故选：．

【点评】此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

7．【分析】理解绝对值的定义，如表示数轴上点到2的距离；表示到原点的距离；

【解答】解：比小2的数用表示，

，

，

那么的最小值就是在数轴上找一点到原点和到2的距离最小，

显然这个点就是在0与2之间，

当在区间0与2之间时，

为最小值，

的最小值为2，

故选：．

【点评】本题考查绝对值的定义，难点在于对这个式子的理解并用绝对值意义来解答．

8．【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．

【解答】解：①若，，则；假命题：

理由：，，

；

②若，，则，假命题；

理由：，

、同号，

，

；

③若，，则，假命题；

理由：，，

、异号，

．

组成真命题的个数为0个；

故选：．

【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．

二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）

9．【分析】把看作已知数求出，即可确定出一个正整数解．

【解答】解：方程，

解得：，

当时，，

二元一次方程的一个整数解为，

故答案为：．

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．

10．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．

【解答】解：，

故答案为：4．

【点评】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．

11．【分析】根据长方形的面积公式解答即可．

【解答】解：由题意得：，

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查的是单项式乘多项式的应用，根据长方形的面积公式列出等式是解题的关键．

12．【分析】利用分割图形求面积法可求出，的值，比较后即可得出结论．

【解答】解：，

．

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的面积，利用分割图形求面积法，求出，的值是解题的关键．

13．【分析】找到三个解集的公共部分即可．

【解答】解：由数轴知，这个不等式组的解集为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是不等式组的解集是所有不等式解集的公共部分即可．

14．【分析】根据所给的图形可得：第1个图形的三角形数是1；第2个图形的三角形数是；第3个图形的三角形数是；据此可得到第个三角形数．

【解答】解：第1个图形的三角形数是1，

第2个图形的三角形数是，

第3个图形的三角形数是，

第4个图形的三角形数是，

第5个图形的三角形数是，

．

第个图形的三角形数是，

故答案为：

【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，找出图形中所包含的规律是解答的关键．

15．【分析】系数化为1时两边都除以时不等号方向改变，据此可得答案；

【解答】解：以上解题过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是两边都除以时不等号方向没变，

故答案为：，三，不等式两边都除以时不等号方向没变．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

16．【分析】可用一一列举的方法即可．

【解答】解：由题意知，登上3个台阶的方法有：

，

，

，

故有三种；

登上5个台阶的方法有：

，

，

，

，

，

，

，

，

故共有8种；

故答案为：3；8．

【点评】本题重点考核寻找数据的规律，然后进行组合，本题相对来说是比较简单的，可采用列举法解决问题．

三、解答题（本题共52分，第17-22题，每小题5分，第23-24题，每小题5分，第25题8分）

17．【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算．

【解答】解：原式

．

【点评】本题考查的是整式的除法、积的乘方与幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．

18．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①②得：，即，

把代入②得：，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组的解集为，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20．【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形代入计算即可求出值．

【解答】解：由得：，

原式．

【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．【分析】由已知条件利用角平分线的定义可得和，利用等量代换可得，则结论可得．

【解答】证明：平分（已知），

（角平分线的定义）．

平分（已知），

（角平分线的定义）．

（等式的性质），

即．

故答案为：已知；角平分线的定义；已知；角平分线的定义；等式的性质．

【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，正确理解角平分线的定义是解题的关键．

22．【分析】（1）根据题意画出对应几何图形；

（2）根据平行线的性质证明．

【解答】（1）解：如图，

（2）证明：，

．

【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．

23．【分析】（1）根据题意画出对应的几何图形；

（2）先根据平行线的性质得到，再证明，然后根据平行线的判定方法得到结论．

【解答】（1）解：如图，

（2）证明：，

，

，

，

．

【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．

24．【分析】（1）先确定课程的中位数落在这一组，再由此分析具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；

（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；

（3）用总人数乘以样本中课程成绩超过75.8分的人数所占比例可得．

【解答】解：（1）随机抽取60名学生进行测试，

中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在这一组，

中位数在这一组，

这一组的是：70  71  71  71  76  76  77  78  78.5 78.5  79  79  79  79.5，

课程的中位数为，即；

（2）该学生课程成绩为76分，小于课程的中位数，而课程成绩为71分．大于课程的中位数，

这名学生成绩排名更靠前的课程是，

故答案为：、该学生课程成绩为76分，小于课程的中位数，而课程成绩为71分．大于课程的中位数；

（3）估计课程成绩超过75.8分的人数为（人．

答：估计课程成绩超过75.8分的人数为180人．

【点评】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．

25．【分析】（1）由点可求解；

（2）由题意在平面坐标系中标出点，点；

（3）由直线与轴平行，可得直线上所有点的纵坐标为3，即可求解；

（4）由题意可求点坐标，由三角形的面积公式可求解．

【解答】解：（1）点的横坐标为4，纵坐标为，

故答案为4，；

（2）如图所示，

（3）过点的直线与轴平行，

直线上所有点的纵坐标为3，

不同于点的点的坐标为，

故答案为（答案不唯一）；

（4）过点与轴平行的直线，与过点平行于轴的直线交于点，

点，

，，

．

【点评】本题考查了三角形的面积公式，理解直角坐标系的定义是解题的关键。