新教材2023年高中数学第5章计数原理4二项式定理4.1二项式定理素养作业北师大版选择性必修第一册

这是一份新教材2023年高中数学第5章计数原理4二项式定理4.1二项式定理素养作业北师大版选择性必修第一册，共5页。
第五章　§4　4.1　 A　组·素养自测一、选择题1．16的二项展开式中，第4项是(　C　)A．Cx12　　 B．Cx10　　　　C．－Cx10　　 D．Cx8[解析]　展开式的通项为Tk＋1＝C·x16－k·k＝(－1)k·C·x16－2k，所以第4项为T4＝(－1)3×Cx10＝－Cx10.故选C．2．二项式5的展开式中含x4项的系数为(　A　)A．160　　 B．－160　　　　C．80　　 D．－800[解析]　5展开式的通项为Tk＋1＝Cx2(5－k)(－4)kx－k＝C(－4)kx10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，所以含x4项的系数为C(－4)2＝160.故选A．3．若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于(　D　)A．4　　 B．5　　C．6　　 D．7[解析]　由二项展开式的通项公式可得n展开式的通项为Tk＋1＝C(3x3)n－kk＝3n－kCx3n－k，展开式中含有常数项，则3n－k＝0有正整数解，满足题意的最小的正整数为k＝6，n＝7，故选D．4．(1＋x)6展开式中，含x3项的系数为(　C　)A．45　　 B．30　　C．75　　 D．60[解析]　(1＋x)6展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，则T3＝Cx2＝15x2，T5＝Cx4＝15x4，因此(1＋x)6展开式中含x3项的系数是2×15＋3×15＝75.故选C．5．(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　)A．5　　 B．10　　C．15　　 D．20[解析]　(x＋y)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx5－kyk(k∈N且k≤5)，所以与(x＋y)5展开式的乘积可表示为：xTk＋1＝xCx5－kyk＝Cx6－kyk或Tk＋1＝Cx5－kyk＝Cx4－kyk＋2，在xTk＋1＝Cx6－kyk中，令k＝3，可得：xT4＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为10，在Tk＋1＝Cx4－kyk＋2中，令k＝1，可得T2，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15.6．(多选)若二项式6展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为(　AB　)A．1　　 B．－1　　C．2　　 D．－2[解析]　二项式6展开式的通项Tk＋1＝C·x6－kk＝Cx6－kmk.令6－k＝0，得k＝4，常数项Cm4＝15，则m4＝1，得m＝±1.故选AB．二、填空题7．6的展开式中常数项是_240__.(用数字作答)[解析]　6展开式的通项Tk＋1＝Cx2(6－k)x－k·2k＝2k·Cx12－3k.令12－3k＝0，得k＝4.故展开式中的常数项为C·24＝240.8．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为_5__.[解析]　由二项式的通项公式得Tk＋1＝C3n－kxn－k，若展开式中含有常数项，则n－k＝0，即n＝k，所以n最小值为5.三、解答题9．在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．[解析]　(1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.10．(1)求9192被100除所得的余数；(2)用二项式定理证明：1110－1能被100整除．[解析]　(1)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，又余数为正，∴可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除所得的余数为81.(2)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．B　组·素养提升一、选择题1．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝(　B　)A．6　　 B．7　　C．8　　 D．9[解析]　二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tk＋1＝C1n－k·(3x)k＝C·3k·xk.依题意得C·35＝C·36，即＝3×(n≥6)，得n＝7.2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　A　)A．＜x＜　　 B．＜x＜C．＜x＜　　 D．＜x＜[解析]　由得∴＜x＜.3．4的展开式中，常数项为(　D　)A．1　　 B．3　　C．4　　 D．13[解析]　由于4表示4个因式的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取，一个因式取1，一个因式取；故展开式中的常数项为1＋C×C＝13.4．把(i－x)10按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是(　D　)A．135　　 B．－135　　C．－360i　　 D．360i[解析]　由题意得第8项的系数为C×(i)3×(－1)7＝120×3i，故选D．二、填空题5．已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝_24__.[解析]　由(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4知，其展开式通项为Tk＋1＝C·24－k·(x－1)4－k，所以a2为当k＝2时项的系数．又T2＋1＝C·22·(x－1)2＝24(x－1)2，所以a2＝24.              6．若x>0，设5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为___.[解析]　T3＝C·32＝x，T4＝C·2·3＝，∴M＋N＝＋≥2＝.当且仅当＝时等号成立，即x＝.三、解答题7．在二项式n的展开式中，第1项和第3项的系数和等于第2项系数绝对值的2倍．(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项．[解析]　(1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0，∵n≥2，∴n＝8.(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即T5＝C()4·4＝.(3)研究系数绝对值即可，解得2≤k≤3，∵k∈N，∴k＝2或3.∵k＝3时，系数为负．∴系数最大的项为T3＝7x.8．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知a＝2a2a4.(1)求n的值；(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a，b的值．[解析]　(1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，所以a2＝C＝a3＝C＝，a4＝C＝，因为a＝2a2a4，所以2＝2××，解得n＝5.(2)由(1)知n＝5，即(1＋)n＝(1＋)5，所以C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝a＋b.因为a，b∈N，所以a＝C＋3C＋9C＝76，b＝C＋3C＋9C＝44.