新教材2023年高中数学第3章空间向量与立体几何2空间向量与向量运算素养作业北师大版选择性必修第一册

第三章　§2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列命题中，真命题是(　C　)

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都能比较大小

B．两个非零向量相加一定可以用平行四边形法则

C．只有零向量的模等于0

D．空间中任意两个单位向量必相等

2．空间向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　D　)

A．a＝b　　 B．a＋b为实数0

C．a与b方向相同　　 D．|a|＝3

3．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是(　B　)

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角

4．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　B　)

A．14　　 B．　　

C．4　　 D．2

5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则·的值为(　B　)

A．5　　 B．25

C．25　　 D．5

6．(多选)若a，b是平面α内的两个向量，则下列说法不正确的有(　ABC　)

A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)

B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0

C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)

D．若a，b不共线，则在向量a与b所在的平面内任一向量p，都有p＝λa＋μb(λ，μ∈R)

[解析]　由题意可得当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量时，任意λ＝μ≠0，λa＋μb＝0，B项不正确；若a与b不共线，则在向量a与b所在的平面内任意向量都可以用a，b表示，对空间向量则不一定成立，C项不正确；D项正确．

二、填空题

7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为_60°__，·＝_1__.

[解析]　方法1：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1.

方法2：根据向量的线性运算可得

·＝(＋)·＝2＝1.

由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.

8．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1C＝，则A1A＝_3__.

[解析]　由题意，可得⊥，则·＝0，与，的夹角均为60°，则·＝·＝||，又＝＋－，则2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2(·－·－·)＝2＋2－2||＝5，可得||＝3.

三、解答题

9．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：

(1)＋；

(2)＋；

(3)＋＋；

(4)＋＋＋＋.

[解析]　(1)连接AB1，则＋＝.

(2)＋＝(＋)＝＝.

(3)连接AM，则＋＋＝＋＝.

(4)＋＋＋＋＝0.

10．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AA1＝AB＝AD＝.

(1)求||；

(2)求与的夹角的余弦值．

[解析]　(1)令＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝，a·b＝b·c＝c·a＝.

∵＝a＋b＋c，∴||＝|a＋b＋c|＝

＝＝3.

(2)cos〈，〉＝＝＝＝－.

故与的夹角的余弦值为－.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若A，B，C，D，E为空间中任意五个点，则＋＋－＋等于(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　＋＋－＋＝＋＋＝＋＝.

2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　B　)

A．钝角三角形　　 B．锐角三角形

C．直角三角形　　 D．等边三角形

[解析]　因为·＝0，·＝0，·＝0，

所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，

所以cos∠CBD＝>0，故∠CBD是锐角．

同理·>0，·>0，可得∠BCD，∠BDC都是锐角，故△BCD是锐角三角形．故选B．

3．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　B　)

A．60°　　 B．120°　　

C．30°　　 D．90°

[解析]　由题意得a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，

|a|＝＝＝

＝＝，

|b|＝＝＝

＝＝.

∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.

4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(　C　)

A．　　 B．97　　

C．　　 D．61

[解析]　|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×4－12×2×3×cos 60°＋9×9＝61，

∴|2a－3b|＝.

二、填空题

5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·_<__·.(填“<”“＝”或“>”)

[解析]　·＝0，由题·＝(＋)·

＝·(－)＋·

＝||·||·cos120°－||·||·cos120°＋||·||·cos 120°<0，所以·<·.

6．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝_3a－b＋3c__.

[解析]　连接BE，

∵＝(＋)

＝(－＋)，

＝＝(－)

＝(＋)，

又∵＝－，

∴＝(＋)－(－＋)

＝(＋)＝(5a－5b＋8c＋a－2c)

＝(6a－5b＋6c)，

∴＝3a－b＋3c.

三、解答题

7．已知如图所示的正四面体OABC的棱长为1，求：

(1)·；

(2)(＋)·(＋)；

(3)|＋＋|.

[解析]　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1，

〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.

(1)·＝||||×cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.

(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.

(3)|＋＋|2＝(＋＋)2＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos 60°)×3＝6.

所以|＋＋|＝.

8．A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝4试求MN的长．

[解析]　如图连接AM并延长与BC相交于E，连接AN并延长与CD相交于F，则E，F分别是BC和CD之中点，

由＝－

＝－＝(－)＝

＝(－)＝(－)

＝(－)＝，

∴||＝||＝.