2022-2023学年四川省成都市简阳市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）-普通用卷

这是一份2022-2023学年四川省成都市简阳市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）-普通用卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市简阳市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.  双曲线的渐近线方程是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，为了估计函数的图象与直线，以及轴所围成的图形面积阴影部分，在矩形中随机产生个点，落在阴影部分的样本点数为个，则阴影部分面积的近似值为(    )A.
B.
C.
D. 4.  下列命题错误的是(    )A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若“且”为真命题，则，均为真命题
D. “”是“”的充分不必要条件5.  在的展开式中，项的系数为(    )A.  B.  C.  D. 6.  某甲、乙两人练习跳绳，每人练习组，每组个．每组计数的茎叶图如图，则下面结论中错误的一个是(    )
A. 甲比乙的极差大 B. 乙的中位数是
C. 甲的平均数比乙的大 D. 乙的众数是7.  年我校初升高学生访校活动期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去慧阅读中心、智创中心和学生发展中心参与讲解工作，要求每个中心至少一人，则甲乙被安排到同一个中心的概率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  函数的图像大致是(    )A.  B.
C.  D. 9.  已知为抛物线准线上一点，过作圆：的切线，则切线长最短为(    )A.  B.  C.  D. 10.  在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则异面直线与直线所成角的余弦值为(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知函数，若方程有不同的实数解，则实数的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 12.  已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，则双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  ______ ．14.  已知，则______．15.  在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物如图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有种不同的植物可供选择，则有______ 种栽种方案．
 16.  函数，定义域为，有唯一极值点，则实数的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求，的值；
求在上的最大值．18.  本小题分
第届冬奥会于年月日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情，某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第天的滑雪人数单位：百人的数据
根据表中的数据，求出关于的线性回归方程；
经过测算，若一天中滑雪人数超过人时，当天滑雪场可实现盈利，请根据关于的线性回归方程，预测该滑雪场开业的第几天开始盈利． 天数代码滑雪人数百人参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，
 19.  本小题分
已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为、的中点如图，以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面如图．

求证：平面；
求二面角的余弦值．20.  本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若椭圆经过点，且的面积为．
求椭圆的标准方程；
设斜率为的直线与圆：交于，两点，与椭圆交于，两点，且，当取得最小值时，求直线的方程并求此时的值．21.  本小题分
设函数，．
讨论的单调性；
若时，恒成立，求的取值范围．22.  本小题分
在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，为该曲线上的任意一点．
当时，求点的极坐标；
将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的共轭复数，
对应的点为，
故在第四象限，
故选：．
先化简出共轭复数，再确定对应的点即可．
本题考查了共轭复数及复数的几何意义的应用，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：双曲线的渐近线方程是：
故选：．
直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：设面积区域为，
由概率的几何概型知，则，
解之得，
则该区域面积的近似值为．
故选：．
先求矩形面积为，设区域面积为，由几何概型可求．
本题考查几何概型，定积分，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确；
B.命题“，”的否定是“，”，因此不正确；
C.若“且”为真命题，则，均为真命题，正确；
D.由，解得：，或“”是“”的充分不必要条件，正确．
故选：．
A.利用逆否命题的定义即可判断出正误；
B.利用命题的否定即可判断出正误；
C.利用“且”真假的判定方法，即可判断出正误；
D.由，解得其解集，即可判断出正误．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：在的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得含项的系数为，
故选：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求得的值，可得展开式中项的系数．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：根据茎叶图知，甲组数据的极差是，乙组数据的极差是，所以甲比乙的极差大，A正确；
乙组数据按从小到大顺序排列后，排在中间两个数据是和，所以乙的中位数是，B错误；
计算甲的平均数是，
乙的平均数为，
所以甲的平均数大于乙的平均数，C正确；
由茎叶图知，乙的众数是，D正确．
故选：．
根据茎叶图中的数据，计算数据的极差、中位数、平均数和众数，判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了利用茎叶图对数据进行分析、判断问题，是基础题．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
根据分组分配问题的计数，并结合古典概型计算概率即可．
【解答】
解：安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去慧阅读中心、智创中心和学生发展中心参与讲解工作，要求每个中心至少一人，则基本事件总数为种，
甲乙被安排到同一个中心的基本事件有种，
所以，甲乙被安排到同一个中心的概率为．
故选：．  8.【答案】 【解析】解：根据题意，，
当时，，，则有，
当时，，，则有，
当时，，，则有，排除，
，
在区间上，，为增函数，排除．
故选：．
根据题意，分析函数值的符号，排成，再求出函数的导数，分析其单调性，排除，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数值符号的分析，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：如图所示：

由圆心向准线作垂线，垂足为，此时准线上的点到圆心的距离最小，最小值为，
所以切线长的最小值为，
故选：．
根据切线长，由圆心向准线作垂线，垂足为，此时准线上的点到圆心的距离最小求解．
本题考查了与圆有关的最值问题，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：如图，连接，，则，

异面直线与直线所成角为或其补角，
在中，，，，由余弦定理得：，
在中，，，，由余弦定理得：
，且，
在中，由余弦定理得：．
故选：．
连接，，得出异面直线与直线所成角为或其补角，然后根据余弦定理可求出和的值，根据勾股定理求出，从而在中，根据余弦定理可求出的值．
本题考查了余弦定理，勾股定理，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：方程有不同的实数解，等价于有不同的实数解，记，
则方程，
函数，，可得函数在递增，在递减，其图象如下：

当，即，根据图象可知，故此时无解，
当时，要使方程有不同的实数解，只需，
故实数的取值范围是，
故选：．
方程有不同的实数解等价于有不同的实数解，记，将问题转化为关于的一元二次方程根的问题，再利用函数的图象即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用换元法将方程进行转化是解决本题的关键，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：因为，所以，
设，则，设，则，，
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以，
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把代入上式得，所以离心率为．
故选：．
根据可知，再根据角平分线定理得到，的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用，，表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，
故答案为：．
根据定积分的运算，求得原函数，即可求得答案．
本题考查定积分的运算，考查计算能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：设，
则．
故答案为：．
利用赋值法即可求解．
本题考查赋值法的应用，属基础题．
 15.【答案】 【解析】解：考虑、、种同一种植物，此时共有种方法．
考虑、、种二种植物，此时共有种方法．
考虑、、种三种植物，此时共有种方法．
故总计有种方法．
故答案为：
分三类讨论：、、种同一种植物、、、种同二种植物、、、种同三种植物，利用分步计数原理，可得结论．
本题考查理解题意能力，考查分类思想的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：，
则，
当时，
，
，
，即在区间上单调递减，不符合题意，舍去，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
，
，
在区间上单调递增，不符合题意，
当时，要使得有唯一极值点，即满足，解得，
故实数的取值范围为
故答案为：
根据已知条件，对求导，再对分类讨论，并利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
 17.【答案】解：由得，，
在点处的切线方程为：
，
即，
整理得．
又在点处的切线方程为，
，解得，
，．
由知，
，
令，得或．
当变化时，，的变化如下表：  增极大值减极小值增的极大值为，极小值为，
又，，
在上的最大值为． 【解析】本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题．
先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出和的值；
由求出，再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
 18.【答案】解：由表中数据可得，，，
所以，，
所以，，
故回归直线方程为．
因为一天中滑雪人数超过人时，当天滑场雪可实现盈利，
即时，可实现盈利，解得，
故根据回归方程预测，该滑雪场开业的第天开始盈利． 【解析】根据已知条件，结合最小二乘法的计算公式，即可求解；
由回归直线方程，列不等式即可求解．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：因为平面平面，
由题意得，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，令，，
，令，，
所以二面角的余弦值为． 【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
根据直线与平面垂直的判定定理证明；
用向量数量积计算二面角的余弦值．
 20.【答案】解：因为的面积为，即，所以，则，
又因为点在椭圆上，则，
解得，，故椭圆的标准方程为：；
设直线的方程为，则原点到直线的距离，
由弦长公式可得，
将代入椭圆中可得，
则，解得，
由直线和圆相交的条件可得，即，解得，
综上可得的取值范围是；
设，，
则，，
由弦长公式可得，
由，得，
因为，所以，
则当时，取得最小值为，此时的方程为． 【解析】根据三角形面积可，将点代入椭圆得到，联立即可求得，；
设直线的方程为，表示出，联立直线与椭圆，根据根的判别式得到的取值范围，结合条件表示出，利用取值范围求得其范围寄了
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：由已知，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由，得，
若时，，在上单调递增，
若时，，在上单调递减；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，恒成立，
即在时恒成立，
当时，恒成立，即，
又，则．
下面证明：当时，在时恒成立．
先证明时，，
由知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
则，即，有，
所以当时，，
要证明，
只需证明对任意的，恒成立，
令，则，
由，得，
当即时，在上恒成立，
则在上单调递增，
于是．
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
于是，
令，则，
则在上单调递增，
于是，所以恒成立，
所以时，不等式恒成立，
因此，实数的取值范围是． 【解析】分别讨论当及时的正负，从而得到在上的单调区间；
将原不等式转化为在时恒成立，先证得恒成立，再证对任意的，恒成立即可，通过新设函数，求导判断单调性得到时，不等式恒成立．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
 22.【答案】解：设点在极坐标系中的坐标，
由，得，，
，
或
所以点的极坐标为或
由题意可设，．
由，得，．


故时，的最大值为． 【解析】本题主要考查极坐标系，简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
直接利用极坐标方程求解即可．
利用极径的应用和三角函数关系式的变换求出结果．