2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先求，再由复数的几何意义确定复数对应的点位置及象限.

【详解】因为，所以，故复数对应的点为，该点在第四象限，

故选：D.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可

【详解】，

由，得，解得，

所以，

所以，

故选：B

3．已知函数在处的导数为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．6

【答案】B

【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得.

【详解】在处的导数为，

，

则.

故选：B

4．在平面直角坐标系中，参数方程 （是参数）表示的曲线是（    ）

A．一条直线 B．一条射线 C．一个圆 D．一条线段

【答案】B

【分析】联立参数方程消去参数 ，得到直线方程，但注意的范围，导致最终结果为射线.

【详解】因为，

所以，

联立得，，

即，

但是注意 ，

所以 ，

所以，

所以,

即方程确定的直线只有半条，

参数方程 （是参数）表示的曲线是一条射线，

故选：B.

5．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的条件分析判断即可

【详解】若直线与直线垂直，

则，得，或，

所以命题p是命题q的充分不必要条件，

故选：A

6．圆的圆心的极坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先把圆化为普通方程求出圆心为，再化为极坐标.

【详解】先把圆化为普通方程，再化为标准方程为：.

所以圆心为，化为极坐标为.

故选：B

7．已知双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，有①，②，联立两式，解可得、的值，即可得答案．

【详解】因为双曲线的一个焦点为，

双曲线的渐近线，

所以，①

，②

联立①、②可得：，，

则双曲线的方程为：；

故选：C．

8．直线与曲线有且只有一个公共点，则的取值范围是（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】D

【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于和另一个点，及与曲线交于点，分别求出，则的范围可得．

【详解】曲线有即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）．

如图，、、，

当直线经过点时，，求得；

当直线经过点、点时，，求得；

当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），

故要求的实数的范围为或，

故选：D．

9．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，分离参数即可求解．

【详解】，

∵函数在区间单调递增，

∴在区间上恒成立．

∴在区间上恒成立，

而在区间上单调递减，

∴，∴．

∴的取值范围是．

故选：C．

10．函数的图像大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.

【详解】由函数，令，即，解得或，

所以当或时，；当时，，可排除A、C项；

又由，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则可排除B项，选项D符合题意.

故选：D.

二、多选题

11．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，，，则错误的有（      ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】令，求出函数的导函数，依题意可得在上单调递减，再根据指数函数、对数函数的性质判断、、的大小，最后根据函数的单调性比较大小即可；

【详解】解：令，得，

由时，，得，在上单调递减，

又，，，

可得，故，故，

故选：ABD

三、单选题

12．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数有极大值 和极小值

B．函数有极大值 和极小值

C．函数有极大值 和极小值

D．函数有极大值 和极小值

【答案】D

【详解】则函数增；

则函数减；

则函数减；

则函数增；选D.

【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减

四、填空题

13．若变量满足约束条件，则目标函数的最大值是     ．

【答案】2

【分析】先画可行域，结合图像确定最值取法.

【详解】不等式组表示的平面区域如下图

由上图可知，目标函数在点处取得最大值，最大值为2.

故答案为：2

14．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是   ．

【答案】C

【分析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.

【详解】分别获奖的说对人数如下表：

故获得一等奖的作品是C.

【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.

15．已知二次函数，，若a是从区间中随机抽取的一个数，b是从区间中随机抽取的一个数，则方程没有实数根的概率为           .

【答案】

【分析】根据题意，分析，，，对应的几何图形和面积，由二次方程的性质可得若没有实根，则有，即，由此分析其对应的几何图形和面积，由几何概型概率公式计算可得答案．

【详解】根据题意，，，则确定为几何区域为如图的矩形，

其面积，

二次函数，若没有实根，则有，即，

其对应的几何图形为阴影部分的梯形，其面积，

故方程没有实数根概率．

故答案为：．

16．已知点在曲线：上，斜率为的直线与曲线交于，两点，且，两点与点不重合，有下列结论：

（1）曲线有两个焦点，其坐标分别为，；

（2）将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；

（3）面积的最大值为；

（4）线段长度的最大值为3．

其中所有正确结论的序号是      ．

【答案】（2）（3）

【分析】将点代入曲线中，即可求出曲线的方程，即可判断（1）；将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），代入化简后为以原点为圆心，半径为2的圆，即可判断（2）；设直线为：，椭圆与直线联立，韦达定理，表示出，当时，即可求出的最大值；求出到直线直线：的距离，表示出面积，由均值不等式即可求出最大值，即可判断（4）.

【详解】点在曲线：上，所以，所以曲线：，所以曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，所以（1）错误；

将曲线上所有点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标不变），设曲线上任意一点设为，扩大后的坐标设为，所以，所以，因为在上，所以，所以化简后为：，表示以原点为圆心，半径为2的圆，所以（2）正确；

设直线为：，所以联立得：，

即，

，所以

，因为，所以

当时，，所以（4）错误；

到直线直线：的距离为：，

，当且仅当时取等，即时取等，故（3）正确.

故选：（2）（3）.

五、解答题

17．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值．

【答案】（1），；（2）13

【分析】(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解；

 (2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．

【详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，

所以，即，

又由，则，

而由切线的斜率可知，∴，即，

由，解得，

∴，．

(2)由(1)知，则，

令，得或，

当变化时，，的变化情况如下表：    

∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为13．

【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

18．某商场连续五年对应的销售量(单位:万件)如下表：

(1)求销售量y与对应年x的线性回归方程；

(2)若从5组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻两年的数据的概率.

附:线性回归方程中，，，

其中，为样本平均值.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）由已知结合最小二乘法求解与的值，可得销售量与对应年的线性回归方程；

（2）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出抽出2组数据恰好是相邻两年的数据的概率．

【详解】（1），，

，

，

∴，.

∴销售量与对应年的线性回归方程为.

（2）设事件“抽出的2组数据恰好是相邻两年的数据”，

所有的基本事件有：，，，共10种，

其中事件包含的基本事件有：，，，共4种，

∴．

19．某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况，从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图.若网购金额超过2千元的顾客称为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客称为“非网购达人”.

(1)根据频率分布直方图估计网友购物金额的平均值；

(2)若抽取的“网购达人”中女性占12人，请根据条件完成上面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“网购达人”与性别有关？

(参考公式:，其中)

【答案】(1)千元

(2)有的把握认为“网购达人”与性别有关

【分析】（1）利用直方图中每一小组中点横坐标乘以对应的频率，再求和即可计算平均值；

（2）根据所给数据，填写列联表，计算，对照临界值表得出结论．

【详解】（1）计算平均值为

千元

（2）根据直方图可得网购达人人数为，

因为女生网购达人为人，所以男生网购达人为人，

列联表如下：

计算，

所以有的把握认为“网购达人”与性别有关．

20．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)在极坐标系中，射线与曲线交于点A，射线与曲线交于点B，求的面积．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数可得的普通方程，即可得出极坐标方程，再将的极坐标方程化简可得出直角坐标方程；

（2）将代入和代入的极坐标方程可求得极坐标，即可求出面积.

【详解】（1）由题意得：

∴

∴即

化简为：，

∴的极坐标方程为：，

由得：

∴即：

∴的直角坐标方程为：

（2）由得：∴

由 得：∴

21．已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)定值为

【分析】（1）根据离心率为，，建立，，的方程组，求解方程组即可得椭圆的标准方程；

（2）与联立消，结合判别式、韦达定理，先把用，表示，再把，也用，表示，代入中，化简即可得结论；

【详解】（1）由已知条件可得，，解得，

椭圆；

（2） 是定值，

证明：因为点，，过点作椭圆的切线，斜率为，

且，

与联立消得，

由题设得，

即，

因为点在椭圆上，

，代入上式得，

而，

定值），

是定值；

【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

22．已知函数，其中为自然对数底数.

（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；

（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）写出函数定义域，求导，讨论a的范围，得到函数的单调区间；

（2）用导数方法求出，问题转化为，构造函数通过导数方法求得.

【详解】（1），∵，

①当时，，函数在上单调递增；

②当时，由得，

∴时，，单调递减；时，，单调递增．   

综上，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，

∴不可能恒成立，舍去；

当时，，则，此时；

当时，由函数对任意都成立，得，

∵，∴ ∴，

设，∴ ，

由于，令，得，即，

当时，，单调递增；时，，单调递减．

∴，即的最大值为，此时.

综上：的最大值为.

【点睛】本题思路都比较常规，属于典型题，可以作为范题进行总结归纳.第（1）问a的分界点应该怎么找？第（2）问进行到这一步时，需要构造函数，最值问题大多数都可以归结为函数的最值问题.