2021年湖南省长沙市中考数学试题

2021年长沙市初中学业水平考试试卷

数  学

注意事项：

1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．下列四个实数中，最大的数是

 A． B． C． D．

2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为人，将数据用科学记数法表示为

 A． B． C． D．

3．下列几何图形中，是中心对称图形的是

4．下列计算正确的是

 A． B． C． D．

5．如图，∥，分别与，交于点，，，则的度数为

 A． B． C． D．

6．如图，点，，在上，，则的度数为

 A． B． C． D．

7．下列函数图象中，表示直线的是

A                  B                  C                  D

8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植. 某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：，，，，，，，，. 则这组数据的众数和中位数分别是

 A．， B．， C．， D．，

9．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数. 将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是

 A． B． C． D．

10．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）. 他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17. 根据以上信息，下列判断正确的是

 A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9；

 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7；

 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4；

 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．分解因式：       .

12．如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为，则的度数为       .

13．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为       .

14．若关于的方程的一个根为，则的值为       .

15．如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，若，DE =1.6，则的长为       .

16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动. 先从中随机抽取了部分作品，按四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如右两幅不完整的统计图. 那么，此次抽取的作品中，等级为等的作品份数为       ．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：.

18．先化简，再求值：

，其中.

19．人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知：△.

求作：△，使得△≌△.

作法：如图.

（1）画；

（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；

（3）连接线段，，则△即为所求作的三角形.

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：

证明：由作图可知，在△和△中，

△≌       .

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是        .（填序号）

①AAS   ②ASA   ③SAS   ④SSS

20．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市. 本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物. 据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个.

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

21．如图，  ABCD的对角线，相交于点，△是

等边三角形，.

（1）求证：  ABCD是矩形；

（2）求的长.

22．为庆祝伟大的中国共产党成立周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分.

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

23．如图，在△中，，垂足为，，延长至，使得，连接.

（1）求证：；

（2）若，，求△的周长和面积.

24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题.

（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则    ，    ，    (将正确答案填在相应的横线上)；

（2）关于的函数是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；

（3）若关于的“T函数”经过坐标原点，且与直线交于两点，当满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由.

25．如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）令，，直径（，

是常数），求关于的函数解析式，并指明

自变量的取值范围.

2021年长沙市初中学业水平考试试卷

数学参考答案及评分标准

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11． 12．45 13．12

14． 15．2.4 16．50

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解：原式··························································4分

.·····················································6分

18．解：原式

   ·······················································4分

当时，原式.················································6分

19．解：（1），，△；···············································3分

（2）④.··················································6分

20．解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为.····················4分

（2）设纸箱中有个白球，由于参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为，即摸到红球的频率为，于是可以估计摸到红球的概率为，则有，解此方程得，检验得，是此方程的解，所以白球的数量接近36.              8分

21.（1）证明：四边形是平行四边形，

 ，.

又△是等边三角形，.

.   

.     是矩形.················································4分

（2）解：△是等边三角形，.

由（1）得，△是直角三角形.

，即.

又，   .   .  ················································8分

22．解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，答错了道题，依题意得：

   解得

答：该参赛同学一共答对了22道题.····························5分

（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，依题意得：，解得：.

答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人” .········9分

23.（1）证明：，，

是线段的垂直平分线.   .

.···························4分

（2）解：， △，△都是直角三角形.

，，根据勾股定理，.

又， .

，.

.

根据勾股定理，.

△的周长为.

△的面积为.···············································9分

24．（1）4， -1， 4；  ·············································3分

（2）解：根据题意，若该函数是“T函数”，则它的图象上至少存在不同的两点关于y轴对称.不妨设此两点为，,由于此两点不能重合，则必有x00，代入函数解析式可得，从而2kx0 = 0，因为x00，所以k = 0.

（I）k = 0时，该函数是“T函数”，由图象可知，它存在无穷多对“T点”.

（II）k0时，图象上不存在不同的两点关于y轴对称，所以该函数必定不是“T函数”.                6分

（3）解：根据题意的图象过原点，所以必有，又因为此函数是“T函数”，则它的图象上必定存在不同的两点关于轴对称，不妨设此两点为，由于此两点不能重合，则必有，从而有所以，因为，故必有，

联立可得，因为，，所以.

由题意可得，是的两个根，

从而由根与系数的关系可得

由题中条件，可得到，

化简可得，从而.  所以，

显然时，.  所以直线总经过定点.································10分

25．解：（1）由图形对称性可得，由于四边形是正方形，

，令，

则，

······················································3分

（2）由（1）可知，，

.·····················································6分

（3）（法一）  如图，连接，是半圆的直径，，

又四边形是正方形，.

△∽△,.

又点在上， .

在△与△中，，，

.  又，

△∽△.   ，即.

由，令，则有，.

，

.   .

显然，当点与点重合时，三点共线，根据△∽△可得

，即， .

当点与点重合时，.

由观察可得，点在上运动（点与点不重合）时，

自变量的取值范围是：.···································10分

（法二），，由（1）可知，.   ，.

，，   .

在△与△中，，，

.  又，△∽△.

. .即.

.   .

显然，当点与点重合时，三点共线，根据△∽△可得，

，即.  .

.     当点与点重合时，.

由观察可得，点在上运动（点与点不重合）时，

自变量的取值范围是：.···································10分

（本卷各题的其他合理解法均酌情给分）