2023届导数大题热点50题训练（带解析） (1)

这是一份2023届导数大题热点50题训练（带解析） (1)，共73页。试卷主要包含了已知函数，其中，已知函数，，已知函数，已知在处的切线方程为等内容，欢迎下载使用。
2023导数大题热点50题训练
一．解答题（共50小题）
1．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
2．已知函数，．
（1）当时，求证：在上单调递减；
（2）当时，，求的取值范围．
3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，且是函数的极小值点，求证：．
4．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．
5．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（e）处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：．
6．已知在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）是的导函数，证明：对任意，，都有．
7．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；
（3）当时，对任意的，，，且，试比较与的大小．
8．已知函数，．
（1）证明：存在唯一零点；
（2）设，若存在，，使得，证明：．
9．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，，证明：．
10．已知函数，．
（1）若直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围．
11．已知函数．
（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，判断关于的方程在，内解的个数，并说明理由．
12．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在极值点，求实数的取值范围．
13．已知函数，．
（1）当时，解方程；
（2）若对任意的，，，都有恒成立，试求的取值范围；
（3）用，表示，中的最小者，设函数，讨论关于的方程的实数解的个数．
14．已知函数．
（1）若函数的零点在区间上，求正整数的值；
（2）记（a），若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
15．完成下列问题：
（1）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知二次函数的顶点为，且与直线相切，若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
16．已知函数．
（1）证明：当时，函数在区间上不是单调函数；
（2）证明：当时，对任意的恒成立．
17．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明．
18．已知函数．
（1）证明：函数只有一个零点；
（2）在区间上函数恒成立，求的取值范围．
19．已知函数．
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，且存在，，，使得，求实数的取值范围．
21．已知函数，．
（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．
22．已知函数，设，，，，且．
（1）若，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）证明：．
23．已知函数．若函数恰有两个不同的极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得成立？请说明理由．
24．已知函数．
（Ⅰ）求证：函数在上单调递增；
（Ⅱ）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
25．已知函数
（1）求曲线在处的切线的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线的上方；
（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．
26．已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在，上存在零点，求实数的取值范围．
27．已知函数．
（1）求曲线在处的切线的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线的上方；
（2）当时，证明不等式，在，上恒成立．
28．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数有两个零点，（其中，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
29．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
30．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个不同的极值点，，求证：．
31．设函数．
（1）当时，求在，上的最值；
（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
32．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．
33．已知函数，．
（1），求的最值；
（2）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．
34．已知函数．
（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，判断关于的方程在，内解的个数，并说明理由．
35．已知函数．
（1）若函数的导函数为，讨论函数零点的个数；
（2）当时，函数在定义域内的两个极值点为，，试比较与的大小，并说明理由．
36．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）对任意的，都有，求的取值范围．
37．已知函数，为函数的导函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，为的极值点，证明：．
38．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明；
（3）证明对于任意正整数，都有．
39．已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若时，方程有两个不等实根，，求证：．
40．已知，证明：
（1）；
（2）．
41．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
42．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
43．已知函数．
（1）若，证明：存在唯一极值点．
（2）若，证明：，．
44．已知，，
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围为自然对数的底数）
45．已知，函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数？请说明理由．
46．已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若，是的两个零点，且，证明：．
47．已知函数．
（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；
（2）当时，证明：．
48．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
49．已知函数，．
（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）证明：．
50．已知定义在上的函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2023导数大题热点50题训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）当时，的定义域为，求导，分析的符号，的单调性．
（2）利用端点值确定的必要性区间，利用三角函数的分界性，分区间讨论，利用放缩和估值法，讨论的范围，进而可求．
【解答】解：（1）当时，的定义域为，
则，
当时，即时，，函数单调递增，
当时，即时，，函数单调递减，
所以函数单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：设，由，
解得或，
①当时，（3），，
当，时，单调递减，
所以（3），
若，则，
因为（当且仅当时等号成立），
又因为，
所以，
此时不成立，即不合题意，
②当时，为减函数，
当，时，，
令，则，
所以，
此时，
，
当，时，单调递减，，
所以在，上单调递减，又，
所以在，上，
所以在，上单调递减，又，
所以在，上，
即当，时，恒成立，
当，时，
，
又，，
所以，
，
所以当，时，恒成立，
故的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．
2．已知函数，．
（1）当时，求证：在上单调递减；
（2）当时，，求的取值范围．
【分析】（1）把代入，先对函数求导，结合导数即可判断函数的单调性；
（2）由已知不等式整理可得时，，构造函数，，对求导，结合导数与单调性关系及函数性质可求．
【解答】（1）证明：当时，，
则，
所以在上单调递减，，（1），
故存在，，使得，即，
当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
所以，
故在上单调递减；
（2）解：当时，，
则时，，
令，，
则，（1），
若使得成立且（1），则（1），即，
下面证明当时，（1）在时恒成立，
因为，，
所以，
又，当且仅当时取等号，
所以，
故单调递增，（1），即恒成立，
故的取值范围为，．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点，且是函数的极小值点，求证：．
【分析】（1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．
（2）利用条件是函数的极值点，确定的数值，然后证明：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，令，得或（不合题意，舍去），
则时，，当时，，
函数在上单调递减，在，上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增．
（2）证明：，
，
函数存在两个极值点，设两个极值点为，，
，是方程的两个不同的正根，
△，，，且，
函数开口向上，与轴交于两点，是函数的极小值点，
，从而，
由，得，，，
，
设，
，
在上递增，
，
．
【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论，属于中档题．
4．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，求的取值范围；
（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论．
【解答】解：（1）由题设，
当时，，则在上递增；
当时，
令，得，在上递减；
令，得，在上递增；
综上，时，的递增区间为，无递减区间；时，的递减区间为，递增区间为．
（2）由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以（1），故在上不存在；
综上，，即实数的取值范围为，；
（3）证明：由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
5．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（e）处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：．
【分析】（Ⅰ）当时，函数，（e），利用导数的运算法则可得，即可得出（e），利用点斜式即可得出曲线在点，（e）处的切线方程．
（Ⅱ）恒成立，化为的最大值，由，（e），利用导数研究其单调性即可得出极值与最值，进而得出实数的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，可得，，分别令，，，，利用累加求和方法即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）当时，函数，（e），
，
（e），
曲线在点，（e）处的切线方程为．
（Ⅱ）恒成立，化为的最大值，
由，（e），
可得时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，（e）．
，
实数的取值范围为，．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得：，，，
分别令，，，，
则，，，
．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及最值、切线方程、累加求和方法、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．已知在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）是的导函数，证明：对任意，，都有．
【分析】（1）根据条件得到关于，的方程，即可得到结果；
（2）根据题意，令，然后求导得到其在，上的最大值，即可得证．
【解答】解：（1）由题意可得，（1），且，则（1），即，
则，，
所以；
（2）证明：由（1）可知，，，
所以，
令，
则，
所以时，，
即在，上单调递减，
所以（1），即，
所以，即．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
7．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；
（3）当时，对任意的，，，且，试比较与的大小．
【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程；
（2）由已知不等式恒成立且知，进而求得，再代入应用导数研究恒成立，根据充要关系确定参数值；
（3）设，构造，利用导数研究单调性，进而确定其函数值符号，即可证结论．
【解答】解：（1）当时，，所以，，
所以在点，处的切线方程为．
（2）对都有且，而，则，
所以，此时，故，则，
在上，，即单调递增，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，满足题意，
综上，．
（3）不妨设，令，
所以，则，
又，，，且，
当，，而，，
所以，故，在上单调递增，
所以，所以单调递增，故，
所以，即．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
8．已知函数，．
（1）证明：存在唯一零点；
（2）设，若存在，，使得，证明：．
【分析】（1）利用导函数求单调性，结合即可求解．
（2）由题意可得，若是方程的根，则是方程的根，所以，，再利用导函数求的最小值即可．
【解答】证明：（1）由题意可得，
记，则，
因为时，恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以有唯一零点0．
（2）由可得，
若是方程的根，则是方程的根，
因为，都单调递增，
所以，，
设，，
所以的解为，的解为，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为（1），即的最小值为．
故原不等式成立．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数零点以及不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
9．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，，证明：．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；
（2）要证原不等式成立，等价于证明在上恒成立，结合不等式构造函数，对新函数求导，结合导数与单调性关系及函数性质可证．
【解答】（1）解：，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故函数的单调递增区间为，函数单调递减区间为，；
（2）证明：若，，
则，，
所以，
所以在上恒成立，
令，，
则在时恒成立，
当时，在时不可能恒成立，
故，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
所以，
令（a），，
则（a），
易得，时，（a），（a）单调递增，当时，（a），（a）单调递减，
故（a）（1），
所以．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数的性质在不等式证明中的应用，属于中档题．
10．已知函数，．
（1）若直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围．
【分析】（1）直线是曲线的一条切线，根据切点在切线和原函数上，斜率是切点处导数列式求的值即可；
（2）把任意的，都存在，使成立转化，在参数分离转化为恒成立，构造函数，求出（1），进而求出的取值范围．
【解答】解：（1）由得，
设直线与曲线的切点为，，
则
解得，
因此的值为．
（2）由得，
设，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为，
所以存在，使，
且当时，；当，时，，
从而，且当时，，
当，时，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，
因此，
由，得，从而，
所以，
由对于任意的，都存在，使成立，
得对于任意的，都有，
即不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立．
设，则，
因为（1），当时，，，；
当时，，，；
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
所以（1），因此，
故的取值范围为，．
【点评】本题主要考查了把任意的，都存在，使成立转化为，参数分离后构造函数求导即可求解，体现了转化思想的应用，属于中档题．
11．已知函数．
（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，判断关于的方程在，内解的个数，并说明理由．
【分析】（1）由题意转化为即恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得答案；
（2）由题意得，等价于，构造，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数．
【解答】解：（1）由题意在，上恒成立，得恒成立，
令，则，
当，时，令，解得，
令，解得，
所以在为减函数，在上为增函数，
故，
故，即，
所以实数的取值范围．
（2）由，得，等价于，
令，，
因为在上，，单调递减，
在上，故，，单调递增，
注意到，，
在和上各有一个零点，，共有两个零点，
故方程有两个实数根．
【点评】本题主要考查了关于的方程在，，内实数解的个数时，难点在于要根据导数的特征，构造函数，判断其导数的正负，进而判断函数单调性，再结合零点存在定理，确定零点个数，属于中档题．
12．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在极值点，求实数的取值范围．
【分析】（1）对原函数求导，二次求导研究导函数值的符号，确定原函数的单调区间；
（2）存在极值点，，即存在变号实根，构造，利用导数研究的单调性并分析，求范围即可．
【解答】解：（1）的定义域为，当时，，
则，令，则，
当时，，单调递减，时，，单调递增，
所以（1），所以在上单调递增，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）存在极值点等价于存在变号零点，等价于存在变号实根，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以（1），
所以，所以单调递减，
令，，所以，令，解得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以，
当无限趋向于0时，趋向于正无穷大，
当无限趋向于正无穷大时，趋向于0，所以，即．
故实数的取值范用为．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
13．已知函数，．
（1）当时，解方程；
（2）若对任意的，，，都有恒成立，试求的取值范围；
（3）用，表示，中的最小者，设函数，讨论关于的方程的实数解的个数．
【分析】（1）将代入函数解析式，再根据函数的单调性解方程；
（2）讨论二次函数在给定区间的最值求解；
（3）分类讨论，利用数形结合的思想，转化为讨论函数图象的交点个数．
【解答】解：（1）当时，函数，，
当时，，，
此时方程无解，
当时，单调递增，单调递减，
且（1）单调递增，（1），
所以此时方程有唯一的解为，
综上，方程的解为．
（2）等价于，的对称轴为，
若，即时，在，上单调递增，
从而（1），，
所以，得与矛盾，舍去；
若，即时，在上单调递减，上单调递增，
故，，（1），
当时，（1），
则，解得，
所以，
当时，，
则，解得，
则，
若，即时，在，上单调递减，
从而，（1），
所以，得与矛盾，舍去．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，则，
故在上没有实数解；
当时，．
若时，则，则不是的实数解，
若时，则，，
则是的实数解，
当时，，故只需讨论在的实数解的个数，
则得，
即问题等价于直线与函数图象的交点个数．
由于，在单调递减，在上单调递增，
结合，在的图象可知，

当时，直线与函数图象没有交点，即没有实数解；
当或时，在有1个实数解；
当时，在有2个实数解；
综上，或时，有1个实数解，或时，有2个实数解；时，有3个实数解．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，本题第二问解决的关键在于分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值，要结合对称轴与区间的位置关系；第三问解决的关键是在不同范围内取得的不同的最小值，数形结合的思想分类讨论求解．考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
14．已知函数．
（1）若函数的零点在区间上，求正整数的值；
（2）记（a），若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）把函数的零点转化为方程的根，化简后构造，求导判断出函数的单调性，根据零点存在定理求出正整数的值；
（2）化简函数，通过参变分离和换元法，结合基本不等式求出最值，可得的取值范围．
【解答】解：（1）函数的零点的方程根，
，，即求在上的根，
构造，，
则，
令，解得，
在上单调递增，，上单调递减，
又（1），（2），
函数的零点在区间上，
正整数的值为1；
（2）（a）对任意的，恒成立，
即，
等价于，
令，
则，
整理得：，
参变分离得：，
即求的最大值，
令，则，
，
，，当且仅当时取等号，
，
故实数的取值范围是，．
【点评】本题考查函数的零点，考查不等式的恒成立问题，考查导数的应用，属于中档题．
15．完成下列问题：
（1）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知二次函数的顶点为，且与直线相切，若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．
【分析】（1）令，将原不等式换元，并分离参数，求出换元后函数的最小值，即可得的范围；
（2）根据直线与二次曲线相切，利用判别式法求出的值，然后根据函数在，上单调递增，利用二次函数的性质构造出的不等式组求解即可．
【解答】解：（1）由已知得，
即①恒成立，
设，由，，得，
则，由①式恒成立得，
即的范围为，；
（2）令，
与联立得，
化简得，
由直线与二次曲线相切得△，
解得，所以，
所以，
由在区间，上单调递增，
可知解得，
所以实数的取值范围为．
【点评】本题考查利用函数的性质解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
16．已知函数．
（1）证明：当时，函数在区间上不是单调函数；
（2）证明：当时，对任意的恒成立．
【分析】（1）求导后，结合零点存在定理可确定的正负，由此可得函数单调性，从而得到结论；
（2）将所证不等式转化为，构造函数，利用导数分别讨论，和时的单调性，求得；由可得结论．
【解答】证明：（1）当时，，则，
令，则，
在上单调递减，
又，（1），
，使得，且当时，；当，时，；
在上单调递增，在，上单调递减，
综上所述：当时，在区间上不是单调函数．
（2）当时，要证对任意的恒成立，
即证当时，对任意的恒成立，
即证对任意的恒成立；
令，则，
，
；
①当，时，在上恒成立，在上单调递增，
；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
综上所述：当时，；
在上单调递增，
，
当时，对任意的恒成立，即当时，对任意的恒成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的求解；本题证明不等式恒成立的关键是将问题转化为两函数最值的比较问题，从而利用导数求出新函数的最值，使得原不等式得证．
17．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，对分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在处取得最小值，所以原不等式可转化为，设，利用导数求出的最小值大于等于0即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，（1分）
．（2分）
若，则当时，，故在上单调递减，（3分）
若，则当，时，当时，，（4分）
故在上单调递减，在上单调递增．
综上，若，在上单调递减，
若，在上单调递减，在上单调递增．（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，在处取得最小值，（6分）
所以等价于，即．（7分）
设，则，（8分）
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，（10分）
故当时，取得极小值且为最小值，最小值为（1），（11分）
所以当时，．
从而当时，，即．（12分）
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
18．已知函数．
（1）证明：函数只有一个零点；
（2）在区间上函数恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）由题意可判断，然后说明当时无零点；当时，利用导数判断函数单调性，进而说明函数零点只有一个；
（2）将变为，从而构造函数，再利用导数判断函数的单调性，分时和时两种情况讨论不等式是否恒成立，结合，即可求得答案．
【解答】解：（1）证明：由可得，
当时，，，所以，
故，故在区间上无零点．
当时，，而，，且等号不会同时取到，
所以，
所以当时，函数单调递增，所以，
故函数在区间，上有唯一零点0，
综上，函数在定义域上有唯一零点．
（2）由在区间上恒成立，得，
即在区间上恒成立．
设，则在区间上恒成立，
而，，则．
设，则，当时，，
所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，
即在区间上，
设函数，，则，
所以函数在区间上单调递增，
故在区间上，即在区间上，，
所以在区间上，，即，
所以在区间上函数单调递增．
当时，，故在区间上函数，
所以函数在区间上单调递增．
又，故，即函数在区间上恒成立．
当时，，，
故在区间，上函数存在零点，即，
又在区间上函数单调递增，
故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减，
又，所以在区间上函数，与题设矛盾．
综上，的取值范围为，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点以及不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19．已知函数．
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）由导数结合正弦函数的性质得出单调性；
（2）分离参数得出，利用导数得出的最值，进而得出实数的取值范围．
【解答】（1）证明：，
当时，，，
成立，所以函数在上单调递增．
（2）解：，
当时，不等式显然成立，
当时，，所以，
令，，
令，在上成立，
在上为单调递增函数，
，
即在上成立，在上单调递减，，
，即实数的取值范围是，．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
20．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，且存在，，，使得，求实数的取值范围．
【分析】（1）讨论，两种情况，由导数得出单调性；
（2）讨论，，三种情况，得出，进而由得出实数的取值范围．
【解答】解：（1），
因为，所以当时，，在上单调递增，
当时，时，，时，，
此时在上单调递增，在上单调递减，
综上可知，当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
若，则在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
所以，（1），，
若，则（1），
若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以（1），，即，
所以存在，，，使得，只需，
所以，即实数的取值范围．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
21．已知函数，．
（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据题意恒成立，分离参数，结合三角函数有界性，即可求得结果；
（2）对分离参数，并构造函数，利用导数判断其单调性，结合洛必达法则求解其极限，即可求得参数范围．
【解答】解：（1）函数在上单调递增，
恒成立，
，即，
又，
，
即实数的最小值为1；
（2），函数，，．
对于任意，令，
则，
①当，即时，，
在上为单调递增函数，，符合题意，，
②当，即时，令，于是，
，，，在上为单调递增函数，
，即，
，
①当，即时，，
在上为单调递增函数，于是，符合题意，
，
②当，即时，存在，使得当时，有，
此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立，
综上所述，实数的取值范围为，．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
22．已知函数，设，，，，且．
（1）若，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）证明：．
【分析】（1）由，得到，求导，得到斜率和切点，写出切线方程；
（2）不妨设，将问题转化为，令，即证：，令，用导数法求解．
【解答】解：（1）当时，，
，（1），（1），
故函数在，（1）处的切线方程为．
即．
（2）证明：，不妨设，，
即，得，
令，即证：，
令，，
在上是减函数，
（1），得证，
成立．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
23．已知函数．若函数恰有两个不同的极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得成立？请说明理由．
【分析】（1）根据导数与极值的关系即可求的取值范围．
（2）根据韦达定理可求出，的关系，将其代入中，即可证明不存在实数满足．
【解答】解：（1）的定义域为，，，
令，则的对称轴为，
①当时，的定义域为，，
此时（a），要使得有两个零点，则需△，此时（a），（2），（4），
所以存在，使得，即，，使得，即，
当时，递减，当，时，递增，
当，时，递减，所以有两个极值点，符合题意．
②当时，的定义域为，
此时，且在递增，递减，
故在只有一个零点，
所以只有一个极值点，不符合题意；
综上可得，实数的取值范围为；
（2）或（a），
由（1）可知，，是方程的两根，
所以，，且．
若（a），则，
而，
所以，
即，令，，
则，所以递减，且（2），故，
即方程无解，故舍去；
若（a），则，矛盾，故舍去．
综上可得，不存在实数满足．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查函数的零点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于较难题目．
24．已知函数．
（Ⅰ）求证：函数在上单调递增；
（Ⅱ）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求导，分类讨论可得函数在上单调递增；
（Ⅱ）由已知可得，令，进而令，求导可判断的单调性，可求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：，
当时，，，，
，即，
当时，恒成立，
，即，
当时，恒成立，
函数在上单调递增；
（Ⅱ）当，0时，不等式显然成立，
当时，，
，令，
，
令，
在上成立，
在上为单调递增函数，且，
当时，，即，
当，时，，即，
在上单调递减，在，上单调递增，
，
．
实数的取值范围，．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查运算求解能力，属中档题．
25．已知函数
（1）求曲线在处的切线的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线的上方；
（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求出曲线在处的切线的方程，然后利用导数证明恒成立，当且仅当时取等号；
（2）令，分成，两种情况证明，当时，要证，转化为证明成立．
【解答】解：（1），，即切点为，该点处的斜率，
故切线，
证明如下：
证明除了切点以外都在的上方，即证恒成立，当且仅当时取等号，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，，
故，当且仅当时取等号，
除了切点以外都在的上方．
（2）令，，，
当时，，故存在使得在，，单调递减，与题意矛盾；
当时，要证，
即证，
即证，
令，，由（1）可知，，
故在区间，上单调递增，
，
，
显然，
即在时取等号成立．
综上，实数的取值范围是，．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
26．已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在，上存在零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）对求导，判断的正负即可得出答案；
（2）将题意转化为，令，对求导，求出的单调性和值域，即可求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）由已知，，
有，令，解得，
由，可知当变化时，，的变化情况如下表：


0



0


递减
极小值
递增
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）令，则存在，，
使得，
两边同时除以，得，
即，
令，，
由已知，即，
则函数在，上单调递增，
，
故，即．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
27．已知函数．
（1）求曲线在处的切线的方程，并证明除了切点以外，曲线都在直线的上方；
（2）当时，证明不等式，在，上恒成立．
【分析】（1）先求出曲线在处的切线的方程，然后利用导数证明恒成立，当且仅当时取等号；
（2）令，当时，要证，转化为证明成立．
【解答】解：（1），，即切点为，
该点处的斜率，故切线，
证明如下：
证明除了切点以外都在的上方，即证恒成立，当且仅当时取等号，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，，
故，当且仅当时取等号，
除了切点以外都在的上方．
（2）证明：令，，
，
当时，要证在，上恒成立，
即证在，上恒成立，
即证，
令，，，
由（1）可知，
故在区间，上单调递增，
，
，
显然，
即在，上恒成立．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
28．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数有两个零点，（其中，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）根据题意可得有两个正根，，换元令，分析可得有两个正根，换元令，整理分析可得当时恒成立，利用导数运算求解．
【解答】解：（1），则，
可得（1），（1），
即切点坐标为，切线斜率（1），
故切线方程为，即．
（2），
令，可得，
原题意等价于有两个正根，，，
构建，则，
等价于有两个正根，
当时恒成立，
故在上单调递增，
对于，由，可得，
可得，可得，
令，由，可得，
由，整理可得，
对于，
原题意等价于当时恒成立，
等价于当时恒成立，
构建，则，
注意到（1），则（1），解得，
当时，构建，
则当时恒成立，
故在上单调递增，则（1），
即当时恒成立，
故在上单调递增，则（1），
可知符合题意，
综上所述：实数的取值范围，．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
29．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；
（2）分，，两种情况解决，当时，参数分离得，设，得，设，求导讨论单调性，得在上单调递减，在上单调递增，即可解决．
【解答】解：（1）当时，，
所以，
所以（2），（2），
所以所求切线方程为，即．
（2）对任意的，恒成立，
等价于对任意的，恒成立．
①当时，显然成立．
②当时，不等式等价于．
设，
所以．
设，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，
所以，
又因为在中，（2），
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
30．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有2个不同的极值点，，求证：．
【分析】（1）先求函数的导函数，求导后对分成，，三类，讨论函数的单调区间．
（2）用韦达定理写出这两个极值点的关系，化简，并利用导数求得上式表达式的单调区间以及最值，由此证得不等式成立．
【解答】解：（1）因为，
所以．
设，则△．
①当时，△，，，在上是增函数；
②当时，两个根，；
当时，，，
所以当时，，，是减函数；
当，时，，，是增函数；
当时，，
所以当或，时，，，是增函数；
当，时，，，是减函数；
综上可知，当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在，上是增函数；当时，在上是增函数；
（2）证明：由题意可得，是的两个根，
则，，且，
所以．
设，则，
令，
则在上为增函数，
且，，
所以存在，使得，即，
且当时，，是减函数，
当，时，，是增函数，
所以，
故，即得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
31．设函数．
（1）当时，求在，上的最值；
（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）把代入，对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解；
（2）由已知结合导数分析函数的单调性，然后结合函数的性质及对进行分类讨论可求．
【解答】解：（1）当时，，
则在，上恒成立，
故在，上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值；
（2）因为，
当时，，，，
当时，，
所以，
当时，存在时，，不符合题意，
时，，
则，
令，则，
当时，，单调递增，
又，，
故存在，使得，
则当时，，
所以在上单调递减，此时，不符合题意，
综上，的取值范围为．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
32．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．
【分析】（1）对求导，根据导函数的正负确定的单调性；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，结合零点个数，得到关于的不等式，即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
解，得；解，得，
故在上单调递减，在，上单调递增．
（2），
当时，，在上单调递增，此时无两个零点；
当时，解，得；解，得，
故在上单调递减，在，上单调递增．
因为趋于负无穷，趋于正无穷；因为趋于正无穷，趋于正无穷；
故有两不同零点，则，
即．
令（a）则（a），
当时，（a），（a）单调递增，
当时，（a），（a）单调递减，
且时，（a），
又，
当时，（a），
综上，的范围为，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
33．已知函数，．
（1），求的最值；
（2）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．
【分析】（1）求导研究函数单调性即可求得最值．
（2）分析函数的零点，本质上是分析函数的单调性与极值的问题，求导之后发现导数有一个零点含参，需对导数的该零点进行分类讨论，从而讨论函数单调性和极值的情况，结合极限，即可分析函数的零点个数．难点在于定义域是，需要对参数进行分类讨论．
【解答】解：（1）由题意可得，定义域为．
设，由，得，由，得．
则在上单调递增，在上单调减，，
故在上的最大值是，无最小值．
（2）由题意可得，，的定义域是．
①当，即时，时，，时，，
则在上单调递减，在上单调递增．
因为时，，时，，
所以要有两个零点，
则，解得，故；
②当，即时，由，解得，
因为，所以，则有且仅有1个零点，故不符合题意；
③当，即时，由，得或，
由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减．
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或，
若（1），解得，不符合题意，
若，设，则化为，时，，，
所以，无解，
即无解，故不符合题意；
④当，即时，恒成立，则在上单调递增，从而最多有1个零点，则不符合题意；
⑤当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减．
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则（1）或．
若，解得，不符合题意，
若．
设，则化为，
由（1）知在上单调递减，所以，无解，
即无解，故不符合题意．
综上，的取值范围是．
【点评】本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，难点在于函数定义域是，因此导数的零点需要根据定义域分类讨论，在定义域内有一个根，还是两个根，有两个根时还需要比较两根的大小，从而得出函数单调性极值，由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性，从而得出结论．分类不清易出错．
34．已知函数．
（1）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，判断关于的方程在，内解的个数，并说明理由．
【分析】（1）由题意转化为即恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得答案；
（2）由题意得，等价于，构造，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数．
【解答】解：（1）由题意在，上恒成立，得恒成立，
令，则，
当，时，令，解得，
令，解得，
所以在为减函数，在上为增函数，
故，
故，即，
所以实数的取值范围．
（2）由，得，等价于，
令，，
因为在上，，单调递减，
在上，故，，单调递增，
注意到，，
在和上各有一个零点，，共有两个零点，故方程有两个实数根．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查函数零点个数判断，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．
35．已知函数．
（1）若函数的导函数为，讨论函数零点的个数；
（2）当时，函数在定义域内的两个极值点为，，试比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1），令，得，设，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图像，结合图象即可得出结论；
（2）要比较与的大小，只需比较与3的大小，求导，由题意可得，则，构造函数，其中，利用导数判断的符号，即可得出结论．
【解答】解：（1）因为，所以，
令，得，则，
设，则，
当时，，时，，
所以在上单增，在上单减，
又，
作出函数的大致图像，如图所示，

所以当或，即或时，函数零点的个数为1，
当，即时，函数零点的个数为2，
当，即时，函数零点的个数为0；
（2），
则，
因为函数在定义域内的两个极值点为，，
所以，
要比较与的大小，只需比较与3的大小，
由得，
所以，
设，其中，
设，
得，
故在上为增函数，
所以在，上，
又因为，所以，
即，
综上所述，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．
36．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）对任意的，都有，求的取值范围．
【分析】（1）求出时的解析式并求出，利用导数的几何意义求出切线斜率，再求出切点坐标，然后利用点斜式即可求出切线方程；
（2）构造函数，并求，结合题意至少可得，先证明（a）在上单调递增，再证明时，成立即可．
【解答】解：（1）当时，，则．
所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）设，
则．
因为，所以至少满足，即．
设（a）．
因为，，所以（a）在上单调递增，
所以．
设，
则．
因为，所以，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
所以，即对任意，都有．
故的取值范围为．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
37．已知函数，为函数的导函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，为的极值点，证明：．
【分析】（1）根据题意整理可得，分类讨论判断原函数的单调性；
（2）根据题意结合（1）中的单调性，可求得，结合零点存在性定理分别证明，，即可得结果．
【解答】解：（1）设，则，
注意到，则有：
①当时，则，故对恒成立，故的单调递减区间为；
②当时，令，解得，
当时，；当时，；
故的单调递增区间为，单调递减区间；
综上所述：①当时，的单调递减区间为；
②当时，的单调递增区间为，单调递减区间．
（2）证明：若有两个极值点，则有两个变号的零点，
由（1）可得：，
设，则在上递减，且（1），
可得：，则，即，解得，
即，解得，
当时，则有：
①先证：，
设，则，
令，解得；令，解得，
所以在递减，在递增，所以（1），
故对，恒成立，，
当时，则，即，可得，
故在上存在唯一一个零点，即；
②再证：，
当时，即，可得，
则，
当时，则，可得，
故；
综上所述：．
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
38．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明；
（3）证明对于任意正整数，都有．
【分析】（1）先求导函数可得，，然后讨论与的大小关系求函数的单调区间即可；
（2）当时，由（1）可得函数的减区间为，增区间为，然后求函数的最小值即可；
（3）由（2）可得，当且仅当时取等号，令，则，然后累加求和即可得证．
【解答】（1）解：已知函数，
则，，
当，
即时，，
当，
即时，有时，，时，，
即当时，函数的增区间为，无减区间，
当时，函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：当时，由（1）可得函数的减区间为，增区间为，
即，
原命题得证；
（3）证明：由（2）可得当时，，
即，
当且仅当时取等号，
令，
则，
则
．
【点评】本题考查了导数的应用，重点考查了利用导数讨论函数的单调性及证明不等式，属中档题．
39．已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若时，方程有两个不等实根，，求证：．
【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明．
【解答】解：（1）对函数求导可得，．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
①若，则，当时，，所以在上单调递增；
②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，
令，，则关于的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由，可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，（1），
故原不等式成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
40．已知，证明：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得，即，变形即可证明．
【解答】证明：（1）令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即，
又当且时，，所以，
故时，．
【点评】本题主要考查不等式的证明，利用导数研究函数的最值，在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性与最值，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶求导研究新函数的性质即可解决问题．
41．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【分析】（1）求导可得，分，两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，当时，求出的最小值，使可求解的范围．
【解答】解：（1）因为，所以，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
由，得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，，
令（a），，则（a），
所以（a）在上单调递减，
又（1），所以要使，即（a），则．
又因为，
所以在上有一个零点，
又，
令，，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以（3），
所以，
所以在上也有一个零点．
综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
42．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
【分析】（1）根据导数讨论单调性即可；
（2）根据导数与单调性和极值的关系得到，即可证明．
【解答】解：（1），
当时，得解得，得解得，
所以在单调递减，单调递增；
当时，得解得，得解得，
所以在单调递增，单调递减；
（2）证明：因为，，
由（1）知，当时，单调递增，
所以，即，
设，，
由得解得，
由得解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以（1），
从而恒成立，即恒成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
43．已知函数．
（1）若，证明：存在唯一极值点．
（2）若，证明：，．
【分析】（1）只需证明在上只有一个解，且在此解的两侧异号即可；
（2）等价于证明在上恒成立，令，则等价于证明在上恒成立，结合对数函数的性质可得即证明在上恒成立，利用证明导数证明在上恒成立即可．
【解答】（1）证明：因为，
所以，
易知在上单调递减，
又因为（1），，
所以存在唯一个，使得，
当时，，单调递增；
当，时，，单调递减；
所以存在唯一极值点；
（2）证明：要证明在上恒成立，
即要证明在上恒成立，
也即证明在上恒成立，
令，
即证明在上恒成立，
又因为在上单调递增，
所以（1），
所以原命题等价于证明在上恒成立，
又因为，
令，
则，
因为，
所以，，
当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以；
当时，，在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以；
当时，，在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以；
综上所述：在上恒成立，
所以原命题得证．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了利用导数解决恒立问题的常用方法：一是直接利用导数求函数的最值；二是分离参数，转化为参数与分离后的函数之间的关系；三是转化为两个初等函数之间的最值关系．
44．已知，，
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围为自然对数的底数）
【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论，根据导函数的符号即可得出答案；
（2）由题意，则不等式在上恒成立，即，再结合（1）可得，分离参数，再构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解．
【解答】解：（1），
当时，，所以在上单调递增，
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，
由，得，
，
由已知，由（1）可得在上单调递增，
，即，
，，
令，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以（1），
，，
则的取值范围为，．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
45．已知，函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数？请说明理由．
【分析】（1）由题意，转化为不等式恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；
（2）根据导数的几何意义求出过原点的切线方程的斜率，由斜率之间的关系可得，再通过构造函数判断其有解即可．
【解答】解：（1）的定义域是，
由可得，即恒成立，
令，，，当时，，在单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当，，
所以实数的取值范围为；．
（2）存在，使得切线和的斜率互为倒数，理由如下：，，
设的切线方程是，则，显然，，切点为，
于是，解得，所以的斜率为，于是的斜率为，
设的切点坐标为，，由，，
又，所以，整理得，
设，，
当时，，在上递增，而，所以，
当时，，在上递减，
又，
所以存在，使得，
因此关于的方程有正数解．
所以存在，使得切线和的斜率互为倒数．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值以及不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
46．已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若，是的两个零点，且，证明：．
【分析】（1）根据得到，然后求导，得到单调性，即可求极值；
（2）令，根据，为的两个零点得到，然后将证明转化为证明，构造函数，求导，得到的单调性，即可得到（1），即可证明成立．
【解答】解：（1）由题可知，
则当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值；
证明：（2）记，则，，
作差得，即，
要证明，只需证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，则（1），所以成立．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
47．已知函数．
（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；
（2）当时，证明：．
【分析】（1）求导后若在定义域上单调递增，则恒成立，若在定义域上单调递减，则恒成立，利用恒成立知识即可求解；
（2）要证成立，只需证，通过整理只需证，再根据的单调性即可得证．
【解答】解：（1）由题意得的定义域为，
，
若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，
又，；
若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，
而这样的不存在；
综上所述：在定义域上单调递增，且，
所以的取值范围为，；
证明：（2）要证成立，
只需证，只需证，
只需证，只需证，
当时，，原不等式即证，
由（1）知在上单调递增，
，，
又，则，
原不等式成立．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
48．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
【分析】（1）利用导数求得的单调区间；
（2）结合的单调性以及（1）来求得的取值范围；
（3）结合（2）的结论得到，由等差数列的前项和公式证得不等式成立．
【解答】解：（1）的定义域为，，
令，解得，
所以在区间，，递增；
在区间，，，递减，
所以的增区间为，减区间为，；
（2）（1），
由（1）知：在上递增，在，上递减，
所以，
所以实数的取值范围为，；
证明：（3）当，时，，，
令，则，
，
所以．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
49．已知函数，．
（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）证明：．
【分析】（1）由是上的单调递增函数，得到的恒成立，再求出的取值范围；
（2）对求导，判断单调性，再求出在上的最小值即可；
（3）由（2）可得在上恒成立，用导数证明恒大于0，则，令，，，，不等式左右累加即可证．
【解答】解：（1）由已知，可得恒成立，即恒成立，
又，
所以，即，．
（2）由已知，可得，则，
令，则在上单调递减，
又因为，，所以存在，使得，
则有




正
负

递增
递减
又有，，
所以在上，则在上单调递增，所以最小值为．
（3）证明：由（2）可得在上恒成立，
令，在上，所以单调递增且，
所以，，从而当时，，
令，，，，得到，，，，，
相加得．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
50．已知定义在上的函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解和作答．
（2）当时，可得为任意正数，当时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离参数求解作答．
【解答】解：（1）函数，，
求导得：，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由得，由得，则在上递增，在上递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是．
（2）因为，且当时，不等式恒成立，
当时，，恒成立，因此，
当时，，
令，原不等式等价于恒成立，
而，即函数在上单调递增，因此，，
即，令，，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
，因此，
综上得，
所以实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键．
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