2023届统计概率热点50题训练（带解析） (1)

这是一份2023届统计概率热点50题训练（带解析） (1)，共95页。
2023统计概率热点大题50训练
一．解答题（共50小题）
1．（2023•五华区校级模拟）某商场计划在国庆节开展促销活动，准备了游戏环节，主持人准备一枚质地均匀的骰子，掷到奇数和偶数的概率各为，游戏要求顾客掷次骰子，每次记录下点数为奇数还是偶数．
（1）若正好有次的点数为偶数，则顾客获得一个价值50元的红包作为顾客，你认为和哪种情况更有利于你获得红包？
（2）投掷次骰子后，若掷出偶数的次数多于奇数，则顾客获得一张100元的消费券；掷出偶数的次数等于奇数，则顾客获得一张50元的消费券；掷出偶数的次数少于奇数，则顾客获得一张10元的消费券．
（ⅰ）当时，记顾客获得的消费券为元，求随机变量的数学期望；
（ⅱ）记“掷次骰子，掷出偶数的次数多于奇数”的概率为，求（直接写出表达式即可）
2．（2023•洪山区校级模拟）2023年3月华中师大一附中举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．
（1）若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
3．（2023•西安模拟）红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏．游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”．记游戏小组一局游戏所得分数之和为．
（1）求的分布列和数学期望；
（2）若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率．
4．（2023•朝阳区一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
（Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
5．（2023•东城区一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀．两位同学的测试成绩如表：
次数
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93
—
乙
76
81
80
85
89
96
94
（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求的分布列及数学期望；
（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望与（2）中的大小．（结论不要求证明）
6．（2023春•如皋市校级月考）某市举行全国两会知识竞赛，从参与者中随机抽取400名幸运者，对他们的成绩进行分析，把他们的得分分成以下7组：，，，，，，，，，，，，，，统计得到各组的频数之比为．
（1）试用组中值估计这400名幸运者成绩的平均值；
（2）若此次知识竞赛得分，，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过80分的可获话费10元，得分超过80分不超过95分的可获话费20元，超过95分可获话费100元，试估计任意一名参与者获得话费的数学期望．
参考数据：，，．
7．（2023•平罗县校级二模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示．

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

40

女生
30


合计



（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
附：．
8．（2023•枣庄二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
（2）记随机选取的两人得分之和为，求的期望．
9．（2023•涟源市模拟）长沙某中学发现越来越多的学生就餐时间不去食堂，而是去面包房或校园商店．考虑到学生的饮食健康及身体营养问题，校领导要求教育处就学生对食堂的菜品及服务质量等问题进行满意程度调查．教育处从三个年级中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：，，，，，，，统计结果如图所示．
（1）由直方图可认为学生满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．若该学校有3000名学生，试估计该校学生中满意度得分位于区间，内的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）为吸引学生就餐时间去食堂，教育处协同后勤处举行为期一周的活动，每天每位学生可去食堂，领取一盒早餐奶券（价值2元）或参加抽奖活动（只能二选一），其中抽奖活动规则如下：每人最多有4轮抽奖，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为，每一轮抽奖，若中奖，可获用餐券一张（价值2元，用餐时抵扣）；若未中奖，则抽奖活动结束．李同学参与了此次活动．
①若李同学选择抽奖，求他获得6元用餐券的概率；
②李同学选择哪种活动更合算？请说明理由．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．

10．（2023•丰台区一模）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，越大代表拥堵程度越高．某平台计算的公式为：，并按的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

，
，
，
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路的统计数据如图：

（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路比2022年同日高的天数记为，求的分布列及数学期望；
（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路依次记为，，，，将2022年同期依次记为，，，，记，2，，，．请直接写出取得最大值时的值．
11．（2022秋•昌图县校级期末）2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄
潜伏期
合计
长潜伏期
非长潜伏期
50岁以上
30
110
140
50岁及50岁以下
20
40
60
合计
50
150
200
（1）依据小概率值的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
（3）以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，当为何值时，取得最大值？
附：．

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635
若随机变量服从正态分布，则，，，．
12．（2023•湖北模拟）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．高三（7）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响
（1）若三（7）获得决赛资格的小组个数为，求的数学期望；
（2）已知甲、乙两个小组在决赛中相遇．决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率．
13．（2023•龙岩模拟）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐．甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的取胜方为最终冠军．设每局此赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为，求的分布列及；
（2）记一共进行的比赛局数为，求．
14．（2022秋•上栗县校级期末）某工厂改造一废弃的流水线，为评估流水线的性能，连续两天从流水线生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为．
第一天
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
第二天
直径
58
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
2
4
5
21
34
21
3
3
2
1
1
1
100
经计算，第一天样本的平均值，标准差．第二天样本的平均值，标准差．
（1）现以两天抽取的零件来评判流水线的性能．
计算这两天抽取200件样本的平均值和标准差（精确到；
现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判表示相应事件的概率），①；②；③评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线的性能等级．
（2）将直径在，范围内的零件认定为一等品，在，范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品．现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设为抽到次品的件数，求分布列及其期望．
附注：参考数据：，，；
参考公式：标准差．
15．（2023•江宁区一模）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
（1）求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．
16．（2023•温江区校级模拟）强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中．
（Ⅰ）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（Ⅱ）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．
17．（2022秋•丹东期末）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：





0.6
0.15
0.25







0.2
0.5
0.1
0.2
现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．
（1）在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；
（2）项目甲投资万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？
18．（2023•滨江区校级开学）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标” ，新能源汽车、电动汽车对于实现“双碳目标”具有重要的作用，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望．
①参考数据：；
②参考公式：线性回归方程：，其中；
相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．
，其中．附表：
19．（2023•茂名一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．
（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
（2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮．
在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值．
20．（2023•曲靖模拟）某地，，，四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如表（单位：十台）

商场
商场
商场
商场
购讲该型冰箱数
3
4
5
6
销售该型冰箱数
2.5
3
4
4.5
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为，，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
21．（2022秋•金华期末）第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯．足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．
某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
成绩（分
，
，
，
，
，
，
频数
2
5
15
40
30
8
（Ⅰ）求这100份试卷成绩的平均数；
（Ⅱ）假设此次知识竞赛成绩服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩求该校预期的平均成绩大约是多少？
（Ⅲ）知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则：；；．
22．（2023•沈阳模拟）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩非陈字和黄政孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金，已知每场比赛韩菲陈宇组合赢的概率为，黄政孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
（1）若在已进行的5场比赛中韩菲陈宇组合赢3场、黄政孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲陈宇组合赢得全部奖金的概率；
（2）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
（3）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲陈宇组合获得奖金数的分布列．
23．（2023•山西模拟）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆，且约定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为，由妻子驾车的概率为；③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
（1）求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望；
（2）设在第天时，由丈夫驾车的概率为，求数列的通项公式．
24．（2023•重庆模拟）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的．在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是，且互不影响），设共需检验的次数为．
（1）求随机变量的分布列和期望；
（2）若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为，急性乙肝炎症治愈率可达，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率（结果保留两位有效数字）
25．（2023•郑州模拟）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．
（1）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望；
（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
26．（2023•保定一模）甲市某中学数学建模小组随机抽查了该市2000名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：
表一“双减”政策后
时间分钟
，
，
，
，
，
，
，
人数
10
60
210
520
730
345
125
表二“双减”政策前
时间分钟
，
，
，
，
，
，
，
人数
40
245
560
610
403
130
12
（1）用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化（同一时间段的数据用该组区间中点值做代表）；
（2）为给参加运动的学生提供方便，学校计划在球场边安装直饮水设备．该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌，品牌售价500元，使用寿命为7个月或8个月（概率均为；品牌售价200元，寿命为3个月或4个月（概率均为．现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌．方案乙：购置1个品牌和2个品牌．试从性价比（设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠．
27．（2023•浙江模拟）文渊中学计划在2023年2月举行趣味运动会，其中设置“夹球接力跑”项目，需要男同学和女同学一起合作完成．高一班代表队共派出3个小组（编号为，，角逐该项目，每个小组由1名男生和2名女生组成，其中男生单独完成该项目的概率为0.6，女生单独完成该项目的概率为．假设他们参加比赛的机会互不影响，记每个小组能完成比赛的人数为．
（1）证明：在的概率分布中，最大；
（2）如果比赛当天天气出现异常，则将临时更改比赛规则：每个代表队每次指派一个小组，比赛时间一分钟，如果一分钟内不能完成，则重新指派另一组参赛．高一班代表队的领队了解后发现，小组能顺利完成比赛的概率为，2，，且各个小组能否完成比赛相互独立．在更改比赛规则后，领队如何安排小组的出场顺序能使指派的小组个数的均值最小？请给出证明．
28．（2023•泉州模拟）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，设人工抽检的综合指标不达标率为．
（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；
（3）若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．
29．（2022秋•邢台期末）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量．
（1）求的分布列；
（2）若满足的的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优．

30．（2023•江西模拟）卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷沙特，墨西哥波兰；第二轮是阿根廷墨西哥，沙特波兰；第三轮是阿根廷波兰，墨西哥沙特．小组赛前曾有机构评估组四个国家的实力是阿根廷墨西哥波兰沙特，并预测各自胜负概率如下：（1）阿根廷胜墨西哥概率为，阿根廷胜波兰、阿根廷胜沙特的概率均为，阿根廷平墨西哥、波兰、沙特的概率均为；（2）墨西哥胜波兰、墨西哥胜沙特、波兰胜沙特的概率均为，墨西哥平波兰、墨西哥平沙特、波兰平沙特的概率均为；按照上述机构的评估与预测，求解下列问题：
（1）已知在组小组赛第一轮中，阿根廷沙特，墨西哥波兰，第二轮中，阿根廷墨西哥，沙特波兰，求阿根廷最后小组赛晋级的概率（积分相同时实力强的优先晋级）；
（2）设阿根廷在小组赛中的不败的场次为，求的分布列及数学期望．
31．（2022秋•秦淮区校级期末）第22届世界杯于2022年11月21日举办，在决赛中，阿根廷队通过点球战胜发过队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
①试证明为等比数列；
②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
32．（2022秋•徐汇区校级期末）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值．
等级


询单转化率
，
，
人数
6
4
（1）求该网店询单转化率的平均值；
（2）现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；
（3）已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人．在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位等级客服接待的概率为，被任一位等级客服接待的概率为，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则应该控制在什么范围？
33．（2023•西城区校级模拟）为调查，两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物和只服用药物的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间
只服用药物
只服用药物
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率，且只服用药物和只服用药物的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物和只服用药物的患者中各随机抽取1人，以表示这2人中能在7天内康复的人数，求的分布列和数学期望：
（3）从只服用药物的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有人在14天内未康复的概率，其中，1，2，，100．当最大时，写出的值．（只需写出结论）
34．（2022秋•大连期末）某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有，份样本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验次；方案二：混合检验，将份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定份样本的阳性样本，则对份本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为．
（1）若，份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为，求分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求的最大值．
参考数据：，，，，
35．（2023•琼山区校级一模）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划” ，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率匀为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次，，，其中．
（1）若，求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；
（2）“强基计划”规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．
36．（2023•新乡一模）乒乓球被称为中国的“国球”．甲、乙两位乒乓球爱好者决定进行一场友谊赛，制定如下比赛规则：比赛分两天进行，每天实行三局两胜制，即先赢两局者获得该天的胜利．若两天比赛中一方连续胜利，则该方获得胜利；若两天比赛中双方各胜一天，则第三天加赛一局，一局定胜负．设每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立，没有平局．
（1）当时，求第一天比赛甲获胜的概率；
（2）记比赛结束时的总局数为，当时，求随机变量的分布列和数学期望．
37．（2023•小店区校级模拟）在东京奥运会中，甲、乙、丙三名射击运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互独立．
（1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；
（2）若，记三个人中成功晋级的人数为，若时和时的概率相等，求．
38．（2023•甘肃一模）如图，李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线，路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

39．（2023•广东一模）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有，份，分别从份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这个人全部为阴性，因而这个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这个人的血样再逐份检验，因此这个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
（Ⅰ）若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（Ⅱ）记为用方案乙对个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？
（参考数据：，，
40．（2023•沭阳县校级模拟）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在，内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“” 时，发现满足，，．
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在，的参赛者评为一等奖；分数在，的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在，的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖．
求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
已知学生和都获奖，记，两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．
41．（2023•嘉定区模拟）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）若要求，确定的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

42．（2023•桃城区校级一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示．
环境质量等级
土壤各单项或综合质量指数
灌溉水各单项或综合质量指数
环境空气各单项或综合质量指数
等级名称
1



清洁
2



尚清洁
3



超标
各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：

（1）若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；
（2）现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望．
43．（2023•高新区校级模拟）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为，．
（1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
（2）已知，则：
①，取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？
44．（2023•渝中区校级模拟）兔年春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”．据悉，有，，三家工厂可以各自独立生产烟花“加特林”，已知工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为．
（1）分别求，，三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率；
（2），，三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，求的数学期望，它反映了什么实际意义？
45．（2023•兴庆区校级一模）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在，两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组，，，，，，，，，，，，并整理得到如图频率分布直方图：

（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从小区内随机抽取5个人，用表示赞成该小区推行方案的人数，求的分布列及数学期望．
46．（2023•盐亭县校级模拟）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：
时间
，
，
，
，
，
，
人数
10
36
34
10
6
4
（1）估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在，的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
47．（2023•平谷区模拟）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，年的植树成活率统计如表：（表中“”表示该年末植树）

2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
甲
95.5
92
96.5
91.6
96.3
94.6




乙
95.1
91.6
93.2
97.8
95.6
92.3
96.6



丙
97.0
95.4
98.2
93.5
94.8
95.5
94.5
93.5
98.0
92.5
规定：若当年植树成活率大于，则认定该年为优质工程．
（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；
（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以表示这3年中优质工程的个数，求的分布列；
（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？
48．（2023•桃城区校级模拟）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值（其中：，得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：

质量指标值

或
等级
级
级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；
（2）从样本的级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在，的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个级零件的利润是10元，一个级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．
49．（2023•莆田模拟）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵“比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立．甲镇代表队的最终得分记为，求．
参考数据：，，，，．
50．（2023•道里区校级一模）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．
（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．
①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；
②记摸出的红球个数为，求随机变量的分布列和数学期望．
（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．

2023统计概率热点大题50训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．（2023•五华区校级模拟）某商场计划在国庆节开展促销活动，准备了游戏环节，主持人准备一枚质地均匀的骰子，掷到奇数和偶数的概率各为，游戏要求顾客掷次骰子，每次记录下点数为奇数还是偶数．
（1）若正好有次的点数为偶数，则顾客获得一个价值50元的红包作为顾客，你认为和哪种情况更有利于你获得红包？
（2）投掷次骰子后，若掷出偶数的次数多于奇数，则顾客获得一张100元的消费券；掷出偶数的次数等于奇数，则顾客获得一张50元的消费券；掷出偶数的次数少于奇数，则顾客获得一张10元的消费券．
（ⅰ）当时，记顾客获得的消费券为元，求随机变量的数学期望；
（ⅱ）记“掷次骰子，掷出偶数的次数多于奇数”的概率为，求（直接写出表达式即可）
【分析】（1）通过二项分布得出概率；
（2）利用随机变量得概率分布列得出期望，解决问题．
【解答】解：（1）掷2次骰子，掷出1次偶数的概率为，
掷4次骰子，掷出2次偶数的概率为，
所以更有利于顾客获得红包．
（2）（ⅰ）当时，记顾客获得的消费券为元，可取10，50，100．
当掷出2次偶数时，2次奇数时，，所以；
当掷出4次偶数，或者3次偶数1次奇数时，，所以；
当掷出4次奇数，或者3次奇数1次偶数时，，所以，
所以随机变量的数学期望是．
（ⅱ）掷出偶数的次数等于奇数的概率为，又掷到奇数和偶数的概率各为，
所以掷出偶数的次数多于奇数的概率等于掷出偶数的次数少于奇数的概率，所以．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
2．（2023•洪山区校级模拟）2023年3月华中师大一附中举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．
（1）若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
【分析】（1）根据乘法原理，结合古典概型计算求解即可；
（2）由题知的可能取值为0，1，2，3，再依次求对应的概率，列分布列，求期望即可．
【解答】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件；
当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件；
由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，
所以，（A），（B），
所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率（A）（B）．
（2）由题知，的可能取值为0，1，2，3，
所以，考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，
所以，当时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，故；
当时，
第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；
第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；
第三天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；
第四天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；
第五天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；
第六天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；
综上，当时，共有种选择，
所以，；
当时，
第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择；
第一天，第三天，第六天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择
第一天，第四天，第六天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择；
第二天，第四天，第六天，选择“羽毛球对拉高远球”，有种选择；
所以，当时，共有种选择，
所以，；
所以，当，
所以，的分布列为：

0
1
2
3





所以，．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
3．（2023•西安模拟）红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏．游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”．记游戏小组一局游戏所得分数之和为．
（1）求的分布列和数学期望；
（2）若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率．
【分析】（1）分析骰子向上的面是1或6的各种情况，列出的可能取值及其对应概率即可作出分布列，再按照数学期望的方法计算即可．
（2）由（1）知游戏小组一局游戏得分的概率，继而可得符合情况的概率．
【解答】解：（1）由条件可知：
当一组中三人都掷出1或6面向上时的取值为，
当一组中两人掷出1或6面向上时的取值为0，
当一组中一人掷出1或6面向上时的取值为30，
当一组中都没有掷出1或6面向上时的取值为60，
掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为，
向上的面不是1或6的概率为，
，
，
，
，
的分布列为：


0
30
60





；
（2）由（1）可知，游戏小组一局游戏，
记“游戏小组两局游戏，至少一局游戏得分”为事件．
则．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，互斥事件的并事件的概率加法公式的应用，属中档题．
4．（2023•朝阳区一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立．
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
（Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）根据古典概型公式计算即可；
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；
（Ⅲ）计算出，，比较大小即可．
【解答】解：（Ⅰ）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，
则（A）．
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2，
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”，
由题设知，事件，相互独立，
且（B），（C），
所以，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2




故的数学期望．
（Ⅲ），理由：根据频率估计概率得
，由（Ⅱ）知，，
故，
则．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
5．（2023•东城区一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀．两位同学的测试成绩如表：
次数
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93
—
乙
76
81
80
85
89
96
94
（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求的分布列及数学期望；
（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望与（2）中的大小．（结论不要求证明）
【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解；
（3）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与（2）中期望即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，
测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得，
所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次测试成绩超过90分的概率；
（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为1，2，3，
则；；，
所以的分布列为：

1
2
3




所以．
（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为0，1，2，3，
则；；
；，
所以的分布列为：

0
1
2
3





所以，．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
6．（2023春•如皋市校级月考）某市举行全国两会知识竞赛，从参与者中随机抽取400名幸运者，对他们的成绩进行分析，把他们的得分分成以下7组：，，，，，，，，，，，，，，统计得到各组的频数之比为．
（1）试用组中值估计这400名幸运者成绩的平均值；
（2）若此次知识竞赛得分，，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过80分的可获话费10元，得分超过80分不超过95分的可获话费20元，超过95分可获话费100元，试估计任意一名参与者获得话费的数学期望．
参考数据：，，．
【分析】（1）先求各区间上的频率，然后计算可得；
（2）利用正态分布的性质计算可得取10，20，100的概率，然后根据期望公式可得数学期望．
【解答】解：（1）由题知区间：，，，，，，，，
，，，，，上的频率分别为，，，，，，，
所以；
（2）设获得话费为元，
，
，
，
的分布列为：

10
20
30

0.84135
0.1359
0.02275
．
答：幸运者成绩的平均值为65，参与者获得话费的数学期望为13.4065元．
【点评】本题考查正态分布以及数学期望，考查运算求解能力，属中档题．
7．（2023•平罗县校级二模）第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示．

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

40

女生
30


合计



（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
附：．
【分析】（1）根据题意写出列联表，结合独立性检验公式计算即可；
（2）3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3，计算对应概率，写出分布列和期望即可．
【解答】解：（1）列联表：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
根据独立性检验公式可知，，
有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门，男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，
假设各人射门相互独立，则3人进球总次数的所有可能取值为0，1，2，3，
对应概率为，，，，
的分布列如下：

0
1
2
3





．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
8．（2023•枣庄二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
（2）记随机选取的两人得分之和为，求的期望．
【分析】（1）根据条件概率公式，即可求解；
（2）根据超几何分布列的概率，期望的性质，即可求解．
【解答】解：（1）设事件为：“至少有一名女生参加活动“，
设事件为；“恰有一名女生参加活动“，
则，
（A），
在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：
；
（2）女生参加活动得分为，
男生参加活动得分为，
设恰有名女生参加活动，则有名男生参加活动，
，，，
，
又，
．
的期望为．
【点评】本题考查条件概率公式的应用，超几何分布列的概率求解，期望的性质，属中档题．
9．（2023•涟源市模拟）长沙某中学发现越来越多的学生就餐时间不去食堂，而是去面包房或校园商店．考虑到学生的饮食健康及身体营养问题，校领导要求教育处就学生对食堂的菜品及服务质量等问题进行满意程度调查．教育处从三个年级中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：，，，，，，，统计结果如图所示．
（1）由直方图可认为学生满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．若该学校有3000名学生，试估计该校学生中满意度得分位于区间，内的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）为吸引学生就餐时间去食堂，教育处协同后勤处举行为期一周的活动，每天每位学生可去食堂，领取一盒早餐奶券（价值2元）或参加抽奖活动（只能二选一），其中抽奖活动规则如下：每人最多有4轮抽奖，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为，每一轮抽奖，若中奖，可获用餐券一张（价值2元，用餐时抵扣）；若未中奖，则抽奖活动结束．李同学参与了此次活动．
①若李同学选择抽奖，求他获得6元用餐券的概率；
②李同学选择哪种活动更合算？请说明理由．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．

【分析】（1）根据正态分布的概率求得，内的概率，即可求得答案；
（2）①确定李同学获得6元用餐券的抽奖中奖情况，根据独立事件的概率公式可得答案；②确定李同学参加抽奖活动获得用餐券金额的可能情况，求出每种情况对应的概率，计算其期望，进行比较可得答案．
【解答】解：（1）由题意知样本平均数为，
所以，，，，
又，
故该校得分位于区间，内的人数约为；
（2）①由题意可得李同学连续三次都抽中奖，第四次不中奖，李同学会获得6元用餐券，
故他获得6元用餐券的概率为，
②设李同学参加抽奖活动获得用餐券金额为，的可能取值为0，2，4，6，8，
则，，，，，
所以的分布列为

0
2
4
6
8






所以，
所以李同学选领取早餐奶券更合算．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
10．（2023•丰台区一模）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，越大代表拥堵程度越高．某平台计算的公式为：，并按的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

，
，
，
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路的统计数据如图：

（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路比2022年同日高的天数记为，求的分布列及数学期望；
（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路依次记为，，，，将2022年同期依次记为，，，，记，2，，，．请直接写出取得最大值时的值．
【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；
（2）结合题意先求出的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；
（3）结合题意先求得，进而即可求解．
【解答】解：（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为；
（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以，，，
所以的分布列为：

0
1
2




数学期望；
（3）由题意，，，，，，，，
所以，
所以取得最大值时，．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
11．（2022秋•昌图县校级期末）2022年新型冠状“奥密克戎”病毒肆虐，冠状肺炎感染人群年龄大多数是50岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄
潜伏期
合计
长潜伏期
非长潜伏期
50岁以上
30
110
140
50岁及50岁以下
20
40
60
合计
50
150
200
（1）依据小概率值的独立性检验，可否认为“长潜伏期”与年龄有关？
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
（3）以题日中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，当为何值时，取得最大值？
附：．

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635
若随机变量服从正态分布，则，，，．
【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到结论；
（2）求出，，由正态分布的对称性求出，根据小概率事件得到相应结论；
（3）表达出，得到，从而得到的单调性，得到取得最大值时的值．
【解答】解：（1）零假设为：“长潜伏期”与年龄无关，依据表中数据，得：，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，
故认为“长潜伏期”与年龄无关；
（2）由题意知潜伏期，，由，
得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；
（3）由于200个病例中有50个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
于是，
则，
当且时，，
当且时，，
（1）（2），，
故当时，取得最大值．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于中档题．
12．（2023•湖北模拟）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．高三（7）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响
（1）若三（7）获得决赛资格的小组个数为，求的数学期望；
（2）已知甲、乙两个小组在决赛中相遇．决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率．
【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决．
（2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得10分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可．
【解答】解：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，，则
，
由题意可得，的取值有0，1，2，
，
，

，
所以．
（2）依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为，，
乙已得10分，甲若想获胜情况有：
①甲得20分：其概率为
②甲得10分，乙再得分，其概率为；
③甲得0分，乙再得分，其概率为，
故乙先得10分后甲获胜的概率为．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．
13．（2023•龙岩模拟）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐．甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的取胜方为最终冠军．设每局此赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为，求的分布列及；
（2）记一共进行的比赛局数为，求．
【分析】（1）求出可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的的值；
（2）先得到双方前两天的比分为或的概率均为，比分为或的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可．
【解答】解：（1）可能取值为2，3．
，，
所以，即，
则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为或的概率均为；
比分为或的概率均为，
，则或，
即获胜方两天均为获胜，不妨设获胜，
概率为，同理获胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，
不妨设最终部获胜，
当前两天的比分为和时，
先从两天中选出一天，比赛比分为，三场比赛前两场，部一胜一负，第三场比赛获胜，另外一天比赛比分为，
故概率为，
当前两天比分为和，附加赛获胜时，两天中选出一天，比赛比分为，
概率为，
故最终部获胜的概率为，
同理部胜，概率为，
故，
所以．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．
14．（2022秋•上栗县校级期末）某工厂改造一废弃的流水线，为评估流水线的性能，连续两天从流水线生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为．
第一天
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
第二天
直径
58
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
2
4
5
21
34
21
3
3
2
1
1
1
100
经计算，第一天样本的平均值，标准差．第二天样本的平均值，标准差．
（1）现以两天抽取的零件来评判流水线的性能．
计算这两天抽取200件样本的平均值和标准差（精确到；
现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判表示相应事件的概率），①；②；③评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线的性能等级．
（2）将直径在，范围内的零件认定为一等品，在，范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品．现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设为抽到次品的件数，求分布列及其期望．
附注：参考数据：，，；
参考公式：标准差．
【分析】（1）（ⅰ）因为两天100个零件的平均值都是65，所以200个零件的平均值也是65，按照公式计算标准差；（ⅱ）分别计算的概率，然后比较等级；
（2）由（ⅱ）可知200件零件中合格品7个，次品4个，的可能取值为0，1，2，利用超几何分布计算概率，并求分布列和数学期望．
【解答】解：（1）依题意：200个零件的直径平均值为由标准差公式得：
第一天：，第二天：，则，
故．（注：如果写出不给分）
由（1）可知
，
，
，
仅满足一个不等式，判断流水线的等级为合格．
（2）可知200件零件中合格品7个，次品4个，的可能取值为0，1，2，
则，，，
的分布列

0
1
2




则．
【点评】本题考查样本期望，方差的计算，原则的应用，以及超几何分布列的计算，重点考查数据的分析和应用，属于中档题型，本题的关键是读懂题意．
15．（2023•江宁区一模）某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
（1）求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．
【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可；
（2）根据题中所给的公式进行求解即可；
（3）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式进行求解即可．
【解答】解：（1），
，解得，
，解得，
这40名学生的方差为，
．
（2）由，，得的估计值，的估计值，
，
，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人，
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”．
（3）由题意得，的可能取值为0，2，5，
，
，
，
的分布列为

0
2
5




．
【点评】本题考查平均数、方差的计算，考查正态分布，考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
16．（2023•温江区校级模拟）强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中．
（Ⅰ）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（Ⅱ）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件，利用相互独立事件概率乘法公式能求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（Ⅱ）设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，根据题意可知，，由此能求出的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节，
已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，
若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中．
设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，
“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件，根据题意得：
该考生报考甲所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为，
该考生报考乙所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率为；
（Ⅱ）设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，
根据题意可知，，所以，，
，
，，．则随机变量的分布列为：

0
1
2
3





，
若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，
所以，
又因为，所以，
所以的取值范围是．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（2022秋•丹东期末）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：





0.6
0.15
0.25







0.2
0.5
0.1
0.2
现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．
（1）在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；
（2）项目甲投资万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？
【分析】（1）根据和的分布列可列出利润和的分布列，并分别计算出其期望值，再利用方差计算公式即可得和；
（2）由方差性质可得，再结合（1）中数据利用二次函数单调性即可求得结果．
【解答】解：（1）由题意可知，
的分布列为

5
10


0.6
0.15
0.25
所以，，
的分布列为

4
6
12


0.2
0.5
0.1
0.2
所以，．
（2）由题意可知，
．
当，即时，取得最小值．
因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
18．（2023•滨江区校级开学）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标” ，新能源汽车、电动汽车对于实现“双碳目标”具有重要的作用，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望．
①参考数据：；
②参考公式：线性回归方程：，其中；
相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．
，其中．附表：
【分析】（1）结合线性回归方程与相关系数的计算公式，即可得解；
（2）先写出零假设，再计算的值，即可作出判断；
（3）由分层随机抽样知，抽取的7人中有2名男性，5名女性，再由超几何分布求得每个的取值所对应的概率，即可得分布列，然后由数学期望的计算方法，得解．
【解答】解：（1）因为线性回归方程为，
所以，
所以，
所以，
所以电动汽车销量与年份的相关性较强．
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据，可知，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（3）按照性别进行分层抽样抽取7人，这7人中有2名男性，5名女性，
所以的所有可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为

0
1
2




数学期望．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，线性回归方程等，熟练掌握超几何分布，相关系数的求法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（2023•茂名一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．
（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
（2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮．
在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值．
【分析】（1）设 “抽到第一袋”， “抽到第二袋”， “随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
（2）的可能取值为，0，2，计算出相应概率，即得分布列；
的可能取值为，，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值．
【解答】解：（1）设 “抽到第一袋”， “抽到第二袋”，
“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表” ，
，，
由全概率公式得；
（2）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为，0，2，
则，
，
，
得分为的分布列如下：


0
2




设在二轮比赛中得分为，
则的可能取值为，，0，2，4，
则，
，
，
，
得分为的分布列如下：



0
2
4






故．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
20．（2023•曲靖模拟）某地，，，四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如表（单位：十台）

商场
商场
商场
商场
购讲该型冰箱数
3
4
5
6
销售该型冰箱数
2.5
3
4
4.5
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为，，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【分析】（1）根据最小二乘法求线性回归方程即可；
（2）设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为，求出分布列得到期望，由期望的性质求出，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1），
，
，，
所以，则，
故关于的线性回归方程为；
（2）设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2




所以，，
令，即，解得，
又因为，
所以，
所以的取值范围为．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
21．（2022秋•金华期末）第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯．足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．
某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
成绩（分
，
，
，
，
，
，
频数
2
5
15
40
30
8
（Ⅰ）求这100份试卷成绩的平均数；
（Ⅱ）假设此次知识竞赛成绩服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩求该校预期的平均成绩大约是多少？
（Ⅲ）知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则：；；．
【分析】（Ⅰ）根据平均数的运算公式进行计算即可；（Ⅱ）根据正态分布的对称性进行求解即可；（Ⅲ）根据概率的乘法和加法公式，结合数学期望公式进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）（分；
（Ⅱ）由，即，
所以该校预期的平均成绩大约是（分；
（Ⅲ）设事件表示“小明选择了个选项” ，2，，事件表示“选择的选项是正确的”．由题知，可取5，2，0．
因为，，
，
所以，随机变量的分布列为：

5
2
0




于是，．
【点评】本题考查正态分布，考查离散型随机变量的期望与方差，属于难题．
22．（2023•沈阳模拟）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩非陈字和黄政孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金，已知每场比赛韩菲陈宇组合赢的概率为，黄政孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
（1）若在已进行的5场比赛中韩菲陈宇组合赢3场、黄政孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲陈宇组合赢得全部奖金的概率；
（2）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
（3）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲陈宇组合获得奖金数的分布列．
【分析】（1）设比赛继续进行场韩菲陈宇组合赢得全部奖金，则最后一场必然韩菲陈宇组合赢，讨论与，由此能求出结果；
（2）讨论韩菲陈宇组合、黄政孙艺组合之间的输赢情况即可求解；
（3）先求出韩菲陈宇组合获得奖金数元的所有可能取值，再求出每个值对应的概率，由此能求出韩菲陈宇组合获得奖金数的分布列．
【解答】解：（1）设比赛继续进行场韩菲陈宇组合赢得全部奖金，则最后一场必然韩菲陈宇组合赢，
当时，韩菲陈宇组合以赢，，
当时，韩菲陈宇组合以赢，，
韩菲陈宇组合赢得全部奖金的概率为：
（A），
比赛继续进行且韩菲陈宇组合赢得全部奖金的概率．
（2）进行了5场比赛，黄政孙艺组合、韩菲陈宇组合之间的输赢情况有以下四种情况：
黄政孙艺组合赢4场，韩菲陈宇组合赢1场；黄政孙艺组合赢3场，韩菲陈宇组合赢2场；
黄政孙艺组合赢2场，韩菲陈宇组合赢3场；黄政孙艺组合赢1场，韩菲陈宇组合赢4场，
场比赛不同的输赢情况有种．
（3）①韩菲陈宇组合获得奖金数的分布列为：

10000
75000
2500
0





【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23．（2023•山西模拟）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆，且约定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为，由妻子驾车的概率为；③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
（1）求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望；
（2）设在第天时，由丈夫驾车的概率为，求数列的通项公式．
【分析】（1）假设妻子在开始的三天驾车的天数为，的取值为0，1，2，计算对应概率，写出分布列，计算期望即可；
（2）第天由丈夫驾车，则第天为丈夫驾车的概率为，构造是以为首项，为公比的等比数列，写出通项公式即可．
【解答】解：（1）假设妻子在开始的三天驾车的天数为，
由题意，的取值为0，1，2，
，，，
故的概率分布列为

0
1
2




；
（2）第天时，丈夫驾车的概率为，则第天为丈夫驾车的概率为，
所以，，
故是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即通项公式为，．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，等比数列通项公式的应用，属于中档题．
24．（2023•重庆模拟）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的．在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是，且互不影响），设共需检验的次数为．
（1）求随机变量的分布列和期望；
（2）若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为，急性乙肝炎症治愈率可达，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率（结果保留两位有效数字）
【分析】（1）先求出病毒被分在同一组和不在同一组的概率，再求出随机变量的可能取值计算出对应概率，列出分布列计算期望即可；
（2）先求出乙肝患者被治愈的概率，再由对立事件计算求出至少有一人痊愈的概率即可．
【解答】解：（1）病毒被分在同一组的概率为，不被分在同一组的概率为；
若病毒被分在同一组，则下次需要进行2次检验，若病毒不被分在同一组，则下次需要进行4次检验，
若每次病毒均在同一组，则需要进行5次分组，最后一次每组有2份样品，即进行10次检验，，
若前4次病毒均在同一组，第5次病毒不在同一组，此时每组有2份样品，还需要再进行1次分组，再进行4次检验，即进行14次检验，，
若前3次病毒均在同一组，第4次病毒不在同一组，此时每组有4份样品，还需要再进行2次分组，再进行8次检验，即进行16次检验，，
若前2次病毒均在同一组，第3次病毒不在同一组，此时每组有8份样品，还需要再进行3次分组，再进行12次检验，即进行18次检验，
若第1次病毒在同一组，第2次病毒不在同一组，此时每组有16份样品，还需要再进行4次分组，再进行16次检验，即进行20次检验，，
若第1次病毒不在同一组，此时每组有32份样品，还需要再进行5次分组，再进行20次检验，即进行22次检验，，
故随机变量的分布列为：

10
14
16
18
20
22







则；
（2）由题意知是急性乙肝的概率为，慢性乙肝的概率为，则乙肝患者治愈的概率为，
没有治愈的概率为，
则两人最后至少有一人痊愈的概率．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
25．（2023•郑州模拟）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．
（1）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望；
（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
【分析】（1）由题意知，由二项分布求出的分布列与期望；
（2）由题意知甲乙两队比分为或，求出相应的概率再相加即可．
【解答】解：（1）由题意知，，可能的取值为0，1，2，3，4，5，
又，
，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3
4
5







；
（2）设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件，
由题意知，甲乙两队比分为或，
设“甲乙两队比分为”为事件，“甲乙两队比分为”为事件，
若甲乙两队比分为，则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，
，
若甲乙两队比分为，则乙射进4次，甲前四次射进两次，
，
，
即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为．
【点评】本题考查二项分布的期望的结论，离散型随机变量的分布列的概念，古典概型的概率公式的应用，互斥事件的并事件的概率加法公式的应用，属中档题．
26．（2023•保定一模）甲市某中学数学建模小组随机抽查了该市2000名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：
表一“双减”政策后
时间分钟
，
，
，
，
，
，
，
人数
10
60
210
520
730
345
125
表二“双减”政策前
时间分钟
，
，
，
，
，
，
，
人数
40
245
560
610
403
130
12
（1）用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化（同一时间段的数据用该组区间中点值做代表）；
（2）为给参加运动的学生提供方便，学校计划在球场边安装直饮水设备．该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌，品牌售价500元，使用寿命为7个月或8个月（概率均为；品牌售价200元，寿命为3个月或4个月（概率均为．现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌．方案乙：购置1个品牌和2个品牌．试从性价比（设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠．
【分析】（1）从众数的角度分析数据的变化情况；
（2）若采用甲方案，记设备正常运行时间为，则的取值可能为7、8，求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出的期望，再计算性价比，同理算出乙方案的性价比，比较即可．
【解答】解：（1）双减政策后运动时间的众数是65，双减政策前的众数是55，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长；
（2）若采用甲方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值可能为7、8，
则，，
则的分布列：

7
8



，
它与成本之比为，
若采用乙方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值有6、7、8，
则，，，

6
7
8




．
它与成本之比为．
，
方案乙性价比更高．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列的应用，属于中档题．
27．（2023•浙江模拟）文渊中学计划在2023年2月举行趣味运动会，其中设置“夹球接力跑”项目，需要男同学和女同学一起合作完成．高一班代表队共派出3个小组（编号为，，角逐该项目，每个小组由1名男生和2名女生组成，其中男生单独完成该项目的概率为0.6，女生单独完成该项目的概率为．假设他们参加比赛的机会互不影响，记每个小组能完成比赛的人数为．
（1）证明：在的概率分布中，最大；
（2）如果比赛当天天气出现异常，则将临时更改比赛规则：每个代表队每次指派一个小组，比赛时间一分钟，如果一分钟内不能完成，则重新指派另一组参赛．高一班代表队的领队了解后发现，小组能顺利完成比赛的概率为，2，，且各个小组能否完成比赛相互独立．在更改比赛规则后，领队如何安排小组的出场顺序能使指派的小组个数的均值最小？请给出证明．
【分析】（1）由已知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再利用作差法比较与、、的大小关系即可得证；
（2）结合（1）知，可得结论，证明时，设三个小组，2，按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成项目的概率为，，，
【解答】解：（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，，，，
所以概率最大，
（2）由（1）知，当时，有的值最大，
且，，
所以应当以，，的顺序安排小组的出场顺序，可以使得指派的小组个数的均值最小．
证明如下：
假设，，为，，的任意一个排列，即若三个小组，2，按照某顺序派出，
该顺序下三个小组能完成项目的概率为，，，记在比赛时所需派出的小组个数为，
则，2，3，且的分布列为

1
2
3




数学期望，
下面证明，
，
所以按照完成任务概率从大到小的，，的顺序安排小组的出场顺序，可以使得指派的小组个数的均值最小．
【点评】本题考查离散型随机变量的相关知识，属于较难题．
28．（2023•泉州模拟）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，设人工抽检的综合指标不达标率为．
（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；
（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；
（3）若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．
【分析】（1）先求出每个芯片智能检测达标的概率，再利用独立事件的概率关系求出每个芯片智能检测不达标的概率；
（2）由题意可知，利用导数即可求出的极大值点；
（3）由（2）知，先求出人工抽检的综合指标达标的概率，再利用独立事件的概率乘法公式求出芯片合格的概率，进而作出判断．
【解答】解：（1）每个芯片智能检测达标的概率为，
每个芯片智能检测不达标的概率为；
（2）由题意可知，，，
，
令得，，
当时，，单调递增；当，时，，单调递减，
当时，取得极大值，即的极大值点；
（3）由（2）知，
人工抽检的综合指标达标的概率，
芯片合格的概率，
，
需要对生产工序进行改良．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．
29．（2022秋•邢台期末）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量．
（1）求的分布列；
（2）若满足的的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优．

【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；
（2）根据分布列结合条件求的最小值；
（3）分别计算与时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论．
【解答】解：（1）设表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则，，
的取值范围是，11，12，13，14，15，，
，
，
，
，
，
，
，
的分布列为

10
11
12
13
14
15
16

0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
（2）由（1）可知，，
故．
（3）由（2）可知，
在灯带安全使用寿命期内，
当时，设购买替换灯珠所需总费用为元，
当时，设购买替换灯珠所需总费用为元，
则，
，
，
故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比的方案更优．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
30．（2023•江西模拟）卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷沙特，墨西哥波兰；第二轮是阿根廷墨西哥，沙特波兰；第三轮是阿根廷波兰，墨西哥沙特．小组赛前曾有机构评估组四个国家的实力是阿根廷墨西哥波兰沙特，并预测各自胜负概率如下：（1）阿根廷胜墨西哥概率为，阿根廷胜波兰、阿根廷胜沙特的概率均为，阿根廷平墨西哥、波兰、沙特的概率均为；（2）墨西哥胜波兰、墨西哥胜沙特、波兰胜沙特的概率均为，墨西哥平波兰、墨西哥平沙特、波兰平沙特的概率均为；按照上述机构的评估与预测，求解下列问题：
（1）已知在组小组赛第一轮中，阿根廷沙特，墨西哥波兰，第二轮中，阿根廷墨西哥，沙特波兰，求阿根廷最后小组赛晋级的概率（积分相同时实力强的优先晋级）；
（2）设阿根廷在小组赛中的不败的场次为，求的分布列及数学期望．
【分析】（1）首先分析两轮过后各队的积分情况，有①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（2）依题意可得的可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
【解答】解：（1）前两轮过后，阿根廷、墨西哥、波兰、沙特的积分分别是3分、1分、4分、3分；
第三轮中，阿根廷波兰，阿根廷胜波兰概率为，阿根廷平波兰概率为，阿根廷负于波兰概率为，
墨西哥沙特，墨西哥胜沙特概率为，墨西哥平沙特概率为，墨西哥负于沙特概率为；
设所求事件为，列举可知事件包含以下两种情况：①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，
则．
（2）依题意可得的可能取值为0、1、2、3，
，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





所以的数学期望．
【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
31．（2022秋•秦淮区校级期末）第22届世界杯于2022年11月21日举办，在决赛中，阿根廷队通过点球战胜发过队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
①试证明为等比数列；
②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【分析】（1）根据题意可知，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；
（2）①记第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定，的关系，结合等比数列定义完成证明；②由①求出，，比较其大小即可．
【解答】解：（1）依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为0，1，2，3，
易知，所以，，1，2，3，
故的分布列为：

0
1
2
3





所以的期望；
（2）①记第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，
又，所以是以为首项，公比为的等比数列，
②由①可知，
所以，所以，
故．
【点评】本题考查离散型随机变量的实际应用，等比数列的综合应用，属于中档题．
32．（2022秋•徐汇区校级期末）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值．
等级


询单转化率
，
，
人数
6
4
（1）求该网店询单转化率的平均值；
（2）现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；
（3）已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人．在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位等级客服接待的概率为，被任一位等级客服接待的概率为，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则应该控制在什么范围？
【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可；
（2）设等级客服的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，4，对应的询单转化率中位数分别为，，，，，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为，所以该网店询单转化率的平均值为．
（2）由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为，．
设抽取4位客服中，等级客服的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，4．
由题意可得，服从超几何分布．
当时，4人转化率为，，，，中位数为；
当时，4人转化率为，，，，中位数为；
当时，4人转化率为，，，，中位数为；
当时，4人转化率为，，，，中位数为；
当时，4人转化率为，，，，中位数为．
所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于．
因为，服从超几何分布，所以的分布列为，，1，2，3，4．
所以．
（3）设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为，．
则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则．
因为，等级客服的询单转化率分别为，，
所以改革前日均成交人数为；
改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为．
由得：，①
因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服接待的概率为．
又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以，
解得：，②
由①②得：，所以应该控制在．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
33．（2023•西城区校级模拟）为调查，两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物和只服用药物的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间
只服用药物
只服用药物
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率，且只服用药物和只服用药物的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物和只服用药物的患者中各随机抽取1人，以表示这2人中能在7天内康复的人数，求的分布列和数学期望：
（3）从只服用药物的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有人在14天内未康复的概率，其中，1，2，，100．当最大时，写出的值．（只需写出结论）
【分析】（1）结合表中数据求出概率；
（2）先得到只服用药物和只服用药物的患者7天内康复的概率，得到的可能取值，求出对应的概率，得到分布列和数学期望；
（3）求出只服用药物的患者中，14天内未恢复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案．
【解答】解：（1）只服用药物的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，
故一名患者只服用药物治疗，估计此人能在14天内康复的概率为．
（2）只服用药物的患者7天内康复的概率为，
只服用药物的患者7天内康复的概率为，
其中的可能取值为0，1，2，
，
，
，
则的分布列为：

0
1
2




．
（3）只服用药物的患者，14天内未康复的概率为，
，，1，2，，100，
令，即，
解得，因为，所以．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
34．（2022秋•大连期末）某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有，份样本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验次；方案二：混合检验，将份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定份样本的阳性样本，则对份本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为．
（1）若，份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为，求分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求的最大值．
参考数据：，，，，
【分析】（1）的可能值为1和，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可得出答案；
（2）①利用期望公式，可得方案二的期望，利用作差法比较大小，即可得出答案；
②结合期望公式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得随机变量的可能值为1和，则，，
故随机变量的分布列为

1




故；
（2）①由（1）得，设方案二总费用为，方案一总费用为，则，
方案二总费用的数学期望为，
又，则，
又方案一的总费用为，
，
当时．，，
，该单位选择方案二合理；
②由①方案二总费用的数学期望，
当时，，
又方案一的总费用为，
令，则，
，即，
，
设，则，
由得，由得，
在，上单调递增，在上单调递减，
（7），，，，，，
故的最大值为11．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差、分布列，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
35．（2023•琼山区校级一模）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划” ，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率匀为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次，，，其中．
（1）若，求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；
（2）“强基计划”规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．
【分析】（1）由已知，根据题意，由该考生报考乙大学，每门科目通过的概率可分情况直接求解恰好通过两门科目的概率；
（2）由已知，报考甲大学，每门科目通过满足二项分布，可直接计算其期望，然后再根据已知条件，计算通过乙大学的数学期望，然后令通过乙大学的数学期望大于通过甲大学的数学期望，即可完成参数的求解．
【解答】解：（1）该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率为：；
（2）甲通过的考试科目数，
，
设乙通过的考试科目数为，
则，，，
，
该考生更希望通过乙大学的笔试，
，
，
又，
，
当该考生更希望通过乙大学的笔试时，
故的取值范围是．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
36．（2023•新乡一模）乒乓球被称为中国的“国球”．甲、乙两位乒乓球爱好者决定进行一场友谊赛，制定如下比赛规则：比赛分两天进行，每天实行三局两胜制，即先赢两局者获得该天的胜利．若两天比赛中一方连续胜利，则该方获得胜利；若两天比赛中双方各胜一天，则第三天加赛一局，一局定胜负．设每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立，没有平局．
（1）当时，求第一天比赛甲获胜的概率；
（2）记比赛结束时的总局数为，当时，求随机变量的分布列和数学期望．
【分析】（1）由题可知甲可能以或获胜，分别计算概率，并求和，即可求解；
（2）由题可得可取4，5，6，7，分别计算概率可得分布列，再利用期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）第一天比赛甲可能以或获胜，
，，
第一天甲获胜的概率；
（2），
第一天和第二天甲以获胜的概率为，此时乙以负，
第一天和第二天甲以获胜的概率为，此时乙以负，
即第一天和第二天甲、乙各自以和获胜的概率都是，
同样以和负的概率都是，
的所有可能取值为4，5，6，7，
，
，
，
，
故随机变量的分布列为：

4
5
6
7





故．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
37．（2023•小店区校级模拟）在东京奥运会中，甲、乙、丙三名射击运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互独立．
（1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；
（2）若，记三个人中成功晋级的人数为，若时和时的概率相等，求．
【分析】（1）根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式可得，①，②，联立①②，即可求解．
（2）三人是否晋级相互独立，则，，结合已知条件，时和时的概率相等，求出的值，所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，
乙没有晋级的概率为，丙没有晋级的概率为，
三人是否晋级相互独立，
乙与丙均没有晋级的概率为，
甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，
①，
又甲晋级的概率与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，
②，
联立①②可得，．
（2）三人是否晋级相互独立，
，，
时和时的概率相等，
，解得，
由题意可得，所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
38．（2023•甘肃一模）如图，李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线，路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

【分析】（1）利用二项分布即可得出；
（2）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；
（3）由于走路线时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线．
【解答】解：（1）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况．
则，
所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（2）依题意，的可能取值为0，1，2．
，，．
随机变量的分布列为：

0
1
2




所以．
（3）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以．
因为，所以选择路线上班最好．
【点评】熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．
39．（2023•广东一模）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取人，每人一份血样，共份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有，份，分别从份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这个人全部为阴性，因而这个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这个人的血样再逐份检验，因此这个人的总检验次数就为．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为．
（Ⅰ）若，，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（Ⅱ）记为用方案乙对个人的血样总共需要检验的次数．
①当，时，求；
②从统计学的角度分析，在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？
（参考数据：，，
【分析】（Ⅰ）利用每个人的血样检验结果的独立性解题．
（Ⅱ）分别计算出总检验次数为1与时的概率，即可列出分布列，进而求得；如果用方案乙能减少总检验次数，则，化简后即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件为“5个人的血样中恰有 2 个人的检验结果为阳性”，
则；
（Ⅱ）①当，时，5 个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为，总共需要检验的次数为1次；
结果为阳性的概率为，总共需要检验的次数为6次；
所以的分布列为：

1
6



所以．
②当采用混合检验的方案时，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足，
即，
化简得，
所以当满足，用混合检验的方案能减少检验次数．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及独立重复试验的概率问题，属于中档题．
40．（2023•沭阳县校级模拟）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在，内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“” 时，发现满足，，．
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在，的参赛者评为一等奖；分数在，的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在，的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖．
求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
已知学生和都获奖，记，两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．
【分析】（1）在，内，按组距为5可分成6个小区间，分别是，，，，，，，，，，，，由，由，，能求出的对值和．
（2）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生的分数属于区间，，，，，，，，，，，的概率分别是，用符号（或表示学生（或在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中，，2，，记 “学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”，由此能求出学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率．
学生最终获得一等奖的概率是，学生最终获得一等奖的概率是，的可能取值为0，1，2，分虽求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
【解答】解：（1）根据题意，在，内，按组距为5可分成6个小区间，
分别是，，，，，，，，，，，，
，由，，
，15，16，17，18，19，
每个小区间对应的频率值分别是．
，解得，
的对值是14，15，16，17，18，19，．
（2）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，
由（1）知，学生的分数属于区间，，，，，，，，，，，的概率分别是：
，
我们用符号（或表示学生（或在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，
其中，，2，，
记 “学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”，
则

．
学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2




．
【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
41．（2023•嘉定区模拟）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）若要求，确定的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

【分析】（Ⅰ）由已知得的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（Ⅱ）由的分布列求出，．由此能确定满足中的最小值．
（Ⅲ）法一：由的分布列得．求出买19个所需费用期望和买20个所需费用期望，由此能求出买19个更合适．
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出时，费用的期望和当时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
，
，
，
，
，
，
，
的分布列为：

16
17
18
19
20
21
22








（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

．

．
中，的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得
．
买19个所需费用期望：
，
买20个所需费用期望：
，
，
买19个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当时，费用的期望为：，
当时，费用的期望为：，
买19个更合适．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
42．（2023•桃城区校级一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示．
环境质量等级
土壤各单项或综合质量指数
灌溉水各单项或综合质量指数
环境空气各单项或综合质量指数
等级名称
1



清洁
2



尚清洁
3



超标
各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：

（1）若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；
（2）现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望．
【分析】（1）利用古典概型概率计算方法求解；
（2）确定出的所有可能取值，再分别求出对应概率，列出分布列并求出期望．
【解答】解：（1）由题图知应对土壤做进一步调研的村有4个，记事件 “抽取2个村应对土壤做进一步调研“，
则，所以抽取两个村应对土壤做进一步调研的概率为；
（2）由题意知环境空气等级为尚清洁的村共5个，的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列为
　
　0
　1
　2
　3
　
　
　
　
　
所以．
【点评】本题考查统计图、古典概型、超几何分布的知识与方法，属于中档题．
43．（2023•高新区校级模拟）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为，．
（1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
（2）已知，则：
①，取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？
【分析】（1）可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次，利用已知计算可求概率；
（2）①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率，可求最大概率；
②他们小组在轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足，可求的值．
【解答】解：（1）每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，
则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次；
，，
他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为；
（2）①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率
，
，，
又，，则，
令，则，，
，
在，上单调递增，则，
此时；
②他们小组在轮游戏中获得“神投小组”称号的次数满足，
，则，
平均要进行625轮游戏．
【点评】本题考查离散型随机变量的应用，考查转化思想、函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
44．（2023•渝中区校级模拟）兔年春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”．据悉，有，，三家工厂可以各自独立生产烟花“加特林”，已知工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为．
（1）分别求，，三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率；
（2），，三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，求的数学期望，它反映了什么实际意义？
【分析】（1）根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，列出方程组，即可求解；
（2）所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）设，，三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品分别为事件，，，
工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，工厂生产的烟花“加特林”是正品同时工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，
则，解得（A），（B），（C）；
（2）随机变量表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，
所有可能取值为0，1，2，3，
故，
，
，
，
故随机变量的分布列如下：

0
1
2
3





故，
数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，它反映了随机变量平均取值的大小．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
45．（2023•兴庆区校级一模）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在，两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组，，，，，，，，，，，，并整理得到如图频率分布直方图：

（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从小区内随机抽取5个人，用表示赞成该小区推行方案的人数，求的分布列及数学期望．
【分析】（1）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解；
（2）由题意可得，，的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）设小区方案一的满意度平均分为，小区方案二的满意度平均分为，
由频率分布直方图可得，，
，
，
方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；
（2）由题意可知方案二中，满意度不低于70的频率为，低于70分的频率为，
现从小区内随机抽取5个人，用表示赞成该小区推行方案的人数，
则，的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3
4
5







故．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式的应用，属于中档题．
46．（2023•盐亭县校级模拟）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：
时间
，
，
，
，
，
，
人数
10
36
34
10
6
4
（1）估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在，的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
【分析】（1）根据平均数的定义列式计算即可；
（2）求得的可能取值及对应概率，即可完成分布列，求得期望．
【解答】解：（1）由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为
，
所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为．
（2）由题意知该校学生每日使用手机的时间在，内的概率估计为，则，
所以，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





所以．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
47．（2023•平谷区模拟）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，年的植树成活率统计如表：（表中“”表示该年末植树）

2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
甲
95.5
92
96.5
91.6
96.3
94.6




乙
95.1
91.6
93.2
97.8
95.6
92.3
96.6



丙
97.0
95.4
98.2
93.5
94.8
95.5
94.5
93.5
98.0
92.5
规定：若当年植树成活率大于，则认定该年为优质工程．
（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；
（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以表示这3年中优质工程的个数，求的分布列；
（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？
【分析】（1）由古典概率的计算公式代入即可得出答案；
（2）求出的可能取值，分别计算出其概率，即可得出分布列；
（3）分别求出两个林场植树成活率平均数即可判断．
【解答】解：（1）乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，
从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件，
所以．
（2）甲林场植树共6年，其中优质工程有3年，
乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，
丙林场植树共10年，其中优质工程有5年，
则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
则的分布列为：

0
1
2
3





（3）不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小．
因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为，且．
则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为，，，
所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率，
所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小．
【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列，平均数的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
48．（2023•桃城区校级模拟）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值（其中：，得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：

质量指标值

或
等级
级
级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；
（2）从样本的级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在，的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个级零件的利润是10元，一个级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．
【分析】（1）根据百分位数在频率分布直方图表示的意义计算即可；
（2）先计算出零件为级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；
（3）设每箱零件中级零件有个，每箱零件的利润为元，运用期望知识求解利润．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值在250以下的产品所占比例为，
在300以下的产品所占比例为，
所以分位数一定位于区间，内，
所以，
即估计该产品的质量指标值的分位数为287.5；
（2）由频率分布直方图可知，样本的级零件个数为个，
质量指标值在，的零件为5个，
所以的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





故的期望；
（3）设每箱零件中级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
则，
由频率分布直方图可知，每箱零件中级零件的概率为，
所以级零件的概率为，
故，
所以，
所以（元．
即每箱零件的利润是4750元．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列与期望，同时考查了学生的运算能力，属于中档题．
49．（2023•莆田模拟）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵“比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立．甲镇代表队的最终得分记为，求．
参考数据：，，，，．
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；
（2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解．
【解答】解：（1）根据题意，得；
因为
，
同理，
所以


，
所以总样本的平均数为，方差；
（2）依题意可知，的所有可能取值为0，1，2，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，，2，3，
则，
所以，
，
，
所以．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
50．（2023•道里区校级一模）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．
（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．
①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；
②记摸出的红球个数为，求随机变量的分布列和数学期望．
（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．
【分析】（1）①设事件 “摸出的两个球中恰好有一个红球”，根据题意求解即可；
②可取0，1，2，，，1，2，计算对应概率，写出分布列和期望即可；
，，，
（2）设事件 “丁取到红球”，事件 “甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”，分别计算，（B），再结合条件概率公式计算即可．
【解答】解：（1）①设事件 “摸出的两个球中恰好有一个红球”，
（A），
②可取0，1，2，，，1，2，，，，
故的分布列为

0
1
2




；
（2）设事件 “丁取到红球”，事件 “甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”，
当甲乙丙三人取得1个白球，则丁取到红球概率为，
当甲乙丙三人取得2个白球，则丁取到红球概率为，
当甲乙丙三人取得3个白球，则丁取到红球概率为，
当甲乙丙三人取得3个红球，则丁取到红球概率为，
，
（B），
．
【点评】本题考查了离散型随机变量的应用，属于基础题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/1 18:03:40；用户：张羊利老师；邮箱：15015092009；学号：27523413