2023届数列大题热点50题训练（带解析） (1)

这是一份2023届数列大题热点50题训练（带解析） (1)，共62页。试卷主要包含了已知数列满足，，数列满足，已知数列的前项和为，且，已知数列的前项和为，，且，已知数列中，，且，设等比数列的前项和为，已知，且等内容，欢迎下载使用。
2023数列大题热点训练
一．解答题（共50小题）
1．（2023•聊城一模）已知数列满足，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2023•周至县二模）在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知为等差数列的前项和，若_____．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2022秋•南关区校级期末）已知数列是等差数列，记为的前项和，是等比数列，．
（1）求；
（2）记，求数列的前项和．
4．（2023•杭州模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求及数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．
5．（2023•温州模拟）已知是首项为1的等差数列，公差，是首项为2的等比数列，，．
（1）求，的通项公式；
（2）若数列的第项，满足_____（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
6．（2022秋•上城区校级期末）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和为．
7．（2023春•商丘月考）已知数列中，，且．
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
8．（2023春•十堰月考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）求实数的取值范围．
9．（2023•桃城区校级一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列，的前项和为，证明：．
10．（2023•新城区校级模拟）设等比数列的前项和为，已知，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．
11．（2023•江苏模拟）已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和．
12．（2023•太原模拟）已知等差数列中，，为的前项和，且也是等差数列．
（1）求；
设，求数列的前项和．
13．（2023春•湖北月考）已知数列的前项和为，且，_____．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．．
14．（2023•漳州模拟）已知为等差数列的前项和，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
15．（2023•新城区校级模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
16．（2023•抚州模拟）已知等差数列的前项和为，，．
（1）求与；
（2）在下列两个条件中选一个，求数列的前30项和．
①；②．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（2023•抚顺模拟）已知是等差数列的前项和，是等比数列的前项和，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（2023•浙江模拟）已知数列是以为公差的等差数列，，为的前项和．
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前项和．
19．（2023•河南模拟）已知等比数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20．（2022秋•龙凤区校级期末）设为数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．（2023•枣庄二模）已知数列的首项，且满足．
（1）证明：为等比数列；
（2）已知为的前项和，求．
22．（2023•广西模拟）记为等比数列的前项和．已知．
（1）求；
（2）设求数列的前项和．
23．（2023•铜仁市模拟）已知数列满足，．记．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求使成立的正整数的最大值．
24．（2023•昆明一模）已知数列的前项和为，，且满足．
（1）设，证明：是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
25．（2023春•番禺区校级月考）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足的前项和为，求证：．
26．（2023•广陵区校级模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求．
27．（2023•高新区校级模拟）记为数列的前项的和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，试求除以3的余数．
28．（2023春•浙江月考）已知数列是公比大于0的等比数列，，其前4项的和为120．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）记，求数列前项和．
29．（2023春•浙江月考）已知数列，满足，，，．
（Ⅰ）求出数列，的通项公式．
（Ⅱ）证明：对任意的，．
30．（2023•邢台模拟）已知数列的前项和为，满足．
（1）求；
（2）令，证明：，．
31．（2022秋•宣城期末）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题．
问题：若，且 _____，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
32．（2023•江宁区一模）设为数列的前项和，，对任意的自然数，恒有．
（1）求数列的通项公式；
（2）若集合，，，，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，计数列的前项和为．求的值．
33．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列是等差数列，其前项和为，，，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对数列，，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列的前2023项的和．
34．（2022秋•永州期末）设数列的前项之积为，且满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，证明：．
35．（2022秋•怀化期末）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，数列前项的和为，求．
36．（2023•汕头一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求表示不超过的最大整数）．
37．（2023•广东模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求证：当时，．
38．（2023•济宁一模）已知数列的前项和为，且满足：，．
（1）求证：数列为常数列；
（2）设，求．
39．（2023•禹王台区校级模拟）在各项均为正数的数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，的前项和为，证明：．
40．（2023•辽宁一模）等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求的最大值．
41．（2023•湖北模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，为等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和．
42．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求满足不等式的自然数的最小值．
43．（2022秋•慈溪市期末）记，，，，已知数列和分别满足：，．
（1）求，的通项公式；
（2）求．
44．（2023•福建二模）用表示最接近实数的整数，对数列，有：，，求．
45．（2023•湖南模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值．
46．（2022秋•龙凤区校级期末）已知等差数列的前项和为，首项为，．数列是等比数列，公比小于0，且，，数列的前项和为，
（1）记点，，，证明：在直线上；
（2）对任意奇数，恒成立，对任意偶数，恒成立，求的最小值．
47．（2023•宁波模拟）函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段．已知数列由定义．
（1）用表示，；
（2）若，记，求证：．
48．（2023•泗阳县校级模拟）设为等差数列的前项和，是正项等比数列，且，在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）求数列和的通项公式；
（2）如果，写出，的关系式，并求（1）（2）（3）的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
49．（2023•九江二模）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，记．
（1）求的通项公式；
（2）求前项和的最值．
50．（2023•和平区一模）已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）数列满足，记和分别为和的前项和，证明：．

2023数列大题热点训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．（2023•聊城一模）已知数列满足，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；
（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解．
【解答】解：（1），得，，
因为，即，解得，
由，得，，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，

，
当为奇数时，，
综上．
【点评】本题主要考查了数列的递推关系及数列求和方法的应用，属于中档题．
2．（2023•周至县二模）在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知为等差数列的前项和，若_____．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）在选择条件①的情况下根据题干已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式；在选择条件②的情况下先设等差数列的公差为，再结合等差数列的通项公式列出关于公差的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式；在选择条件③的情况下先设等差数列的公差为，再结合等差数列的前项和公式列出关于公差的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式．
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）方案一：选择条件①
由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，．
方案二：选择条件②
由题意，设等差数列的公差为，
则


，
解得，
，．
方案三：选择条件③
由题意，设等差数列的公差为，
则，
解得，
，．
（2）由（1）可得，



，
故


．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分类讨论，等差数列通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
3．（2022秋•南关区校级期末）已知数列是等差数列，记为的前项和，是等比数列，．
（1）求；
（2）记，求数列的前项和．
【分析】（1）利用是等差数列和是等比数列列方程组解出的值，由对数的运算性质可得等比，进而即可得的通项公式；
（2）由（1）得，令，则，进而可求数列的前项和．
【解答】解：（1）由题意得，所以①，
又是等比数列，
所以，
因为，所以②，
又，故由①②联立解得，
又是等差数列，所以为定值，即为定值，
故为等比数列，首项，公比，
所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以，
即是以1为首项，4为公差的等差数列，
令，则，
记的前项和为，
所以，
数列数列的前项和为．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等比数列的通项公式，并项求和法，属中档题．
4．（2023•杭州模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求及数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．
【解答】解：（1）由题意，当时，，解得，
当时，，
即，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）由（1）可得，，，
在 与 之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
则有，
，
，
，
，
两式相减，
可得

，
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的判定，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
5．（2023•温州模拟）已知是首项为1的等差数列，公差，是首项为2的等比数列，，．
（1）求，的通项公式；
（2）若数列的第项，满足_____（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．
①②．
【分析】（1）由是首项为1的等差数列，公差，是首项为2的等比数列，，，可得，，解得，，即可得出，．
（2）数列的第项，满足①由，化为，可得的前20项和，代入利用求和公式即可得出结论．
数列的第项，满足②，化为，同理可得的前20项和，代入利用求和公式即可得出结论．
【解答】解：（1）是首项为1的等差数列，公差，是首项为2的等比数列，，，
，，
解得，．
，．
（2）数列的第项，满足①．
则，化为，
则的前20项和．
数列的第项，满足②．
则，
，；，；，；，；，，．
则的前20项和．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2022秋•上城区校级期末）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和为．
【分析】（1）利用与的关系，分和讨论，得到数列为等比数列，即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用错位相减法即可求出数列的前项和为．
【解答】解：（1）因为，
当时，，解得，
当时，则有，
两式相减可得：，所以，
因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为；
（2）由可得：，
所以，
，
两式相减可得：
．
所以．
【点评】本题主要考查了数列的递推关系在数列项的求解中的应用，还考查了等比数列的通项公式，错位相减求和，属于中档题．
7．（2023春•商丘月考）已知数列中，，且．
（Ⅰ）证明：是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）由，可得，即可证明结论．
（Ⅱ）由可得，即，利用求和公式即可得出数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）证明：，
，
即，
又，
是等比数列，公比与首项都为．
（Ⅱ）由可得，
可得，
数列的前项和．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2023春•十堰月考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）求实数的取值范围．
【分析】（1）根据已知，利用公式求解．
（2）利用裂项相消法、作差法以及一元二次不等式进行计算求解．
【解答】解：（1）由题可知，所以，
当时，，
当时，，当时，也满足；
所以，．
（2）由（1）有：，所以，
因为数列的前项和为，所以，
因对一切恒成立，所以对一切恒成立，
令，由反比例函数的单调性可知，数列是单调递增数列，证明如下：
，所以，所以，
所以，解得或．
所以实数的取值范围是，，．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查裂项相消法求数列的前项的和，属中档题，
9．（2023•桃城区校级一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列，的前项和为，证明：．
【分析】（1）在中，分别令和，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而知，再利用的方法，求得，进而知；
（2）裂项求和得，再采用分析法，结合函数的单调性，即可得证．
【解答】（1）解：因为数列的前项和，
所以当时，，即，
当时，，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
因为，
所以当时，，
两式相减得，，
又时，，满足上式，
所以，
因为，所以．
（2）证明：，
所以，
所以，
要证，需证，需证，即证，
因为在上单调递增，
所以当时，取得最小值3，
所以恒成立，
故命题得证．
【点评】本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，裂项求和法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．（2023•新城区校级模拟）设等比数列的前项和为，已知，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．
【分析】（1）设等比数列的公比为，由，且，可得，，联立解得，，即可得出．
（2），利用求和公式即可得出数列的前项和为，再利用数列的单调性即可证明结论．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为，，且，
，，
联立解得，，
．
（2）证明：，
数列的前项和为，
数列为单调递增数列，
当时，，
因此结论成立．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（2023•江苏模拟）已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和．
【分析】（1）根据等比数列基本量的运算可得，，即可得数列的通项公式；
（2）由题可得，然后利用错位相减法求解即可；或利用裂项相消法求和即得．
【解答】解：（1），
，，
解得，
；
（2）由题可知，
，
，
两式相减可得：，
．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，错位相减法求和，属中档题．
12．（2023•太原模拟）已知等差数列中，，为的前项和，且也是等差数列．
（1）求；
设，求数列的前项和．
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据是等差数列，可得，可得，解得，即可得出．
（2）由（1）可得，可得，利用裂项求和方法即可得出结论．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
是等差数列，
，
又，
，
解得，
．
（2）由（1）可得，
，
数列的前项和．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（2023春•湖北月考）已知数列的前项和为，且，_____．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．．
【分析】首先由，可得为首项为，公差为1的等差数列．
（1）当选①②时，代入，可得数列的通项公式，若选③，由可得数列的通项公式；
（2）由（1）可知，则，后利用错位相减法可得答案．
【解答】解：（1），
，，
数列是首项为，公差为1的等差数列，
若选①：由，得，即，
解得．，
即数列的通项公式为；
若选②：由，，成等比数列，得，
解得，；
若选③：，解得，
；
（2），，
，
，
两式相减得：，
．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，错位相减法求和，化归转化思想，属中档题．
14．（2023•漳州模拟）已知为等差数列的前项和，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造方程组求得，，进而得到；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，
．
（2）由（1）得：，
，

．
【点评】本题主要考查数列的求和，考查等差数列的通项公式，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（2023•新城区校级模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）由已知可得，可得数列是等差数列；
（2）由（1）知数列为等差数列，而为等比数列，利用错位相减法能求出数列的前项和．
【解答】解：（1）证明：由①，
得②，
①②得，
，
数列的各项均为正数，
，，
当时，可得，解得或（舍去），
数列是以为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）知，，
，①
，②
错位相减，②①，得：



，
【点评】本题考查数列的通项公式和数列的前项和的求法，解题时要认真审题，注意因式分解和错位相减法的合理运用，属中档题．
16．（2023•抚州模拟）已知等差数列的前项和为，，．
（1）求与；
（2）在下列两个条件中选一个，求数列的前30项和．
①；②．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）由条件得出与的方程组求解，即可由公式法得出结果；
（2）①由裂项相消法求和，②由分组求和法求和．
【解答】解：（1）由得①，
由得②，
联立①②解得，，
；
（2）选①，，
数列的前30项和为：
；
选②，，
数列的前30项和为：
．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，裂项求和法的应用，属中档题．
17．（2023•抚顺模拟）已知是等差数列的前项和，是等比数列的前项和，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【分析】（1）利用等差、等比数列的通项公式求得公差和公比，即可得解；
（2）由等差数列的前项和公式，推出，再采用裂项求和法，即可得解．
【解答】解：（1）因为，
所以，即，
设数列的公差为，数列的公比为，
则，解得，，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
因此，
所以．
【点评】本题考查数列的通项公式与前项和公式，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（2023•浙江模拟）已知数列是以为公差的等差数列，，为的前项和．
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前项和．
【分析】（1）由，可得，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
（2）由题可得，．后由是以为公差的等差数列，可得数列是以为首项．4为公比的等比数列，可求得数列的通项公式，后由分组求和法可得的前项和．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以，
所以，
则数列的通项公式为．
（2）因为数列是以首项为，公比为4等比数列，
所以．
因为数列是等差数列，所以，
化简得．
因为，所以，即，
所以．
因为，所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，
所以，
所以，
则数列的前项和为：．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及前项和公式，等比数列的求和公式，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2023•河南模拟）已知等比数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）数列是等比数列，设公比为，由且，时，，化简代入，与，联立即可得出，，，．
（2）．利用错位相减法即可得出数列的前项和．
【解答】解：（1）且，
时，，
化为，
数列是等比数列，设公比为，
时也成立，，
而时，，，
联立解得，，公比，
．
（2）．
数列的前项和，
，
相减可得：，
化为．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（2022秋•龙凤区校级期末）设为数列的前项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）利用，可得数列是首项为2，公差为4的等差数列，再由等差数列的通项公式，得解；
（2）裂项可得，再分为偶数和奇数两种情况，结合分组求和法，讨论得解．
【解答】解：（1）由，知，
两式相减得，，整理得，
因为，所以，
令，则，解得，
所以数列是首项为2，公差为4的等差数列，
故．
（2）由（1）知，，
所以，
当为偶数时，

；
当为奇数时，，
综上，．
【点评】本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握利用求通项公式的方法，分组求和法是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（2023•枣庄二模）已知数列的首项，且满足．
（1）证明：为等比数列；
（2）已知为的前项和，求．
【分析】（1）由，变形为，即可证明结论．
（2）由（1）可得：，可得，为奇数时，；为偶数时，．分组求和即可得出．
【解答】解：（1）证明：，
变形为，
，
为等比数列，首项为1，公比为．
（2）由（1）可得：，
，
为奇数时，；
为偶数时，．
．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．（2023•广西模拟）记为等比数列的前项和．已知．
（1）求；
（2）设求数列的前项和．
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题目条件列方程组求解即可；
（2）由题意可得，然后利用分组求和法求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得，
；
（2）由题设及（1）可知：
当为奇数时，，
当为偶数时，，
，




．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，方程思想，分类讨论思想，属中档题．
23．（2023•铜仁市模拟）已知数列满足，．记．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求使成立的正整数的最大值．
【分析】（1）变换得到，计算得到证明，根据，利用累加法计算得到答案．
（2）确定，计算，得到，解得答案．
【解答】解：（1）证明：，
，，
，
又，解得，，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，，，，
将以上个式子累加，得，
即，
所以；
（2），，
，
，
，，
为，，
满足题意的正整数的最大值为3．
【点评】本题考查等比数列的定义与通项公式的应用，累加法求数列的通项公式，不等式思想，属中档题．
24．（2023•昆明一模）已知数列的前项和为，，且满足．
（1）设，证明：是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【分析】（1）由题设可得，整理变形得，结合等比数列定义即可证结论；
（2）根据，的关系求通项公式，进而可得，在上放缩，结合裂项求和证结论．
【解答】证明：（1）由题设，，则，
所以，即，而，
故是首项与公比都为的等比数列；
（2）由（1），即，
当时，，
显然满足上式，
所以，则，
则，又时，
所以，
又因为，
故．
【点评】本题主要考查了等比数列的定义，考查了，的关系，以及利用放缩法证明不等式，属于中档题．
25．（2023春•番禺区校级月考）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足的前项和为，求证：．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；
（2）利用裂项相消求和即可．
【解答】解：（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，
又，可得方程组，即，
又，解得，故．
（2）证明：，
所以


，
因为，所以．
所以．
【点评】本题考查数列的通项公式和前项和的求法，还考查了等比数列的性质，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
26．（2023•广陵区校级模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求．
【分析】（1）先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再将数列的通项公式与0比较大小并计算出对应的的取值范围，然后分和两种情况求的表达式，最后综合即可得到．
【解答】解：（1）由题意，当时，，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
（2）由（1）可得，


，
则令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
当时，
，




，
当时，




，
．
【点评】本题主要考查数列求通项公式，以及绝对值数列求和问题．考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列求和公式的运用，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
27．（2023•高新区校级模拟）记为数列的前项的和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，试求除以3的余数．
【分析】（1）由等差数列的通项公式和数列的递推式，计算可得所求通项公式；
（2）由等比数列的求和公式和二项式定理，结合整除概念可得所求余数．
【解答】解：（1）由，是公差为的等差数列，可得，
即，
则时，，
当时，符合上式，
所以，；
（2），
则数列的前项和为，
，
所以除以3的余数为2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及二项式定理的应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
28．（2023春•浙江月考）已知数列是公比大于0的等比数列，，其前4项的和为120．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）记，求数列前项和．
【分析】设等比数列的公比为，，其前4项的和为120，利用通项公式与求和公式可得关于，的方程组，解得，，可得．
（Ⅱ），可得，利用求和公式可得数列前项和．
【解答】解：设等比数列的公比为，，其前4项的和为120，
，，
解得，
．
（Ⅱ），
，
数列前项和．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
29．（2023春•浙江月考）已知数列，满足，，，．
（Ⅰ）求出数列，的通项公式．
（Ⅱ）证明：对任意的，．
【分析】（Ⅰ）由，，可得，可得数列是等差数列，可得，进而得出．
（Ⅱ）设数列的前项和为，利用错位相减法即可得出，时，只要证明即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ），，
，即，
数列是等差数列，，，公差，
．
．
（Ⅱ）证明：设数列的前项和为，
则，
，
相减可得，
化为，
时，，
对任意的，．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
30．（2023•邢台模拟）已知数列的前项和为，满足．
（1）求；
（2）令，证明：，．
【分析】（1）利用，结合条件可得，再利用等差数列的求和公式计算即可．
（2）结合（1）可知，利用放缩，再结合裂项相消求和即可证明．
【解答】解：（1）因为，
所以由，
可得，
所以，，
即，
即．
（2）证明：，当时，．
当时，，
故．
综上，，．
【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
31．（2022秋•宣城期末）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题．
问题：若，且 _____，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
【分析】（1）根据等比中项性质，结合等差数列通项公式得，再求通项公式即可；
（2）根据题意求得，再根据错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
即，
解得或（舍去），又，
所以数列的通项公式为．
（2）解：选①，由，，
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，，
两式相减得，
所以．
选②，由，，
当时，，
所以，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，
所以，则，
所以，，，
两式相减得，
所以．
选③，由，，得，又，
所以，
所以是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以．
当时，，当时等式也成立，
所以，则，
所以，，，
两式相减得，
所以．
【点评】本题主要考查等差数列的与等比数列的综合，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
32．（2023•江宁区一模）设为数列的前项和，，对任意的自然数，恒有．
（1）求数列的通项公式；
（2）若集合，，，，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，计数列的前项和为．求的值．
【分析】（1）分别求得，，将换为，，两式相减，结合等差数列的判断和通项公式，可得所求；
（2）分析集合，中的公共元素，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1），对任意的自然数，恒有，
可得时，，解得；
时，，解得；
时，，解得．
当时，变为，
两式相减可得，
当时，上式变为，
上面两式相减可得，
且，
所以数列是首项为3，公差为4的等差数列，可得；
（2）集合，，，，
集合中的所有元素的最小值为3，且3，27，243三个元素是中前102项中的元素，
且是中的元素，
所以．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
33．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列是等差数列，其前项和为，，，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对数列，，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列的前2023项的和．
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，利用通项公式与求和公式可得关于与的方程组，解得，，即可得出．根据数列满足，可得时，，
相减化简整理可得．
（2）时，与之间插入即个2，时，与之间插入即个2，，时，在与之间插入个2，此时共有项，在的后面再插入个2即可．利用求和公式即可得出数列的前2023项的和
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，，
，，
解得，
．
数列满足，
时，，
相减可得：，
又，
，
时，，，解得，满足，
．
（2）时，与之间插入即个2，时，与之间插入即个2，，时，在与之间插入个2，
此时共有项，在的后面再插入个2即可．
数列的前2023项的和．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
34．（2022秋•永州期末）设数列的前项之积为，且满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，证明：．
【分析】（1）法一：根据，得到，变形后得到，证明出结论，并求出通项公式；
法二：由题目条件得到，得到以3为首项，以2为公差的等差数列，求出，进而求出，并证明出数列是等差数列；
（2）利用放缩法得到，裂项相消法求和，得到．
【解答】证明：（1）方法一：当，得，
当时，①，②，
两式相除可得：，
即，又，
故，
变形为：，
因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列．
所以，
化简可得．
法二：因为，，
所以，
即，
令，则，，
所以以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以，即，
所以．
又因为满足上式，
所以，
所以，故，
故数列是等差数列．
（2），，
因为，
所以．
【点评】本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
35．（2022秋•怀化期末）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，数列前项的和为，求．
【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时减1，可证明等比数列；
（2）利用错位相减法求和即可．
【解答】（1）证明：由，得，
即，即，
所以数列为等比数列，首项，公比．
（2）解：由（1）得，
，
①，
②，
①②，得
，
．
【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用错位相减法求前项和问题，考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
36．（2023•汕头一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求表示不超过的最大整数）．
【分析】（1）由时，，结合对数的运算和等比数列的通项公式，可得所求；
（2）求得，进而得到，结合不等式的性质和的定义，可得所求值．
【解答】解：（1）为正项数列的前项的乘积，且，，
可得时，，
即为，
两边取3为底的对数，可得，
即为，
所以，
则，对也成立，
所以，；
（2），
数列的前项和为
，
所以，
又，
所以．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，以及数列的分组求和、不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
37．（2023•广东模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求证：当时，．
【分析】（1）由，可得时，，相减即可得出，时，；时，，即可得出．
（2）时，，时，，利用求和公式即可得出当时，数列的前项和，结合分析法、数列的单调性即可证明结论．
【解答】解：（1），
时，，
相减可得：，可得，
时，．
时，，
时，上式不满足，
．
（2）证明：时，，
时，，
当时，数列的前项和为

，
要证明当时，，
即证明当时，，
令，
时，（3）成立，
而单调递增，因此当时，成立，
即当时，．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、分析法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
38．（2023•济宁一模）已知数列的前项和为，且满足：，．
（1）求证：数列为常数列；
（2）设，求．
【分析】（1）根据题意转化可得，从而即可证明；
（2）先求出数列的通项，再利用错位相减法，即可求解．
【解答】解：（1）证明：，
，，
两式相减得：，
，
，
，，
又，，上式也成立，
数列为常数列；
（2）由（1）得，
，
，
，
两式相减得
，
．
【点评】本题考查错位相减法求和，化归转化思想，属中档题．
39．（2023•禹王台区校级模拟）在各项均为正数的数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，的前项和为，证明：．
【分析】（1）由，因式分解为，根据，，即可得出，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）：，利用裂项求和方法可得的前项和，利用数列的单调性，即可证明结论．
【解答】解：（1），
，
又，，
，
数列为等比数列，公比为2，首项为2，
．
（2）证明：，
的前项和，
可得数列单调递增，
，
即成立．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、对数运算性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
40．（2023•辽宁一模）等差数列的首项，公差，数列中，，，，已知数列为等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，求的最大值．
【分析】（1），，，根据数列为等比数列，设公比为，可得，，解得，进而得出结论．
（2）由（1）可得，可得，研究其单调性，即可得出最大值．
【解答】解：（1），，，
数列为等比数列，设公比为，
，，
解得，
，
，
，
．
（2）由（1）可得：，
．
令，
则
，
时，（2）（1）；
时，（3）（2）；
时，．
（3），（4），
因此时，取得最大值．
的最大值为28．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
41．（2023•湖北模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，为等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和．
【分析】（1）根据等差数列的性质建立方程，根据数列递推关系得到是等差数列，然后求出首项和公差即可．
（2）根据基本不等式性质，求出满足条件的元素个数，根据等差数列的前项和公式进行求解即可．
【解答】解：（1），，为等差数列，
，且，
当时，，可得；
当时，，
则，
由，故，
所以是首项为1，公差均为1的等差数列，故．
（2）由，即，即，
因为，当且仅当时成立，所以，，
当，因为，
，
所以能使成立的的最大值为，
所以，
所以的前50项和为．
【点评】本题主要考查递推数列应用，根据等差数列的性质，建立方程，求出首项和公差是解决本题的关键，是中档题．
42．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求满足不等式的自然数的最小值．
【分析】（1）根据数列递推关系，构造一个等差数列，然后根据等差数列，等比数列的通项公式进行求解即可．
（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法进行求解即可．
【解答】解：（1），
当时，，可得；
当时，，
则，
由，故，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，故．
设等比数列的公比为，
则，
．
，得，
即，
得或（舍，
则．
（2）设，
则，
则数列是一个单调递增数列，
，，则满足的的最小值为8．
【点评】本题主要考查递推数列的应用，根据等差等比数列的通项公式，以及利用分组求和法进行求和是解决本题的关键，是中档题．
43．（2022秋•慈溪市期末）记，，，，已知数列和分别满足：，．
（1）求，的通项公式；
（2）求．
【分析】（1）由，，利用递推关系即可得出，．
（2），利用错位相减法、求和公式即可得出结论．
【解答】解：（1），，
时，，．
时，，，满足上式，
，．
（2）．
，
，
相减可得：，
化为：，即．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
44．（2023•福建二模）用表示最接近实数的整数，对数列，有：，，求．
【分析】由已知得，进而平方可得，进而可得，利用，可得，可得结论．
【解答】解：由，得，，
，，
，，
，，


，
故．
【点评】本题考查递推公式的应用，考查放缩法的应用，属中档题．
45．（2023•湖南模拟）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值．
【分析】（1）依题意构造与的方程，与已知方程作差求解结果；
（2）由解出的范围，得到，进行数列求和与2023比较大小即可得到结果．
【解答】解：（1）依题意，①
当时，，②．
①②两式相减得，即，
因为，所以，即，
所以是公差为1的等差数列，
又，故数列的通项公式为．
（2）依题意，即，因为，，，
所以满足不等式的正整数个数为，即，
，
因为，所以单调递增，
当时，，
当时，，
所以的最小值为11．
【点评】本题主要考查数列递推式，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
46．（2022秋•龙凤区校级期末）已知等差数列的前项和为，首项为，．数列是等比数列，公比小于0，且，，数列的前项和为，
（1）记点，，，证明：在直线上；
（2）对任意奇数，恒成立，对任意偶数，恒成立，求的最小值．
【分析】（1）利用等差数列及等比数列通项公式的求法求出数列及数列的通项公式，然后求出数列的前项和即可得证；
（2）分为奇数和偶数两种情况求出、的范围，然后求解即可．
【解答】（1）证明：已知等差数列的前项和为，首项为，，
则，
即，
即，
则，
又数列是等比数列，公比小于0，且，，
则，
即，
又，
则，
则，，
则，
又点，，，
则，
即在直线上；
（2）解：当为奇数时，，
又对任意奇数，恒成立，
，
又当时，取最大值，
即，
当为偶数时，，
又对任意偶数，恒成立，
，
又当时，取最小值，
即，
则，
即的最小值为．
【点评】本题考查了等差数列及等比数列通项公式的求法，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题．
47．（2023•宁波模拟）函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段．已知数列由定义．
（1）用表示，；
（2）若，记，求证：．
【分析】（1）由已知结合斜率公式列式求，；
（2）由折线的斜率相等列式可得，则，再由数列的分组求和及错位相减法证明结论．
【解答】解：（1）由题意可得，，，
解得：，；
证明：（2）当时，由，得，
，则，
，
令，
则，
，
，
则．
【点评】本题考查数列与函数的综合，考查错位相减法求数列的前项和，考查运算求解能力，是中档题．
48．（2023•泗阳县校级模拟）设为等差数列的前项和，是正项等比数列，且，在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）求数列和的通项公式；
（2）如果，写出，的关系式，并求（1）（2）（3）的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据所选条件得到方程，求出、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到、的关系，从而得到，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得．
【解答】解：（1）若选①，，
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得或（舍去），
则，．
若选②，，
设等差数列的公差为，等比数的公比为．
因为，所以，解得，
所以．
又因为，所以，
解得，所以．
若选③，，
设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
因为，，
则，解得，
则，．
（2）因为，
所以，即，即，
所以
．
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，求和公式的综合应用，属于中档题．
49．（2023•九江二模）已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，记．
（1）求的通项公式；
（2）求前项和的最值．
【分析】（1）求出数列的首项与公差，然后求解通项公式即可．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，推出数列前项和的最值即可．
【解答】解：（1），，
，，成等比数列，，
即，
化简得，
由解得或（舍去），
．
（2）由，
可知

，
设的前项和为，

，
当为偶数时，，单调递增，，
当为奇数时，，单调递减，，
前项和的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法，数列的应用，是中档题．
50．（2023•和平区一模）已知数列为首项的等比数列，且，，成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）数列满足，记和分别为和的前项和，证明：．
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式与求和公式、中项性质，解方程可得公差、公比，进而得到所求；
（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和；
（3）分别由等比数列的求和公式、数列的错位相减法求和，结合不等式的性质，可得证明．
【解答】解：（1）数列为首项的等比数列，设公比为，
由，，成等差数列，可得，
即为，即，解得，
则；
数列为首项的单调递增的等差数列，设公差为，
由，，成等比数列，可得，
即为，解得，
则；
（2）因为，
所以
；
（3）证明：，
则，
，
，，
上面两式相减可得
，
化简可得，
则，
所以．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和与错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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