2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题12 解三角形（解析版）

专题12 解三角形

一、单选题

1．（四川省南充市2023届高三三模文科数学试题）在中，角的对边分别是，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由余弦定理即可求解.

【详解】由得，所以，

由于,

故选：A

2．（湖南省邵阳市2023届高三三模数学试题）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为（    ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】作△ABC，连接，易知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，结合已知求，即可确定的边长.

【详解】如图，连接，由题设，

因为以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，

所以，，故.

故选：B.

二、多选题

3．（重庆市2023届高三三模数学试题）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（    ）

A．a，b， B．，，

C．a，， D．，，b

【答案】ACD

【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.

【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；

法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；

对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；

对于C项，由正弦定理可知，即C正确；

对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；

故选：ACD.

三、填空题

4．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）已知内有一点，满足，则___________.

【答案】/

【分析】先用已知角表示出，然后利用正弦定理可解.

【详解】如图，易知，

又

所以

则由正弦定理得，解得

故答案为：

5．（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2023届高三三模数学试题）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝_____________．

【答案】

【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出的长度.

【详解】由题意，

在中，，，

由正弦定理，，

∵，

∴，

连接如下图所示，

在中，

由余弦定理， ，

又，

∴，

∴．

故答案为：.

四、解答题

6．（贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A的大小；

(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；

（2）由AD是△ABC的角平分线，可得，从而可求出，进而可求出三角形的面积.

【详解】（1）因为

所以根据正弦定理得：

即

由余弦定理得：

故

又

所以．

（2）因为AD是△ABC的角平分线，由，

得：，

所以

故．

7．（贵州省黔西南州金成实验学校2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，△ABC的面积为，求的值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】(1)利用正弦定理和两角和的余弦公式求解；

(2)利用面积公式和余弦定理求解.

【详解】（1）由已知及正弦定理得，

∵

∵，

∵ ∴.

（2）∵  ∴,

又∵  ∴,

所以．

8．（东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：

①，其中为的面积，②，③．

在中，角，，对应边分别为，，，_______________．

(1)求角；

(2)若为边的中点，，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；

选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；

选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解.

（2）在中，设，由正弦定理可得，，进而得到，进而求解.

【详解】（1）选①，由余弦定理得：，

又，所以，

得，

因为，所以．

选②，因为，由正弦定理得：，

整理得：，

由余弦定理得：，

因为，所以．

选③，因为，由正弦定理得：，

即，

又因为，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，即．

（2）在中，设，

由正弦定理得，

所以，，

∴，其中，

当时取等号，所以的最大值是．

9．（重庆市2023届高三三模数学试题）已知的内角、、的对边分别为、、，．

(1)求；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将切化弦，再由差角公式得到，利用正弦、余弦定理将角化边，即可得证；

（2）由余弦定理及（1）的结论得到，即可得到三角形为等腰三角形，利用二倍角公式公式求出，再由诱导公式计算可得.

【详解】（1）因为，

所以，所以，

即，

由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

所以，

即，

所以.

（2）由题意可知，又，可得，

所以，即为等腰三角形，

由，解得或，

因为，所以，所以，

所以.

10．（湖南省三湘名校教育联盟2021届高三下学期第三次大联考数学试题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.

（1）若a=，c=，求b的值；

（2）若角A的平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.

【答案】（1）b=4；（2）.

【分析】（1）由求出，再根据余弦定理可求出；

（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.

【详解】（1）因为tanA=，且，所以， 所以cosA=，

由余弦定理得，所以，

所以，

解得b=4或b=﹣1(舍)，

（2）因为，所以，所以，所以，

因为∠CAD=∠BAD，所以，即，

又因为a=2，由余弦定理得，

解得，

所以，

所以.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.

11．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）已知向量，.设.

(1)求函数的最小正周期；

(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；

（2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a.

【详解】（1）由题意，

，

因此函数的最小正周期为；

（2）由得，

因为，所以，解得，

因为，所以,

由余弦定理解得,

所以.

12．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知．

(1)证明：；

(2)求的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意得，根据，则，构造函数根据导数得，则.

（2）由结论（1）得，结合正弦定理则有，

化简得，解出并检验，最后再利用面积公式即可.

【详解】（1）因为，所以，即，则，

因为，

，, ， ，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以

令，则，

因为，所以在上单调递减，

所以由得，即成立

（2）因为，所以

所以

由正弦定理得，且，所以

因为

所以由得

化简得

因为，所以

所以由得或（舍去），

，

所以.

13．（吉林省实验中学2021-2022学年高三上学期第一次诊断测试文科数学试题）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.

(1)求角B的大小；

(2)若，，且，求a.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知条件，运用余弦定理化简可求出；

（2）由可求出，利用诱导公式和两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理即求.

【详解】（1））∵且，

∴，

∴，

∴，∵，

∴.

（2）∵，

∴，∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

又∵，，，

∴.

14．（陕西省安康市2023届高三三模理科数学试题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.

(1)求；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用诱导公式或者直接展开计算，再根据倍角公式化简即可；

（2）利用正弦定理进行角化边，再根据余弦定理求出c边，最后利用正弦定理的三角形面积公式计算即可.

【详解】（1），

（或

，∴，

∵，∴，∴或，

解得或，∵，∴，∴.

（2）由（1）知，，

由正弦定理得，

由余弦定理得，即，

整理得，

由得，

∴.

15．（新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2023届高三三模数学（理）试题）在中，角，，的对边分别为，，，且.

(1)求大小；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理可得，再由正弦定理得，结合三角形内角性质求角的大小可得答案；

（2）应用正弦边角关系及三角形面积公式可得再由的范围可得答案.

【详解】（1）由余弦定理得，即，

再由正弦定理得，∴，

∵，∴，又，∴；

（2）由正弦定理得即，

而，

由为锐角三角形，∴且，则，

∴，即.

16．（四川省凉山彝族自治州2023届高三第三次诊断性检测数学（文）试题）设的内角的对边分别为，已知的面积为．

(1)求；

(2)延长至,使，若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由余弦定理和三角形的面积公式化简得到，求得，即可求解；

（2）设，可得，由余弦定理化简得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）解：由余弦定理可得，

因为的面积为，可得，

又因为，所以，即，

因为，所以.

（2）解：如图所示，因为，设，则，

由余弦定理可得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．

17．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）使用三角恒等变换及余弦定理化简得；

（2）结合及正余弦定理可求的值.

【详解】（1）因为，

所以.

所以.

根据余弦定理，得，

所以.

所以.

所以a，b，c成等比数列.

（2）由余弦定理，得.

因为，所以由正弦定理，得.

所以.

所以.

18．（山西省晋中市2023届高三三模数学试题（A卷））锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求A；

(2)若b+c=6，求BC边上的高AD长的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，利用两角和差公式及三角形性质化简，分类讨论，求解即可；

（2）利用余弦定理求得，通过等面积法建立高AD的函数，利用基本不等式及二次函数求最值即可.

【详解】（1）因为，

所以，

又

，

所以，

所以，

所以或，

若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，

从而，则，

又，所以；

（2）由（1）知，

化简得，

因为，所以，

所以，

又，所以，当且仅当时取等号，

所以，

所以，故长的最大值为.

19．（湖南省邵阳市2023届高三三模数学试题）如图所示，D为外一点，且，，

(1)求sin∠ACD的值；

(2)求BD的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理求出边的长，用勾股定理得出边的长，即可求出sin∠ACD的值；

（2）由正弦定理求出与的关系，由余弦定理即可求出BD的长.

【详解】（1）由题意，

在中，，，，

由余弦定理得，，

.

.

在中，，，

，

.

（2）由题意及（1）得，

在中，由正弦定理得，.

∴，且.

又，

∴，

∴.

在中，，，

由余弦定理得，，

∴，

∴.

20．（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．

(1)求B；

(2)已知D为的中点，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.

（2）利用向量得到，从而利用数量积运算法则得到，从而得解.

【详解】（1），

，，

且，

，

两式相加得，

，即,

.

（2）因为D为的中点，所以，

所以，

，

代入，得：，或（舍去）；

.

21．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）记的内角的对边分别为，已知为钝角，.

(1)若，求；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意及正弦定理得到，即，结合角的范围可得，又，即可求得；

（2），令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由，根据正弦定理得：，

由于，可知，即，

因为为钝角，则为锐角，即，

则，则.

由，得.

（2）

.

因为为锐角，所以，即，则，

设，则，

.

因为，则，从而.

由此可知，的取值范围是.

22．（湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测（一）数学试题）在中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.

(1)证明：；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换的知识证得.

（2）转化为只含的三角函数的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数求得的取值范围

【详解】（1）依题意，由余弦定理得，

，由正弦定理得，

，，

，由于，所以，则

由于，所以，则，

所以或（舍去），

所以.

（2）由于，所以为锐角，即，

而，即.

，

令，，

，

所以在区间上，递增；

在区间上递减.

，

所以，

所以的取值范围是.