2022年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）（含答案解析）

2022年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）

1. 设复数，则复数z在复平面内对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设集合，若，则实数n的值为

A.  B. 0 C. 1 D. 2

3. 已知，则是

A. 奇函数且周期为 B. 偶函数且周期为
C. 奇函数且周期为 D. 偶函数且周期为

4. 若变量x，y满足约束条件则的最小值为

A.  B.  C. 3 D. 8

5. 从3位女生、3位男生中选3人参加辩论赛，则既有男生又有女生的概率为

A.  B.  C.  D.

6. 设点P是抛物线C：上的动点，F是C的焦点，已知点，若的最小值为，则C的方程为

A.  B.  C.  D.

7. 设函数，则满足的x的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 在正四棱锥中，点E是棱PD的中点．若直线PB与直线CE所成角的正切值为，则的值为

A. 1 B.  C. 2 D.

9. 在半径为2的球O的表面上有A，B，C三点，若平面平面ABC，则三棱锥体积的最大值为

A.  B.  C.  D.

10. 袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全做出了重大的贡献．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推．已知第一代至第四代杂交水稻的每穗总粒数分别为197粒，193粒，201粒，209粒，且亲代与子代的每穗总粒数成线性相关．根据以上信息，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为
    注：①亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代叫子代；
    ②，

A. 211 B. 212 C. 213 D. 214

11. 设函数的部分图象如图所示．若，则

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，，若只有两个零点，，则下列结论正确的是

A. 当时，，
B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，

13. 已知向量，若向量在向量方向上的投影为，则______.
14. 若直线与直线平行，其中a，b均为正数，则的最小值为______.
15. 已知，是双曲线的两个焦点，过作C的渐近线的垂线，垂足为若的面积为，则C的离心率为______.
16. 在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为______.
17. 将8株某种果树的幼苗分种在4个坑内，每坑种2株，每株幼苗成活的概率为若一个坑内至少有1株幼苗成活，则这个坑不需要补种，若一个坑内的幼苗都没成活，则这个坑需要补种，每补种1个坑需15元，用X表示补种费用．
    求一个坑不需要补种的概率；
    求4个坑中恰有2个坑需要补种的概率；
    求X的数学期望．
    
    
    
    
    
    
     
18. 设正项数列的前n项和为，已知
    求的通项公式；
    记，是数列的前n项和，求
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，四棱锥中，，，平面点M是PC的中点，且平面平面
    证明：平面PCD；
    求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．

20. 已知函数，，且直线是的切线．
    求a的值，并证明当时，；
    证明：当有
    
    
    
    
    
    
     
21. 在平面直角坐标系xOy中，，，，，点P是平面内的动点．若以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆T内切．
    证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；
    设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线QC、QD与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知点在曲线上．
    求动点的轨迹C的方程；
    过原点的直线l与中的曲线C交于A、B两点，求的最大值与最小值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知
    当时，求不等式的解集；
    若的解集包含，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：复数，
则，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为，
即复数z在复平面内对应的点在第一象限，
故选：
先由复数的运算和复数的几何意义即可得解．
本题考查了复数的运算，重点考查了复数的几何意义，属基础题．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：集合，
由，得，
则或舍去或舍去集合元素的互异性，
实数n的值为1，
故选：
用列举法表示B，由，得，结合集合中元素的互异性求得n值即可．
本题考查集合间的关系，考查交集及其运算，考查集合中元素的互异性，是基础题．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：，
故为奇函数，且最小正周期为
故选：
利用降幂公式进行化简，再通过三角函数相关性质判断奇偶性及周期即可求解．
本题考查了降幂公式在三角函数化简中的应用，考查了三角函数相关性质，属于基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，由，
得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：从3位女生、3位男生中选3人参加辩论赛，
选取的3人都为女生或都为男生的概率均为，
所以既有男生又有女生的概率为
故选：
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，以及对立事件概率和为1，属于基础题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：过P作C的准线的垂线，垂足为N，连接NQ，

由抛物线的定义，可得，则，
当H，P，A三点共线时，取得最小值，
所以，解得，
则抛物线的方程为；
故选：
由抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，可得所求方程；
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查指数函数，对数函数及其性质，属于基础题.
分类讨论，结合指数函数，对数函数的性质求解即可．
【解答】
解：当时，，可变形为，，

当时，，可变形为，，
，
则满足的x的取值范围是
故选  

8.【答案】C
 

【解析】解：由图，取正方形ABCD中心O，连接BD，OE，OP，OC，

因为为正四棱锥，
所以平面ABCD，所以，又因为ABCD为正方形，
所以，
因为，所以平面
所以，为直角三角形，
因为，所以直线PB与直线CE所成角即为直线OE与直线CE所成角，
即，
所以，即，
所以，所以，
故选：
通过平移线段找到直线PB与直线CE所成的角，通过证明为直角三角形，得到，从而得到线段的比值关系．
本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：作出如图三棱锥，，取AB中点D，连接DC，DO，则，

又平面平面ABC，平面平面，平面OAB，所以平面ABC，平面ABC，则，
又，，所以，，
所以，
所以，
，
要使三棱锥体积最大，则C到平面OAB的距离h最大，显然，
当时，平面平面，平面ABC，
所以平面OAB，此时，为最大值，

故选：
取AB中点D，可证明平面ABC得，由已知求得CD长，要使三棱锥体积最大，则C到平面OAB的距离h最大，显然，当时，，由此求得体积的最大值．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：设亲代代数x，子代的每穗的总粒数为y，
 则，，
，，
所以线性回归方程为，
当时，，
故预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为
故选：
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，将代入上式的线性回归方程中，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，即，结合图象可得
再结合五点法作图，可得，，
，即，
则，
故选：
由特殊点的坐标求出的值，由五点法作图求出，可得的解析式，再利用二倍角的余弦公式，求得的值．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由五点法作图求出，由特殊点的坐标求出的值，二倍角的余弦，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：根据题意可得，其中，
因为只有两个零点，，不妨设，
所以，
因为，则且，
由题意可得，则
由可得，
则，
当时，则，，，，AB均错；
当时，则，，，则，C错D对．
故选：
分析可知，其中，设，可得出，，然后分、两种情况讨论，可判断各选项的正误．
本题考查利用三次函数的零点判断函数值的符号，解题的关键在于将三次函数利用根的形式加以表示，根据对应系数相等的条件可得出关于、所满足的条件进行判断，同时要注意零点所满足的等式应用，属于中档题．
 

13.【答案】3
 

【解析】解：向量，，向量在向量方向上的投影为，
，解得
故答案为：
根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查向量的投影公式，考查计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】4
 

【解析】解：根据题意，若直线与直线平行，则有，变形可得；
又由a、b均为正数，则，当且仅当时等号成立，
即的最小值为4；
故答案为：
根据题意，由直线平行的判断方法可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查直线平行的判断，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
 

15.【答案】2
 

【解析】解：设双曲线的一条渐近线方程为，
点到渐近线的距离，即，
，的面积为，的面积：，，
，，则
故答案为：
计算的面积，得到的面积，结合点到直线的距离，转化求解b，推出c，即可得出双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，三角形的面积的应用，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图所示，
在与中，由余弦定理可得：
，
化为：，
由，可得，
，
，，
，，
，，
，
四边形ABCD的面积，
故答案为：
如图所示，在与中，利用余弦定理可得：A与C的关系，结合，及其倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出与，再利用三角形面积计算公式即可得出结论．
本题考查了余弦定理、诱导公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：一个坑不需要补种就是2株幼苗中至少有1株成活，所以其概率；
每坑要补种的概率，所以4个坑中恰有2个坑需要补种的概率；
设4个坑中需要补种的坑数为Y，则，
所以，
而，
故元．
 

【解析】利用对立事件概率公式求概率；
每坑要补种的概率，然后由独立重复试验的概率公式计算；
设4个坑中需要补种的坑数为Y，则，，由二项分布的期望公式计算可得．
本题考查了独立重复试验，二项分布的期望，属于中档题．
 

18.【答案】解：由，知当时，，
两式相减得，，
整理可得，，
因为，所以，即，
在中，令，则，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故
，
设
，
所以…………
……
 

【解析】利用可证数列是首项为1，公差为1的等差数列，得解；
根据余弦的周期性，可设，结合诱导公式，推出，再分组求和，即可．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，分组求和法，以及诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：连结AC，则，又，，所以
由平面ABCD，平面ABCD，得，又，AC，平面PAC，从而平面PAC，又平面PAC，
于是①
过C作，垂足为E，由平面平面PCD，
平面平面知平面AMD，而平面AMD，
于是
结合①得，又，CE，平面PCD，平面

解：由知，，且点M是PC的中点，所以
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面AMD的法向量为，
则，令，得
，设直线BM与平面AMD所成角为，
则
 

【解析】由面面垂直的性质定理得线面垂直从而得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得证结论；
建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
本题主要考查线面垂直的证明，线面角的计算，空间向量的应用等知识，属于中等题．
 

20.【答案】解：设切点的坐标为，
依题意有，解得，，
记，则，
所以在上单调递减，
故当时，，即，
记，
则，
当时，有，，
所以，
于是在是单调递增，故，
即
 

【解析】利用导数的几何意义列出关于切点切线的方程，求出参数，再构造函数利用导数证明不等式即可．
构造新函数后化简，利用导数研究函数单调性，从而证明不等式，本题需要重点关注定义域的使用．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程和不等式的证明，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
 

21.【答案】证明：依题意有，，
连结PN，

由点O和T分别是MN和PM的中点知，，
故有，即，
又，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
因为，，所以，
故点P的轨迹E的方程为；
假设存在满足条件的点Q，依题意知，，
设，，，
则，
由得，，
设l的方程为，代入椭圆方程得，，
由得，，由韦达定理得，，
又，，
所以
，
所以，
故有，解得，
显然满足，
所以在E上存在一点Q，使直线QC、QD与y轴所围成的三角形是以点Q为顶角的等腰三角形，
此时点Q的横坐标为
 

【解析】依据两圆相内切的性质去证明为定值，依据椭圆的定义去求点P的轨迹E的方程；
依据设而不求的方法去保证QC、QD为等腰三角形的两腰，且点Q在E上即可解决．
本题考查了动点的轨迹方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意，点在曲线上，可得，
令，可得，
设，，则，
即动点的轨迹C的方程
解：由题意，设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
要直线与曲线C交于A、B两点，则方程在上有两解，
设，可得，解得，
设，，则，，且
又由，
因为，
又因为，所以的最小值为1，最大值为
 

【解析】令，可得，求得，即可求得动点的轨迹C的方程；
设直线l的方程为，联立方程组得到，，根据题意转化为方程在上有两解，求得k的范围，结合，进而求得的最值．
本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：时，，
，
当时，，解得，
当时，，解得，无解，
当时，，解得，故，
综上，不等式的解集是或；
的解集包含，
故在上恒成立，
当时，，
故，
令，
时，，
故，
故，
，
，
的取值范围是
 

【解析】代入a的值，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；
问题转化为，令，求出的最大值，求出a的取值范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是中档题．