数学高一下期末复习-概率与统计（含解析）

统计概率

知识体系：

期末考情：（以2020-2021重庆七校联考为例）

知识清单：

统计概率

一、随机抽样

1.简单随机抽样：分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样

（1）特点：①总体的个体数有限；

②样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；

③在不放回简单随机抽样中，抽取的样本不放回，样本内无重复个体；

④每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性。

（2）简单随机抽样的方法：

a.抽签法：总体少，样本少；总体多，样本少

b.随机数表法：样本少

2.分层抽样：总体有明显差异（等比例抽样）。

3.简单随机抽样与分层抽样的对比

二、数据的数字特征

1.最值

一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值

2.平均数

(1)平均数的定义式：，简记为。

推论：如果的平均数为，且，为常数，则的平均数为。

(2)定义式的推广

如果是重复出现的，且出现了次，出现了次，……，出现了次，且，那么平均数

其中叫做出现的频数，叫做出现的频率，如果把出现的频率记为，那么，即一组数据的平均值等于每个数据与它出现的频率的乘积之和。

3.中位数

如果一组数有奇数个数，按照从小到大的顺序可以排列为，则称为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，按照从小到大的顺序可以排列为，则称为这组数的中位数。

4.众数

一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。

5.极差、方差与标准差

(1)极差

一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差。

(2)方差

一组数据设为，为这组数据的平均数，则称为这组数据的方差，也可以写成.

推论：

如果的方差为，且，为常数，则的方差为。

(3)标准差

对方差开平方，取它的算术平方根，称为这组数据的标准差。

6. 数据特征对比

三、频率分布直方图的数据特征

频率分布直方图中的每个小长方形的面积=组距=频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形面积之和为1，频率之和为1.

a.众数：小长方形面积最大的区间，用该区间的中点来作为样本众数的估计值。

b.平均数：数据与它的频率的乘积之和，在频率分布直方图中，每个区间对应的长方形面积等于样本数据落在该区间的频率。

c.中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应该相等。我们只需找到横轴上这样的一个点，满足直线左边的直方图面积为0.5，直线右边的直方图面积也为0.5，那么就是我们估计的样本中位数。

四、概率模型

1.古典概型

(1)古典概型特点

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

(2)概率计算公式

假设样本空间包含个样本点，如果一个事件包含有个样本点，得。

2.几何概型

(1)几何概型的特点为：①基本事件有无限多个；②基本事件发生是等可能的。

(2)概率计算公式

一般地，在几何区域内随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件，则事件发生的概率为

3.古典概型与几何概型的对比

期末押题：

一．单选题（共4小题）

1．数据0，1，3，4，5，6，8，9的第60百分位数为　　

A．6 B．5.5 C．5 D．4

2．现有5个数，其平均数是1，且这5个数的平方和是20，那么这组数的方差是　　

A． B． C．3 D．5

3．从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为　　

A． B． C． D．

4．已知和是随机试验中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是　　

A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立

二．多选题（共2小题）

5．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．渝北区的陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如图，则下列说法正确的是　　

A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差 

B．菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量 

C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值 

D．菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为，，则

6．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件 “第一次为奇数”， “第二次为奇数”， “两次点数之和为奇数”，则　　

A．（A）（B） B．与互斥 C．与相互独立 D．

三．填空题（共1小题）

7．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则为 　　．

四．解答题（共3小题）

8．我校后勤服务中心为监控学校稻香圆食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食常服务质量进行名评分，师生根据自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这50名师生对食堂服务质量的评分并绘制频率分布直方图．如图是根据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，，，，，．

（1）求频率分布直方图中的值并估计样本的众数：

（2）学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；

（3）我校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务情况．若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中评分在，之间的会给“差评”，评分在，之间的会给“中评”，评分在，之间的会给“好评”，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．

9．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐．为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区800名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，按照潜伏天数分组为，，，，，，，，，，，，，，，，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于6天的患者称为“短潜伏者”，潜伏期高于6天的患者称为“长潜伏者”．

（1）计算这800名患者中“长潜伏者”的人数；并求出这800名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，从上述800名患者中以潜伏期的长短为标准按照是否为“短潜伏者”、“长潜伏者”进行分层抽样抽取200人，得到如表表格．

①利用表格中所给数据，求出，的值；（只需求出，的值，不用说明理由）

②研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的60名患者中按分层抽样方法抽取6人做Ⅰ期临床试验，再从选取的6人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求抽取做Ⅱ期临床试验的两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．

10．一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张．

（1）求“抽取的卡片上的数字之和为5”的概率；

（2）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率．

参考答案与试题解析

一．单选题（共4小题）

1．【解答】解：数据0，1，3，4，5，6，8，9，共8个数据，，

第60百分位数是第5个数据，为5．

故选：．

2．【解答】解：设5个数为，，，则，

，

故选：．

3．【解答】解：从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，

基本事件总数，

恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数，

则恰好抽到一对夫妇的概率为．

故选：．

4．【解答】解：由题知，（C），因为（A）（B）（C），故错误；

因为，发生时一定发生，故错误；

因为，所以（A）（B），

又（A）（B），所以（A）（B），故正确；

因为，所以（A），由（A）（C），（A）（C），故错误．

故选：．

二．多选题（共2小题）

5．【解答】解：对于，菜鸟驿站一周的日收件量的极差为，

小兵驿站一周的日收件量的极差为，

所以菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差，故选项正确；

对于，菜鸟驿站星期三的日收件量为130，小兵驿站星期六的日收件量为160，

所以菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量，故选项正确；

对于，菜鸟驿站日收件量的平均值为167.14，小兵驿站的日收件量的平均值为98.57，

所以菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值，故选项正确；

由折线图的波动情况可以看出，菜鸟驿站的数据比较集中，相对平稳，小兵驿站的数据比较分散，波动相对较大，

所以菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为，，则，故选项错误．

故选：．

6．【解答】解：由题意可得（A），（B），

（A）（B），故正确；

事件，同时发生，两个事件不是互斥事件，故错误；

事件，互不影响，，互为相互独立事件，

则（C），

事件表示第一次为奇数且第二次为奇数，

，

与相互独立，故正确；

事件表示第一次或第二次为奇数，

它的对立事件为第一次和第二次都是偶数，

，故正确．

故选：．

三．填空题（共1小题）

7．【解答】解：由题意可得，，解得．

故答案：9．

四．解答题（共3小题）

8．【解答】解：（1）由，

解得，

众数的估计值为．

（2）由频率分布直方图鉴得师生对食堂服务质量评分的平均分为：

，

，

食堂不需要内部整顿．

（3）由频率分布直方图可知，“差评”的概率为，“中评”的概率为，“好评”的概率为，

则本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率．

9．【解答】解：（1）根据题意，“长潜伏者”即潜伏时间不低于6天的频率为0.5，

所以800人中，“长潜伏者”人数为人，

平均数，

（2）由题意补充后的表格如图：，，

由分层抽样知6人中，“短潜伏者”有2人，记为、，“长潜伏者”有4人，记为，，，，从中抽取2人，共有：

，，，，，，，，，，，，，，，共15种不同的结果，

两人中恰好有一人为“长潜伏者”包含了8种结果，

所以两人中恰好有一人为“长潜伏者”的概率为．

10．【解答】解：（1）将3张卡片有放回的抽取3次，每次抽1张，共有27个基本事件：

，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，，

，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，，

，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，3，，

记事件为“抽取的卡片上的数字之和为5”，

则共包含，1，，，2，，，3，，，1，，，2，，，1，，6个基本事件，

（A），

所以“抽取的卡片上的数字之和为5”的概率为；

（2）记事件为“抽取的卡片上的数字不完全相同”，

则其对立事件为“抽取的卡片上的数字完全相同”，其中包含，1，，，2，，，3，，3个基本事件，

所以（B）（C），

所以“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为．