2022-2023学年广东省广州市西关外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022学年第一学期高一年级期末阶段训练

数学学科

说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学号填写在答题卷上.

3．答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题巷交回，试卷自己保存.

一、单选题（共40分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，由交集的定义即可求解.

【详解】解：因集合，，

所以，即，

故选：B.

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】命题“”的否定是：.

故选：C

3. 已知是第三象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由是第三象限角可判断，利用平方关系即可求解.

【详解】解：因为是第三象限角，且，

所以，

故选：A.

4. 函数的零点所在的一个区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在性定理分析判断即可.

【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，

因为，

，

所以，

所以的零点所在的一个区间为，

故选：B

5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】A

【解析】

【分析】把函数由函数表示出，再结合图象平移求解作答.

【详解】依题意，，

所以把函数图象上所有的点向左平移个单位可以得到函数的图象，A正确.

故选：A

6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出指数式方程，利用指数与对数运算公式求出的值.

【详解】由题意得：，即，两边取对数，，解得：.

故选：C

7. 下列关于函数的说法正确的是（    ）

A. 最小正周期为

B. 图像关于点成中心对称

C. 在区间上单调递增

D 图像关于直线成轴对称

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．

【详解】解：函数，

当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；

函数的最小正周期为，所以A错误；

当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；

正切函数不是轴对称函数，所以D错误．

故选：B．

8. 若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ）

A. （1，3）； B. （2，3）；

C. ； D. ；

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据分段函数减函数的定义构造不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围.

【详解】在上为严格增函数，，解得.

即实数的取值范围是.

故选：D

二、多选题（共20分）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.

【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，

∴，∴，故选项A正确；

对于B，当，，，时，有，，

但此时，，，故选项B错误；

对于C，当，，时，有，，

但此时，，，故选项C错误；

对于D，∵，∴，∴，

∴，∴，

由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.

故选：AD.

10. 函数部分图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A. 直线是函数图像的一条对称轴

B. 函数的图像关于点对称

C. 函数的单调递增区间为

D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.

【详解】观察图象知，，函数的周期，有，

由得：，而，则，，

对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；

对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；

对于C，由得：，

则函数的单调递增区间为，C正确；

对于D，，D正确.

故选：BCD

11. (多选)下列式子结果为的是（    ）

A. tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B. 2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正切的和角公式变形可判断A；将转化为，结合正弦和角公式可判断；

将转化为结合正切和角、差角公式可判断C、D.

【详解】对于选项A，，

变形得，故A正确；

对于选项B，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·sin 25°)＝2sin 60°＝，故B正确；

对于选项C，原式＝＝tan 60°＝，故C正确；

对于选项D，原式＝＝，故D错误.

故选：ABC.

12. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ）

A. 该函数在定义域上是偶函数

B. 对定义域上任意实数，，且，都有

C. 对定义域上任意实数，，且，都有

D. 对定义域上任意实数，，都有

【答案】BC

【解析】

【分析】求出函数，可求得定义域不关于原点对称，从而可判断选项A；由函数为增函数，即可判断选项B；作差判断符合，即可判断选项C；计算与，即可判断选项D．

【详解】解：因为幂函数的图象经过点，所以，所以，

所以，定义域为,，为非奇非偶函数，故A错误；

由幂函数的性质可知在,上为增函数，所以对任意实数，,，不妨设，则，所以，，所以，故B正确；

任意实数，,，不妨设，则，又，所以，即，所以，故C正确．

，，所以与不一定相等，故D错误．

故选：BC．

三、填空题（共20分）

13. __________.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角函数诱导公式将所求角转化成锐角三角函数求解.

【详解】.

故答案为：.

14. 若函数定义域为，则函数的定义域为_______________

【答案】##

【解析】

【分析】解不等式即得解.

【详解】解：由题得.

故函数的定义域为.

故答案为：

15. 已知，则___________．

【答案】2

【解析】

【分析】将齐次式弦化切即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：2.

16. 已知，且，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】

分析】先应用基本不等式,再解一元二次不等式即可.

【详解】因为,应用基本不等式可得

即得,即,又因为,

所以,即,,当且仅当时, 取最小值25.

故答案为:.

四、解答题（共70分）

17. 已知集合.

（1）若求；

（2）若求的取值集合.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）求解集合，根据交集的定义计算；（2）由，可得，分别讨论为空集和不为空集两种情况下的范围，再求并集即为最终范围.

【详解】解：由，得，

解得，即

当时，，

故.

由，可得

当时，由，解得；

当时，可得，

解得

综上所述，的取值集合为.

18. 计算：

（1）；

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质进行求解；

（2）利用对数的运算性质和换底公式进行求解

【小问1详解】

【小问2详解】

19. （1）已知，．求的值：

（2）已知，且，，求角的值：

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用与的关系求解即可，注意角的范围和符号；（2）已知的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，求出的正弦值，需要根据的范围确定符号，然后利用，和两角和差公式求解即可.

【详解】（1）因为，两边平方得，

所以，又，所以，所以，

所以；

（2）因为，所以，

因为，所以，又，

所以，

所以

，

因为，所以.

20. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）当时，求函数的值域．

【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由三角函数的恒等变换化简得，即可得周期，解可得单调减区间；

（2）先求出的范围，结合正弦函数的图象即可求解

【小问1详解】

，

所以最小正周期为，

由，

得单调递减区间是；

【小问2详解】

当时，，

则，即时，有最小值为，

，即时，有最大值为，

所以此时的值域为．

21. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）

（1）求2023年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.

（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）；   

（2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.

【解析】

【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；

（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

当时，

；

当时，，

所以；

【小问2详解】

当时，，

所以；

当时，，

当且仅当，即时等号成立.

故，

所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.

22. 已知函数为奇函数.

（1）求实数a的值并证明是增函数；

（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.

【答案】（1），证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；

（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；

【详解】（1）因为是定义域为R奇函数，

由定义，所以

所以，

∴.

所以

证明：任取，

．

，．

，即．

在定义域上为增函数．

（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数

所以.

【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．