2022-2023学年广东省广州市西关外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市西关外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版），共15页。
2022学年第一学期高一年级期末阶段训练数学学科说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学号填写在答题卷上.3．答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题巷交回，试卷自己保存.一、单选题（共40分）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，由交集的定义即可求解.【详解】解：因集合，，所以，即，故选：B.2. 命题“”的否定是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“”的否定是：.故选：C3. 已知是第三象限角，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由是第三象限角可判断，利用平方关系即可求解.【详解】解：因为是第三象限角，且，所以，故选：A.4. 函数的零点所在的一个区间为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理分析判断即可.【详解】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，因为，，所以，所以的零点所在的一个区间为，故选：B5. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ）A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位【答案】A【解析】【分析】把函数由函数表示出，再结合图象平移求解作答.【详解】依题意，，所以把函数图象上所有的点向左平移个单位可以得到函数的图象，A正确.故选：A6. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意列出指数式方程，利用指数与对数运算公式求出的值.【详解】由题意得：，即，两边取对数，，解得：.故选：C7. 下列关于函数的说法正确的是（    ）A. 最小正周期为B. 图像关于点成中心对称C. 在区间上单调递增D 图像关于直线成轴对称【答案】B【解析】【分析】根据函数，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：函数，当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确；函数的最小正周期为，所以A错误；当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误；正切函数不是轴对称函数，所以D错误．故选：B．8. 若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ）A. （1，3）； B. （2，3）；C. ； D. ；【答案】D【解析】【分析】直接根据分段函数减函数的定义构造不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围.【详解】在上为严格增函数，，解得.即实数的取值范围是.故选：D二、多选题（共20分）9. 下列说法正确的是（    ）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选项A正确；对于B，当，，，时，有，，但此时，，，故选项B错误；对于C，当，，时，有，，但此时，，，故选项C错误；对于D，∵，∴，∴，∴，∴，由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.故选：AD.10. 函数部分图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）A. 直线是函数图像的一条对称轴B. 函数的图像关于点对称C. 函数的单调递增区间为D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像【答案】BCD【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.【详解】观察图象知，，函数的周期，有，由得：，而，则，，对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；对于C，由得：，则函数的单调递增区间为，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD11. (多选)下列式子结果为的是（    ）A. tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35° B. 2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】由正切的和角公式变形可判断A；将转化为，结合正弦和角公式可判断；将转化为结合正切和角、差角公式可判断C、D.【详解】对于选项A，，变形得，故A正确；对于选项B，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·sin 25°)＝2sin 60°＝，故B正确；对于选项C，原式＝＝tan 60°＝，故C正确；对于选项D，原式＝＝，故D错误.故选：ABC.12. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ）A. 该函数在定义域上是偶函数B. 对定义域上任意实数，，且，都有C. 对定义域上任意实数，，且，都有D. 对定义域上任意实数，，都有【答案】BC【解析】【分析】求出函数，可求得定义域不关于原点对称，从而可判断选项A；由函数为增函数，即可判断选项B；作差判断符合，即可判断选项C；计算与，即可判断选项D．【详解】解：因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以，定义域为,，为非奇非偶函数，故A错误；由幂函数的性质可知在,上为增函数，所以对任意实数，,，不妨设，则，所以，，所以，故B正确；任意实数，,，不妨设，则，又，所以，即，所以，故C正确．，，所以与不一定相等，故D错误．故选：BC．三、填空题（共20分）13. __________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数诱导公式将所求角转化成锐角三角函数求解.【详解】.故答案为：.14. 若函数定义域为，则函数的定义域为_______________【答案】##【解析】【分析】解不等式即得解.【详解】解：由题得.故函数的定义域为.故答案为：15. 已知，则___________．【答案】2【解析】【分析】将齐次式弦化切即可求解.【详解】解：因为，所以，故答案为：2.16. 已知，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】分析】先应用基本不等式,再解一元二次不等式即可.【详解】因为,应用基本不等式可得即得,即,又因为,所以,即,,当且仅当时, 取最小值25.故答案为:.四、解答题（共70分）17. 已知集合.（1）若求；（2）若求的取值集合.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求解集合，根据交集的定义计算；（2）由，可得，分别讨论为空集和不为空集两种情况下的范围，再求并集即为最终范围.【详解】解：由，得，解得，即当时，，故.由，可得当时，由，解得；当时，可得，解得综上所述，的取值集合为.18. 计算：（1）；（2）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质进行求解；（2）利用对数的运算性质和换底公式进行求解【小问1详解】【小问2详解】19. （1）已知，．求的值：（2）已知，且，，求角的值：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系求解即可，注意角的范围和符号；（2）已知的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，求出的正弦值，需要根据的范围确定符号，然后利用，和两角和差公式求解即可.【详解】（1）因为，两边平方得，所以，又，所以，所以，所以；（2）因为，所以，因为，所以，又，所以，所以，因为，所以.20. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是    （2）【解析】【分析】（1）先由三角函数的恒等变换化简得，即可得周期，解可得单调减区间；（2）先求出的范围，结合正弦函数的图象即可求解【小问1详解】，所以最小正周期为，由，得单调递减区间是；【小问2详解】当时，，则，即时，有最小值为，，即时，有最大值为，所以此时的值域为．21. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）（1）求2023年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；    （2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.【解析】【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当时，；当时，，所以；【小问2详解】当时，，所以；当时，，当且仅当，即时等号成立.故，所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.22. 已知函数为奇函数.（1）求实数a的值并证明是增函数；（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】（1）因为是定义域为R奇函数，由定义，所以所以，∴.所以证明：任取，．，．，即．在定义域上为增函数．（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数所以.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．