2022-2023学年广东省广州外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州外国语学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简得，再利用交集的定义求解.

【详解】解：由题得，

所以.

故选：B

2．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据“”是“”的充分不必要条件，转化为AB，利用集合之间的包含关系，即可求出的取值范围.

【详解】解：，解得，即，

若“”是“”的充分不必要条件，则AB，

且等号不同时成立，解得，

所以的取值范围为，

故选：A.

3．下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对于A，利用诱导公式化简，可判断是否符合条件；对于B，定义域中不含零，可判断不符合条件；对于C，根据其奇偶性可判断；对于D，判断该函数的奇偶性可知是否满足条件.

【详解】是奇函数，在 上单调递增，故在上是增函数，故A满足条件；

定义域内不能取到零，在内x=0时无意义，故B不满足条件；

对于满足 是偶函数，故C不满足条件；

对于， ，结果不是恒等于零，故不是奇函数，故D不满足条件,

故选：A.

4．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC､直角边AB､AC，已知以直角边AC､AB为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（    ）

A．-1 B．-2 C．0 D．1

【答案】A

【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.

【详解】以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：，，

由面积之比为，得：，即，

在中，，则，

故选：A.

5．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出函数的单调性，分析的符号变化，由可得或，解之即可.

【详解】因为函数为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称，

因为函数在上单调递增，故函数在上单调递减，

因为，则，

所以，由可得，由可得或，

解不等式，可得或，解得或，

故不等式的解集为.

故选：D.

6．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.

【详解】由函数，，的单调性可知，，，故.

故选：D

7．函数的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（    ）

A．[π，2π） B． C． D．

【答案】D

【分析】首先代入求的取值范围，再根据三角函数的图象，列式求的取值范围.

【详解】当时，，若函数在此区间恰取得两个最大值，则，解得：.

故选：D

8．对于，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．(1,2)

【答案】A

【解析】由题设写出的解析式，，再结合函数图像可知，再求出的范围，即可求得结果.

【详解】由题设知

化简整理得：，画出函数的图像，如下图

由，当关于的方程恰有三个互不相等的实数根时，t的取值范围是，

设，则是的两个根，关于对称，故，

下面求的范围：，解得：

，，，故

所以

故选：A.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若(x>0，y>0)，则x+y的最小值为4

B．扇形的半径为1，圆心角的弧度数为，则面积为

C．若，则

D．定义在R上的函数为偶函数，记，则a<b<c

【答案】ABC

【分析】对于A，直接利用基本不等式求解即可；对于B，直接根据扇形的面积公式求解；

对于C，利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解；对于D，利用偶函数，可得，解得，可得，再利用函数的性质即可比较大小．

【详解】对于 ：因为(x>0，y>0)，当且仅当时取等号，则x+y的最小值为4，故正确；

对于，扇形的半径为1，圆心角的弧度数为，面积为，

．

该扇形的面积为，故正确；

对于：，

．

，

，

，故正确；

对于：定义在上的函数为实数）为偶函数，

，，．

．所以函数在上单增，

，又

所以；

，故错误.

故选：．

10．设、、为实数且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】取，可判断A选项；利用对数函数的基本性质可判断B选项；利用指数函数的单调性可判断C选项；利用不等式的基本性质可判断D选项.

【详解】对于A，若，则，所以A错误；

对于B，函数的定义域为，而、不一定是正数，所以B错误；

对于C，因为，所以，所以C正确；

对于D，因为，所以，所以D正确.

故选：CD

11．设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是（    ）

A．是曲线的一个对称中心

B．若，且，则的最小值为

C．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合

D．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合

【答案】BD

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.

【详解】函数的图象为曲线，

令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A错误；

若，且，则的最小值为，故B正确；

将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C错误；

将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，与曲线E重合，故D正确，

故选：BD.

12．已知函数和的零点分别是和，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据函数的零点、函数图象的对称性化简已知条件，结合图象、零点存在性定理、不等式的性质等知识求得正确答案.

【详解】由得；

由得，

和的图象关于直线对称，

直线和直线垂直，也即直线的图象关于对称.

由解得，设.

设直线与的图象交于点，①，

设直线与的图象交于点，②，

则，A选项正确.

，而①-②得，

对于函数，在上递增，

，

所以，所以，B选项正确.

对于函数，在上递增，

，所以，

所以，C选项错误.

，

则，

所以，

对于和，两者分别平方得，所以.

而，

，D选项正确.

故选：ABD

【点睛】本题解题的突破口在于数形结合的思想方法，首先要注意观察题目所给已知条件间的联系，转化后画出相应函数的图象，结合图象分析对称性、零点等，从而达到解题的目标.

三、填空题

13．已知 =，则的值是____.

【答案】

【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．已知（，为常实数），若，则___________.

【答案】

【分析】由得出，进而得出.

【详解】，

，

∴，∴，

∵，∴.

故答案为：

15．若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.

【答案】

【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围.

【详解】直线与的图象有两个公共点，

故有两个不同的解，

故和共有两个不同的解，

因为，故有且只有一个实数解.

若，则，故无解，而只有一个解，

故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；

若，因为只有一个解，故需有一解，

故，故.

故答案为：.

16．如下图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，现给出函数的四个性质，其中说法正确的是__________．

①

②在上单调递增

③当时，取得最大值

④对于任意的，都有

【答案】②④

【分析】先分析出,再根据分段函数性质依次判断即可

【详解】由题可知,所在直线为,所在直线为

则当时,；

当时,；

则,

①当时,,故①错误；

②易知,在上单调递增,在上单调递增,且,则在上单调递增,故②正确；

③因为在上单调递增,则无最大值,故③错误；

④由题,当时,,

当时,,则,

当时,,则,

当时,,则,故④正确；

故答案为②④

【点睛】本题考查分段函数的应用,考查二次函数单调性与最值问题,考查求函数值,考查运算能力

四、解答题

17．已知集合，，，全集

(1)求，；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零，进而解一元二次不等式分别求得集合，由并集、补集和交集的定义可得结果；

（2）由可得的范围，取补集即可得到时的范围.

【详解】（1）由得：，即；

由得：，即，；

，.

（2）由题意知：；

若，则，时，的取值范围为.

18．（1）已知，求的值

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简，然后再代值计算即可.

（2）利用同角三角函数间的关系，将平方求出的值，从而求出的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.

【详解】(1)

所以

（2）由，则，所以

由，则

设，则

由，所以

【点睛】关键点睛：本题考查利用诱导公式化简，利用同角三角函数关系求值，解答本题关键是由同角三角函数的关系根据，先求出，结合角的范围求出的值，属于中档题.

19．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：

为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．

(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；

(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？

【答案】(1)选①，

(2)当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为．

【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.

【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，

对于②，当时，，又，

所以，故不符合题意，故选①，

由表中的数据可得，，解得

∴．

（2）解：高速上行驶，所用时间为，

则所耗电量为，

由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

∴，

国道上行驶，所用时间为，

则所耗电量为，

∵，∴当时，，

∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，

该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为．

20．已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.

【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.

【详解】（Ⅰ），

所以的最小正周期为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

因为，所以.

要使得在上的最大值为，

即在上的最大值为1.

所以，即.

所以的最小值为.

点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.

21．已知函数是偶函数.

(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；

(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；

（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．

【详解】（1）解：是偶函数，，

即对任意恒成立，

，

．

即，

因为当，函数有零点，即方程有实数根．

令，则函数与直线有交点，

，

又，，

所以的取值范围是．

（2）解：因为，

又函数与的图象只有一个公共点，

则关于的方程只有一个解，

所以，

令，得，

①当，即时，此方程的解为，不满足题意，

②当，即时，此时，又，，

所以此方程有一正一负根，故满足题意，

③当，即时，由方程只有一正根，则需，

解得，

综合①②③得，实数的取值范围为：．

22．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．

（1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；

（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围；

（3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．

【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（2）；（3）答案见解析.

【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；

（2）由题意可知，，

即在有解，结合三角函数的性质即可求解；

（3）由题意可知，在上有解，

令，则，从而在有解，

再分类讨论即可得出结果

【详解】（1） ，

．

是“伪奇函数”．

（2）为“伪奇函数”，

，

即，

即在有解．

，

．

又在恒成立，

．

．

（3）当为定义域上的“伪奇函数”时，

则在上有解，

可化为在上有解，

令，则，

从而在有解，

即可保证为“伪奇函数”，

令，

则当时，在有解，

即，

解得．

当时，在有解等价于

解得，

综上，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是．