山东省师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学试题及答案

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13.； 14. ；15.； 16. 8；
17. 解：（1）




，经检验，也满足
（2）


18. 解：（1）方法一：使用余弦定理

由余弦定理得：
方法二：使用正弦定理


（2）


为锐角三角形

19 解：设为“所得新数为奇数”
（2）可取的值为


的分布列为：
20. 解：法一
T
（1）平面，平面
因为为菱形，所以
又因为，所以平面
因为平面 平面平面
（2）过作交于，连接
因为平面，所以由三垂线定理可得，
所以是的平面角
又，且，
从而

法二：
（1）过作，平面 平面
因为为菱形，所以
以为轴建立空间直角坐标系，
，
（1）设平面的法向量为

设平面的法向量为 因为平面即为平面
平面平面
（2）平面的一个法向量为
设平面的法向量为

设二面角的平面角为，则，可得

21.解：（1）
椭圆方程为：
（2）由（1）可得：,设，
设，联立方程解得：
同理：设，联立方程可得：

在椭圆上，所以
所以为定值
22. 解： （1）是上是增函数

设
令解得 故在单调递减，在单调递增


（2）依题意可得：
，
是极值点
两式相减可得：
所证不等式等价于：，不妨设
两边同除以可得：，
令
所证不等式只需证明：，
设
由（1）证明可得：
在单调递减， 证明完毕
原不等式成立即