湖南省怀化市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

这是一份湖南省怀化市2021-2022学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集运算法则计算即可.
【详解】因为集合，
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定的写法可得答案.
【详解】命题“”的否定是，
故答案为：A.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数不小于零、对数真数大于零列不等式组得解.
【详解】由题可知：
，解得，
所以函数的定义域是.
故选：A.
4. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式，进而根据不等式所对应集合间的关系即可得到答案.
【详解】由，而是的真子集，所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
5. 若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求圆心角的弧度数，再由弧长公式求弧长.
【详解】∵圆心角为，
∴ 圆心角的弧度数为，又扇形的半径为2，
∴ 该扇形的弧长，
故选：B.
6. 要得到函数的图像，只需将函数图的图像
A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.
【详解】依题意，故向左平移个单位得到，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.
7. 缪天荣，浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过年苦心研究，年，他成功研制出“对数视力表”及“分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统，使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“分记录法”将视力和视角（单位：）设定为对数关系：.如图，标准对数视力表中最大视标的视角为，则对应的视力为.若小明能看清的某行视标的大小是最大视标的（相应的视角为），取，则其视力用“分记录法”记录（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入，求出的值，即可得解.
【详解】将代入函数解析式可得.
故选：C.
8. 定义在上的奇函数，满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由得出，再结合周期性得出函数值.
【详解】，，
即，，则
故选：D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在上单调递增的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据初等函数的性质逐项判断可得正确选项.
【详解】函数在上单调递减，A错，
函数在上单调递增，B对，
函数上单调递增，C对，
函数在上单调递减，D错，
故选：BC.
10. 集合也可以写成（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.
【详解】对于集合，解不等式，即，解得，所以.
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；
对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；
对于D选项，等价于，故D正确.
故选：ABD
11. 定义在上的函数，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数，判断其为奇函数，由此可判断A,B的正误；判断函数为单调减函数，由此将变形，利用单调性，可判断C,D的正误.
【详解】据题意有：，故时奇函数，
又，故是单调递减函数，
则，故A正确；
，故B错误；
因为，则，
所以，
故，故C错D对，
故选：AD.
12. 已知 ，则（ ）
A 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由条件，结合基本不等式判断各选项的对错.
【详解】∵ ，，
∴(当且仅当时等号成立)，A对，
∵ ，，
取，则，B错，
∵，，
∴，(当且仅当时等号成立)，C对，
∵，，
∴，
∴，D对，
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角的正切公式计算即可.
【详解】因，
所以.
故答案为：
14. 写出一个同时具有下列三个性质函数：________.①；②在上单调递增；③.
【答案】或其他
【解析】
【分析】找出一个同时具有三个性质的函数即可.
【详解】例如，是单调递增函数，，满足三个条件.
故答案为：.（答案不唯一）
15. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数图象，进而通过数形结合求得答案.
【详解】问题可以转化为函数的图象与直线有3个交点，如图所示：
所以时满足题意.
故答案为：.
16. 已知函数，若在上是增函数，且直线与的图象在上恰有一个交点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦函数的单调性以及图象的分析得出的取值范围.
【详解】因为在上是增函数，所以，解得
因为直线与的图象在上恰有一个交点，所以，解得，综上.
故答案为：
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据根式的性质，指数运算公式，对数运算公式化简计算；(2)根据诱导公式和同角关系化简.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边的锐角的终边与单位圆相交于点，已知的横坐标为.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，直接求解；
（2）求出，再根据两角和的余弦公式求解即可.
【小问1详解】
设，由已知，，，
所以，
得.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
19. 已知，命题：，；命题：，.
（1）若是真命题，求的最大值；
（2）若是真命题，是假命题，求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，为真，令，只需即可求解.
（2）根据题意可得与一真一假，当是真命题时，可得或，分别求出当真假或假真时的取值范围，最后取并集即可求解.
【详解】解：（1）若命题：，为真，
∴则令，，
又∵，∴，
∴的最大值为1.
（2）因为是真命题，是假命题，所以与一真一假，
当是真命题时，，解得或，
当是真命题，是假命题时，有，解得；
当是假命题，是真命题时，有，解得；
综上，的取值范围为.
20. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）若，求的最值以及取得最值时相应的的值.
【答案】（1）
（2）时，，时，
【解析】
【分析】（1）根据图像先确定，再根据周期确定，代入特殊点确定，即可得到函数解析式；
（2）将作为一个整体，求出其取值范围，进而求得函数最值，以及相应的x的值.
【小问1详解】
由图知，，
，即，
得， 所以，
又 ，所以， ,
即，由得，
所以.
【小问2详解】
由得 ，
所以当，即时，，
当，即时，.
21. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）．
（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？
【答案】（1）；2.4秒；（2）72（千米/小时）．
【解析】
【分析】
（1）由图，分别计算出报警时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离，，，，代入中即可，，利用基本不等式求最值；（2）将问题转化为对于任意，恒成立，利用分离参数求范围即可.
【详解】（1）由题意得，
所以．
当时，，
（秒）．
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒．
（2）根据题意要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
由，得．
所以，即，解得．
所以，
（千米/小时）．
22. 已知图像关于轴对称．
（1）求的值；
（2）若方程有且只有一个实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；
（2）首先将方程化简为:，进而可得，令 ，则关于的方程只有一个正实数根，先考虑的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证即可，最后根据各种情况讨论的结果写出的取值范围的并集即可.
【详解】(1)因为为偶函数，所以
即，∴
∴，∴
(2)依题意知:
∴由得

令，则①变为，只需关于的方程只有一个正根即可满足题意
(1)，不合题意
(2)①式有一正一负根，则 经验证满足，
(3)若①式有两相等正根，则，此时
若，则，此时方程无正根
故舍去
若，则，且
因此符合要求
综上得:或.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据对数的运算性质得到有一个根，通过换元得到的方程只有一个正实数根，进而可根据分类讨论思想，结合二次方程根分布的知识求解即可.阶段
0.准备
1.人的反应
2.系统反应
3.制动
时间
秒
秒
距离
米
米