湖南省永州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖南省永州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡， 设，则“”是“”的， 已知，，且，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.全卷满分150分，时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 弧度等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧度制与角度制的互化即可得解.
【详解】解：.
故选：C.
2. 若集合，则集合的所有子集个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】根据题意，集合的所有子集个数，选
3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】选项A.根据不等式的基本性质可判断；选项B. 当为负数时，根式无意义可判断；选项C. 当时的情况可判断；选项D.举特例可判断.
【详解】选项A. 由，根据不等式的基本性质可得成立，故选项A正确.
选项B. 当为负数时，根式无意义，则不成立 . 故选项B不正确.
选项C. 当时，不成立 . 故选项C不正确.
选项D. 取，显然满足，但不成立，故选项D不正确.
故选：A
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件定义判断．
【详解】解：由时，一定有成立，故必要性成立；
但时，不一定有成立，如，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
5. 为了得到曲线，只需把曲线上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数图象的平移规律可得结论.
【详解】为了得到曲线，只需把曲线上所有的点向右平移个单位长度.
故选：C.
6. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用“1”的代换，转化，结合基本不等式即可得解.
【详解】，，
，
当且仅当，即，时，等号成立.
的最小值为9
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的弧长为，半径为，求出弦长，应用弧长公式即可求解
【详解】设扇形的弧长为，半径为，如图，取的中点
圆心角为，则
所以弦
又弧长
所以弦长与弧长之比为
故选：C
8. 设函数，若对，不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得出为偶函数，在判断出在上的单调性，利用单调性和偶函数的性质将问题化为，利用分离参数法结合均值不等式可得答案.
【详解】，所以为偶函数.
当时，
和在 上都为单调递减函数.
所以在 上都为单调递减函数.
由为偶函数，则,即
当时，恒成立，则
当时，
由，当且仅当，即时等号成立.
所以，即
故选：D
二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】CD
【解析】
【分析】分别判断各个选项中的两个函数的对应法则和定义域是否相同，从而得出答案.
【详解】选项A. 函数与的法则不同，故不是同一函数.
选项B. 的定义域为x∈R|x≠3，的定义域为，
他们的定义域不同，故不是同一函数.
选项C. 函数与的对应法则和定义域均相同
所以他们表示同一函数.
选项D. 函数与的对应法则和定义域均相同，所以他们表示同一函数.
故选：CD
10. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
下列区间中函数一定有零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案，注意函数的定义域.
【详解】解：因为函数的图象是一条连续不断的曲线，
且，
函数在区间和上一定有零点.
故选：AC.
11. 定义在上的函数，对于家义域内任意的x，y都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. D. 在上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A. 令即可判断；选项B. 令,求出，再令可判断；选项C. 由结合条件可判断；选项D. 由单调性证明的定义法结合条件可判断.
【详解】因为，
令，则有，所以选项A正确.
令，则有，则即
令，可得，所以为偶函数，故选项B不正确.
由，则
即，故选项C不正确.
任取满足，则，所以
，即
故在上单调递增，故选项D做正确.
故选：AD
12. 若函数与，在单调区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 27
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据“稳定区间”的定义，得，分函数与为增函数和函数与为减函数两种情况讨论，求出的范围，从而可得出答案.
【详解】解：因为函数的稳定区间为，
所以，
当函数与为增函数时，
则13x-a≤03x-a≥0，则，
因为，所以，
所以，
当函数与为减函数时，
则，则，
因为，所以，
所以，此时不存在，
综上所述，.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数（且），若，则_________.
【答案】2
【解析】
【分析】由已知函数的解析式，代入求解即可.
【详解】解：因为函数（且），，所以，解得，
故答案为：2.
14. 写出一个最小正周期为的函数______.（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可取函数，即可得解.
【详解】解：由函数的最小正周期为，
可取函数.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 已知关于x的不等式的解集为，则函数的单调递减区间是_______.
【答案】##
【解析】
【分析】由已知条件知，结合根与系数关系可得，代入函数，由二次函数的性质可得答案.
【详解】关于x的不等式的解集为，
可得，方程的两根为，
所以，即，代入函数得，
所以，开口向下，对称轴方程为
所以的单调递减区间为
故答案为：（或写成）
16. 记号表示m，n中取较大的数，如，已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数a的取值范围是_______.
【答案】.
【解析】
【分析】首先将时，函数写成分段函数的形式，由函数的奇偶性作出函数的图象，再根据图象的平移建立不等式，求解即可.
【详解】解：当时，，解得：，此时，令，解得，此时，
所以时，函数，
又因为此时是定义在上的奇函数，所以图象关于原点对称，
所以函数的图象如下图所示，
要使得，根据图象的平移变换，
由图象分析可得且，解得且，即且.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设集合，集合.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，结合交集的定义即可求解结论，
（2）结合并集以及补集的定义即可求解结论．
【小问1详解】
解： 集合，集合，
；
【小问2详解】
解：，
．
18. 已知，且.
（1）求值；
（2）若，且，求tanα+β的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先由条件得出角所在象限，然后由平方关系求出即可.
(2)由（1）结合同角关系求出，，再由正切的和角公式可得答案.
【小问1详解】
由，，则为第二象限的角
所以
【小问2详解】
由（1）可得
又，且，则
所以
19. 已知函数，若.
（1）求a的值，并证明的奇偶性；
（2）判断函数的单调性（无需证明），并求不等式的解集.
【答案】（1）；奇函数，证明见解析
（2）增函数；
【解析】
【分析】（1）代入，解方程可得，再由奇偶性的定义和对数的运算性质可得结论；
（2）由在内为奇函数，且为单调递增函数，将原不等式化为，解不等式可得所求解集．
【小问1详解】
解：函数，
则（1），
解得，
所以，
由，且，解得，即定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数；
【小问2详解】
解：由，
得在内为奇函数，且为单调递增函数，
不等式即为，
则，解得，
所以原不等式的解集为．
20. 新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家鼓励新能源企业发展，已知某新能源企业，年固定成本50万元，每生产台设备，另需投入生产成本y万元，若该设备年产量不足20台，则生产成本万元；若年产量不小于20台，则生产成本万元，每台设备售价50万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.（总成本=固定成本+生产成本；利润=销售总额-总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（台）的关系式；
（2）年产量为多少时，该企业所获年利润最大?
【答案】（1）
（2）年产量为30台时，该企业所获年利润最大
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售收入年固定成本产品生产成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
解：（1）当时，，
当时，，
故；
【小问2详解】
当时，，
当时，的最大值为50，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
，
故年产量为30台时，该企业所获年利润最大，最大利润为55万元．
21. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1），；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简函数，再由余弦函数的单调性可得答案；
（2）由余弦的二倍角公式得，令，根据二次函数的性质可求得函数的最大值.
【小问1详解】
解：因函数，令，解得，.
所以函数的单调递增区间为，；
【小问2详解】
解：因为，所以，
令，则，所以设，
当，即时，在上单调递减，所以，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，
当，即时，在上单调递增，所以，
所以当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为.
22. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若关于x的方程有三个不等实数根，求实数t的取值范围.
【答案】（1）[3,4]；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由对勾函数函数的性质即可求得答案；
（2）设，进而将问题转化为方程有两个不相等的实数根，且，然后用根的分布求解.
小问1详解】
（1）由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以的值域为.
小问2详解】
设，又，则，如图，
于是，问题转化为方程有两个不相等的实数根，且，
设，所以或，于是.
x
1
2
3
4
5
y
1.3
0.9