2022-2023学年山西省朔州市高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省朔州市高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.

【详解】原命题的否定为，.

故选：C.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数幂的性质求解即可.

【详解】因为，

所以，解得，故或，

所以的定义域为：.

故选：C.

3．下列命题为假命题的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】对于ABC，利用不等式的性质即可判断其命题为真；对于D，举反例即可判断其命题为假，由此解答即可.

【详解】对于A，因为，所以，即，则选项A中命题为真，故A错误；

对于B，因为，，所以由不等式的性质得，则选项B中命题为真，故B错误；

对于C，因为，则，所以，则选项C中命题为真，故C错误；

对于D，令，则，，但，故选项D中命题为假，故D正确.

故选：D.

4．函数部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，然后再由的解及解的个数判断.

【详解】因为函数的定义域为R，又，

所以函数是偶函数，排除AD，

令，得，且只有一个解，排除C，

故选：B

5．已知函数且，且，则的零点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意求出，然后令，解之即可求解.

【详解】由题意可知：，整理化简可得：，

即，解得：或（舍），所以.

令可得：，所以函数的零点是，

故选：.

6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断，进而比大小.

【详解】因为，，，

故，所以.

故选：B.

7．已知则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先画出函数的图象，再解不等式组即得解.

【详解】解：函数的图象如图所示，

，

故选：A.

8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：，）（    ）

A．9分钟 B．10分钟

C．11分钟 D．12分钟

【答案】B

【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.

【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得，

所以，

又水温从75℃降至45℃，所以，即，

所以，

所以，

所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.

故选：B.

二、多选题

9．当时，幂函数的图像在直线的上方，则的值可能为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】AB

【分析】由题意，转化为当时，恒成立，解不等式即可．

【详解】由题意，转化为当时，恒成立，

两边取对数得，

由得，

∴，

故选：AB.

10．下列各式中，值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据对数的运算、指数的运算性质进行计算逐项判断可得答案.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故选：ABC.

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．设a，，则“”是“”的既不充分也不必要条件

B．“”是“二次方程有一正根和一负根”的充要条件

C．当时，，成立

D．，，使成立

【答案】BD

【分析】A.根据充分，必要条件的定义，即可判断；B.根据方程根的情况列式求解；

C.写出，判断是否正负；D.写成完全平方式形式，即可判断.

【详解】由得且，故，但，

则“”是“”的必要不充分条件，故A错误；

若二次方程有一正根一负根，则满足，解得，所以“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B正确；

方程的，正负无法确定，故C错误；

因为，所以当，时，等式成立，故D正确.

故选:BD.

12．已知函数.则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．函数在定义域上单调递减

D．若实数a，b满足，则

【答案】ABD

【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.

【详解】对于A选项，对任意的，，

所以函数的定义域为，

又因为

，所以，故A正确；

对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；

对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，

，

即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；

对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知，则______.

【答案】

【分析】分别令和e，求出对应的，然后代入求即可.

【详解】令，则，令，则，所以.

故答案为：.

14．已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出，根据集合包含关系即可得出.

【详解】解可得，即，

因为，所以，解可得，

即.

设，，

因为若是的必要不充分条件，所以，

所以有，且不能同时取等号，所以.

故答案为：.

15．如果两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，则这两个函数为友好函数，那么与定义域为的函数为友好函数的个数是__________.

【答案】8

【分析】根据友好函数的定义结合算出的值，进而求得答案.

【详解】时，的值域为，

又，

所以对应关系为，

值域为的函数定义域还可以是，，

共计8个.

故答案为：8

四、双空题

16．已知函数若方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是__________，的取值范围是__________.

【答案】         

【分析】先画出函数的图像结合图像可求出答案.

【详解】如图所示，方程恰有三个不同的实数根,结合图像可知，

所以.

故答案为：，

五、解答题

17．已知全集，集合，集合.

(1)求，；

(2)求.

【答案】(1)，；

(2)或

【分析】（1）由对数函数单调性解不等式得集合B，根据集合的交集、并集运算求解；

（2）根据补集运算、并集运算求解即可.

【详解】（1）由题意得，，

不等式，可得，

∴，；

（2）由（1）知，或

∴或.

18．已知函数

(1)求满足方程的的值所组成的集合；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用换元法、分类讨论法进行求解即可.

（2）根据对数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】（1）设，则有，

当时，，舍去，

即，

当时，由；

当时，由；

当时，，

即，

当时，由，舍去；

当时，由，

综上所述：满足方程的的值所组成的集合为；

（2）当时，或，则，

当时，，则，

综上所述，不等式的解集为.

19．设（，且）.

(1)若，求实数的值及函数的定义域；

(2)求函数的值域.

【答案】(1)，

(2)①当时，函数的值域为，②当时，函数的值域为.

【分析】（1）根据求得，根据函数定义域的求法求得的定义域.

（2）先求得的定义域，结合二次函数的知识求得的值域.

【详解】（1）因为，且，

所以，解得，

所以的定义域需满足，

解得，即函数的定义域为.

（2），

由，根据二次函数的性质可得，

①当时，在上递增，函数的值域为，

②当时，在上递减，函数的值域为.

20．已知是定义在上的奇函数，且.

(1)若，求的值；

(2)对任意的，，，恒有，解关于的不等式.

【答案】(1)0；

(2).

【分析】（1）根据函数的奇偶性计算即可得解；

（2）由可推出函数单调递减，可得单调递减，不等式可转化为，利用单调性求解即可.

【详解】（1）因为是奇函数，所以，

则，

因为，所以；

（2）不妨设，则，

又因为，

所以，

则在上单调递增，

所以在上单调递增；

因为，

所以，

所以，

又因为为奇函数，所以，

又因为在上单调递增，所以

，

则不等式的解集为.

21．已知，且，.

(1)求的最小值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)3；

(2).

【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值；

（2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值.

【详解】（1）因为，，

所以

，

当且仅当，且，即，时等号成立，

则的最小值为3.

（2）

，

因为，所以，

所以原式

，

当且仅当，且，即，时等号成立，

则的最小值为.

22．设，已知函数为奇函数.

(1)求实数的值；

(2)若，判断并证明函数的单调性；

(3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围.

【答案】(1)或1

(2)在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）直接根据奇函数定义，代入解析式即可求出参数的值；

（2）由（1）知，当时，得，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；

（3）首先根据函数单调性可得，即，令，将原问题转化为在上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可.

【详解】（1）由函数为奇函数，有，有，

有，

有，有，得.

①当时，，定义域为，，符合题意；

②当时，，定义域为，

，符合题意.

由上知或1；

（2）当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增.

设上任意两个实数，，且.

，

而，，，

∴，即得证，则在上单调递增；

（3）由知，由知，所以，

由（2）知在上单调递增，结合题意有

得，即m，n是的两个不同实根，

令，则在上有两个不同实根，

有可得，

故实数的取值范围为.