2022-2023学年山西省太原市第五中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省太原市第五中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合、，即可求得.

【详解】因为，

，

因此，.

故选：A.

2．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可．

【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；

对于B，，定义域不同，故不为同一函数；

对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：

对于D，，定义域不同，故不为同函数．

故选：C．

3．若，，则下列各是正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先判断，再根据不等式的性质判断选项.

【详解】，，，有可能是正数，负数，0，

，故A正确；

，，故B不正确；

,当时，，故C不正确；

当时，不正确，故D不正确.

故选：．

4．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据命题的真假可得参数的取值范围，进而确定其必要不充分条件.

【详解】由命题“，”为真命题，

得，所以，

所以为该命题的一个必要不充分条件，

故选：C.

5．已知函数，则函数具有下列性质（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数在定义域内是减函数

C．函数的图象关于直线对称

D．函数的值域为

【答案】D

【分析】结合已知条件，利用函数的对称性可判断AC；利用单调区间的特征可判断B；利用分离常数法可判断D.

【详解】因为，

所以，

，

故的图像关于对称，不关于对称，从而AC错误；

由题意，的定义域为，而单调区间不能用“”连接，故B错误；

因为，，

所以的值域为，故D正确.

故选：D.

6．已知函数，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】如果，其中为奇函数，那么，利用此结论可求解.

【详解】因为，所以，

所以即，

故选：D.

7．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的解集可得对应方程的解，结合根与系数关系可得与的值，进而解不等式.

【详解】由不等式的解集为，

可知方程有个不同的实根，，，

即或，解得，

所以，

解得，

故选：A.

8．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合幂函数的图象与性质，运用函数的单调性解不等式.

【详解】根据幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数可知且为奇数，又，故，代入得，，由的单调性得，解得：

故选：B

9．已知 是上的单调函数，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据时函数的单调性，可判断函数在上的单调性，由此列出不等式组，解得答案.

【详解】当时，单调递减，故是上的单调递减函数，

则 ，解得，即的取值范围是，

故选：D.

10．已知是定义在上的奇函数，对任意，，都有，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由可判断函数为减函数，将变形为，再将函数转化成恒成立问题即可

【详解】，又是定义在上的奇函数，为R上减函数，故可变形为，即，根据函数在R上为减函数可得，整理后得，在为减函数，为增函数，所以在为增函数，为减函数

在恒成立，即，当时，有最小值

所以

答案选B

【点睛】奇偶性与增减性结合考查函数性质的题型重在根据性质转化函数，学会去“”；本题还涉及恒成立问题，一般通过分离参数，处理函数在某一区间恒成立问题

二、多选题

11．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可得到结果.

【详解】当时，，对应选项A;

当时，当时，，为对勾函数的一部分，

当时，单调递减，对应选项B;

当时，当时，单调递增，

当时，，其中为对勾函数的一部分，对应选项D.

故选:ABD

12．下列结论中，正确的结论有（    ）

A．如果，那么取得最大值时的值为

B．如果，，，那么的最小值为6

C．函数的最小值为2

D．如果，，且，那么的最小值为

【答案】ABD

【分析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；

B.将其配成代入即可得其最小值；

C. 函数，当且仅当此时无解

D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.

【详解】对于A： 如果，那么，

当时取得最大值，故A正确；

对于B：如果，，，

则

整理得，所以或（舍去），

当且仅当时取得最小值，故B正确；

对于C： 函数，

当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故C错误；

对于D： 如果，，且，

那么

，

当且仅当即时取得最小值，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为___________．

【答案】

【分析】由分式分母不为零和二次根式被开方数非负，列不等式组求解即可

【详解】由题意得

，解得，且，

所以函数的定义域为，

故答案为：

14．已知函数，则函数的值域为___________.

【答案】

【分析】利用配凑法求解析式，然后结合定义域和单调性求值域.

【详解】，则，且，对称轴为，所以在上单调递增，，所以的值域为.

故答案为：.

15．已知函数是奇函数，且在上单调递减，则实数的取值范围用区间表示为___________.

【答案】

【分析】先由奇函数的性质，得到，求出；再由二次函数的单调性，以及奇函数的性质，得到函数在区间上单调递减，进而可求出结果.

【详解】因为函数是奇函数，

所以，即，解得；

因此，

根据二次函数的性质可得，

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

又因为，

所以由奇函数的性质可得：函数在区间上单调递减；

因为函数在上单调递减，

所以只需： ，即，

解得.

故答案为： .

16．已知函数在区间上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】本题是对二次函数的综合运用，通过单调性得出t的最小值，再通过取值范围得出t的最大值.

【详解】由题意在上单调递减，且图象的对称轴为，，，，对任意的，总有，，即，

，，又 ，.则实数的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18000元.（长方体保护罩最大容积为10立方米）

（1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用与保护罩容积之间的函数关系式；

（2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.

【答案】（1）；（2）23000元；6立方米.

【解析】（1）根据题意先表示出保险费用，再计算总费用即得函数关系式；

（2）利用基本不等式即可求出.

【详解】（1）设保险费用为，代入，，解得，

则总费用，

即.

（2）由基本不等式可得

，

当且仅当立方米，在定义域范围内.

故当长方体保护罩容积为6立方米时，总费用最小值为23000元.

18．已知函数是上的奇函数，且.

(1)求实数、的值；

(2)判断函数在上的单调性，并加以证明.

【答案】(1).

(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由奇函数的定义建立方程组，求解即可；

（2）根据函数的单调性的定义可判断和证明..

【详解】（1）解：因为函数是上的奇函数，且，所以.

所以，所以，所以函数是奇函数，所以.

（2）解：在上单调递增.证明如下：

由(1)知，任取，则，

则.

，，，，

又，，，

在上单调递增.

19．已知函数是定义在上的函数，对于区间内的任意两个数a，b都满足等式：，且当时，.

（1）求并判断的奇偶性；

（2）证明是上的增函数；

（3）若已知，解关于x的不等式.

【答案】（1）0，奇函数；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）利用函数奇偶性的定义结合赋值法判断；

（2）利用函数单调性的定义，任取，且，判断的符号即可.

（2）先由函数的定义域，求得x的范围，然后将原不等式转化为，利用在上的单调性求解.

【详解】（1）令.

任取x，，令，，则，

故是定义在上的奇函数.

（2）任取，且.

则，

∵，

∴，

∵，，

又∴，

∴，

由题得，

所以，即，

所以是定义在上的增函数.

（2）由定义域有

令得到，原不等式可化为

因为是定义在上的增函数.

所以

∵

∴恒大于0，

不等式即为，

解得.

所以不等式的解集为.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和函数单调性的判断及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.