2022-2023学年山西省朔州市高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年山西省朔州市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．计算的值（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.

【详解】，

故选：C.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性解不等式求出集合，利用交集的运算求出结果.

【详解】∵，

，

∴.

故选：A.

3．已知，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解.

【详解】由题意得，，即，

当且仅当，即或时等号成立，

所以的最大值为.

故选：B

4．函数的减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性求解.

【详解】令，解得或，则的定义域为，

令在上单调递减，

又在上单调递减，所以在上单调递增，

在上单调递增，所以在上单调递减，

故选：A.

5．点在平面直角坐标系中位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据终边相同的角确定角度与弧度所在的象限，从而得，，即可知点在平面直角坐标系中的象限位置.

【详解】解：因为，，故2023°为第三象限角，故，

因为8与终边相同，又，故8是第二象限角，故，则点在第三象限.

故选：C.

6．已知函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解.

【详解】因为，所以是以6为周期的函数，

所以，

故选：D.

7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据三角恒等变换及对数运算性质化简，利用三角函数及对数函数的性质判断范围，从而得解.

【详解】

，

，

，

则.

故选：C.

8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，解之即可．

【详解】在上单调递增，则

所以是方程在上的两个不等实根，

令，则，

所以在上有两个不等实根，

令，对称轴，

则，即，解得．

故选：B．

二、多选题

9．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.

【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，

且幂函数在上是减函数，故A正确；

B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，

且，则其在上单调递减，故B正确；

C选项中，设，其定义域为，则，

故是偶函数，且函数在上单调递减,

函数在定义域上为增函数，

所以在 上单调递减,故C正确；

D选项中，设，是，

且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.

故选：ABC.

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；

对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围，由此判断即可；

对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，据此解答即可.

【详解】对于A，因为，

所以，

所以，故A正确；

对于B，由选项A知，

因为，所以，故，

所以，即，故B正确；

对于C，由选项B可知，，，所以，

因为，

所以，故C错误；

对于D，因为，，

所以，故，故D正确.

故选：ABD.

11．将函数的图象向右平移个单位长度，所得到的函数为偶函数，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据三角函数图象变换规律求出变换后的解析式，再根据偶函数性质求出可得答案.

【详解】

，

将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，

因为该函数为偶函数，所以，所以.

当时，；当时，，

故选：AC.

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于轴对称

B．在区间上单调递增

C．的最大值为

D．无最大值

【答案】AC

【分析】利用偶函数的性质可判断A；利用特值及单调性的定义可判断B；利用基本不等式可判断CD.

【详解】因为的定义域为，

又，

所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，故A正确；

因为，

又，所以，故B错误；

因为是偶函数，所以的最大值即为在上的最大值.

当时，，当且仅当时等号成立，

所以，故C正确，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域为          .

【答案】

【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果.

【详解】令，所以，

即函数的定义域为.

故答案为：.

14．已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为          .

【答案】

【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案.

【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，

又在区间上单调递增，

由，得，解得.

由，得，解得或.

所以，即或解得或，

所以不等式的解集为.

故答案为：.

15．已知，，则      .

【答案】

【分析】直接利用两角和与差的正弦函数，展开已知表达式，求出，；然后得到结果.

【详解】∵，∴．①

∵，∴．②

①+②，得．③

①②，得．④

③÷④,得．

故答案为：.

16．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是         ．

【答案】

【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解.

【详解】函数最小值为0，

设，

所以只要满足恒成立，

函数对称轴为，且，

①，即时，满足题意；

②，即时，

需满足，

即，得，

此时实数的取值范围是.

综上，实数的取值范围是

故答案为：.

四、解答题

17．已知全集.

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式求出集合，利用集合的运算即可求出结果；

（2）由题意转化为恒成立，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】（1），

若，

所以；

（2）因为“”是“”的充分条件，所以恒成立，

即恒成立，

因为在上单调递减，

所以，解得或，

即实数的取值范围是.

18．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数的图象，可得，，得到，再由，求得，即可求解；

（2）由不等式，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）解：由函数的图象，可得，，

可得，所以，即，

又由，即，

可得，即，

因为，可得，所以.

（2）由不等式，可得，可得，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

19．已知函数且.

(1)求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得定义域；根据函数奇偶性的定义判断并证明的奇偶性；

（2）不等式化简后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.

【详解】（1）令，解得，则的定义域为.

因为，

所以为奇函数；

（2），即.

因为.

令，易得在上单调递增.

当时，在上单调递减，则，解得

当时，在上单调递增，则，解得.

综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是.

20．已知函数的相邻两个对称中心间的距离为.

(1)求的单调递减区间；

(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简求解，利用三角函数的性质求出单调递减区间；

（2）根据三角函数图象变换规律得到，由题意可求得，，由利用两角差的正弦公式即可求解.

【详解】（1），

因为的相邻两个对称中心间的距离为，所以，解得，

所以.

令，解得，

所以的单调递减区间是；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，

再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，

所以，即，

又，所以，又，

所以，所以，

所以

.

21．已知函数.

(1)若，求实数的值；

(2)求的最大值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由已知列出关于的方程，求解即可；

（2）化简，令，然后结合二次函数的性质分类讨论求最大值即可.

【详解】（1），

解得或；

（2）.

令，所以.

当，即时，在上单调递减，

所以；

当，即时，在上单调递增，

所以；

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以.

综上所述，.

22．已知函数.

(1)若，求的值域；

(2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先得到解析式，令结合二次函数的性质求出函数的值域；

（2）首先可得在上单调递增，则问题转化为在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，根据一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）若则，令，

令，二次函数开口向上，对称轴为，

所以当时，

所以的值域为；

（2）因为，所以在上单调递增，

所以当的定义域为时，的值域为，

即，

即在上有两个不同的实数解，

即在上有两个不同的实数解，

令，所以在上有两个不同的实数解，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.