2021-2022学年山西省怀仁市第一中学高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年山西省怀仁市第一中学高一上学期期末

数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由集合的补集与交集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合，，，

所以，

所以，

故选：A.

2．命题：“”的否定是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】写出全称命题的否定即可.

【详解】“”的否定是：.

故选：C.

3．函数零点所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的单调性及零点存在性定理即得.

【详解】由题意，函数在R上单调递增，

且，，

所以函数的零点所在的区间是.

故选：A.

4．已知，则的值为（       ）

A． B． C．5 D．

【答案】D

【分析】由题可得，即求.

【详解】∵，

∴.

故选：D

5．的单调递增区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性可求函数的递增区间.

【详解】由题设可得，故或，

故函数的定义域为，

令，

则在为减函数，在上为增函数，

因为在上为增函数，故的增区间为，

故选：D.

6．设，其中，若，则等于（       ）

A． B．7 C． D．1

【答案】D

【分析】利用诱导公式整体化简求值即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

所以

，

故选：D.

7．设，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数，的单调性比较大小即可

【详解】解：因为函数在区间上单调递增，所以，即，

因为函数在上单调递减，所以，即，

所以

故选：D

8．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，m>0)，若物体的温度总不低于2摄氏度，则实数m的取值范围是（       ）

A．，＋∞) B．，＋∞)

C．，＋∞) D．[1，＋∞)

【答案】C

【分析】直接利用基本不等式求解最值即可．

【详解】由基本不等式可知，，

当且仅当“”时取等号，

由题意，，即，解得．

故选：C．

9．已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（       ）

A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）

【答案】A

【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可

【详解】因为，且，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，

因为有解，所以，即，

解得或，

故选：A

10．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（       ）

A． B． C．8 D．﹣8

【答案】B

【分析】将π＝4sin52°代入中，结合三角恒等变换化简可得结果．

【详解】将π＝4sin52°代入中，

得.

故选：B

11．已知函数在上为偶函数，若任意且都有，且，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知函数在上单调递增，在上单调递减，且，，由此解不等式，即可求出结果.

【详解】因为任意且都有，

所以函数在上单调递增，

又函数在上为偶函数，且，

所以函数在上单调递减，且，

当时，，，

所以当时，；

当时，，，

所以当时，；

综上，不等式的解集为.

故选：C.

12．对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知函数有唯一零点为1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.

【详解】∵，∴在R上单调递增，

又，∴有唯一零点为1，

令的零点为，依题意知，即，

即函数在上有零点，

令，则在上有解，即在上有解，

∵，当且仅当时取等号，

∴.即实数的取值范围是.

故选：B

二、填空题

13．函数的定义域是___________.

【答案】

【分析】利用函数有意义直接列出不等式组求解即可作答.

【详解】要使函数有意义，则有，解得，

所以函数的定义域是.

故答案为：

14．已知正数a，b是关于x的方程的两根，则的最小值为______.

【答案】4

【分析】根据韦达定理可得，，进而，

利用基本不等式计算即可.

【详解】由题意，得，，则，当且仅当，即时等号成立.经检验，知当时，方程有两个正实数解，符合题意，所以的最小值为4.

故答案为：4

15．已知函数（且），若，则的值等于______．

【答案】16

【分析】利用对数的运算性质化简可得结果.

【详解】.

故答案为：.

三、双空题

16．已知函数，其中常数．若在上单调递增，则的取值范围是______；若，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的图象的对称轴方程为______．

【答案】         

【分析】（1）由已知条件，利用正弦函数的单调性即可求得ω的范围；

（2）利用三角函数的图象变换求出的解析式，从而即可求解的对称轴方程.

【详解】解：因为函数在上单调递增，

所以，即，解得；

若，则，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，

令，可得，所以的图象的对称轴方程为.

故答案为：；.

四、解答题

17．计算下列各式的值.

(1)

(2)

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用对数的运算法则及对数恒等式即求；

（2）利用指数幂的运算法则即求.

【详解】(1)原式.

(2)原式

18．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用交集的定义可求.

（2）根据可求实数m的取值范围．

【详解】(1)时，故.

(2)因为，故，

若即时，，符合；

若，则，解得，

综上，.

19．已知函数．

(1)若，且关于x的不等式的解集是，求在区间上的最值；

(2)若，，，解关于x的不等式．

【答案】(1)，.

(2)见解析

【分析】（1）根据不等式的解可求的值，结合二次函数的性质可求在区间上的最值；

（2）就的不同取值范围分类讨论后可得不等式的解.

【详解】(1)因为的解为，

故、为的两个解，所以即，

故，

因为，故，.

(2)由题设有，

因为，故即，

若，则，故不等式的解集为.

若，则，故不等式的解集为.

若，则，故不等式的解集为.

20．已知函数．

(1)求函数的单调递减区间；

(2)若为锐角，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角变换公式可得，利用整体法可求单调减区间.

（2）利用两角差的余弦可求的值.

【详解】(1)，

令，则，

故函数的单调递减区间为.

(2)由可得，

因为锐角，故，而，

故，所以，

而.

21．党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．

(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）

(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为

(2)当时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.

【分析】（1）由所给函数模型写出函数式，需分段求解；

（2）分别由二次函数的性质和基本不等式求得最大值后比较可得．

【详解】(1)当时，；

当时，；

所以

(2)当时，，

当时，；

当时，

（当且仅当即时，“”成立）

因为

所以，当时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.

答：（1）2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为.

（2）当时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.

22．已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．

(1)当时，求函数的值域；

(2)记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．

【答案】(1)

(2)，n=5

【分析】（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域.

（2）结合图象特征可求的值．

【详解】(1)的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，

因为图象过点，故，

故，故.

当时，，，

故函数的值域为.

(2)在上的图象如图所示：

因此与的图象在上共有5不同的交点，

这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，, 故n=5.

令，则，

故的图象在内的对称轴分别为：

，，，，，

结合图象可得，，，

，

故.