2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题（一）（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市高一上学期期末复习数学试题（一）

一、单选题

1．设集合，，若，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合数轴分析即可.

【详解】

由数轴可得，若，则.

故选：B.

2．命题p：，是假命题，则实数b的值可能是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：，，利用判别式小于即可求解.

【详解】因为命题p：，是假命题，

所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，

则有，解得：，根据选项的值，可判断选项符合，

故选：.

3．函数 的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除,再根据,对应,排除,进而选出正确答案.

【详解】由函数 ， 可得，

故函数的定义域为，

又 ， 所以是偶函数，

 其图象关于轴对称， 因此 错误；

当 0时，， 所以错误．

故选:

4．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造指数函数，结合单调性分析即可.

【详解】在R上单调递减，，

∴；

在R上单调递增，，

∴；

∴

故选：D

5．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据：，）（    ）

A．2032 B．2035 C．2038 D．2040

【答案】D

【分析】由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案.

【详解】设2022年我国GDP（国内生产总值）为a，在2022年以后，每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n年以后的GDP（国内生产总值）为，

由题意，经过n年以后的GDP（国内生产总值）实现翻两番的目标，则，

所以，

所以到2040年GDP基本实现翻两番的目标.

故选：D.

6．将函数的图像向左平移个单位长度得到曲线，然后再使曲线上各点的横坐标变为原来的得到曲线，最后再把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线对应的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用图像变换方式计算即可.

【详解】由题得：，所以：，得到：

故选：C

7．已知，，且满足，则的最大值为（    ）

A．9 B．6 C．4 D．1

【答案】D

【分析】由题可得，利用基本不等式可得 ，进而即得.

【详解】因为，，，

所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即的最大值为1.

故选：D.

8．已知且恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】因为，则且、均为正数，

由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，的最小值为，所以，，即，解得.

故选：C.

二、多选题

9．函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（    ）

A．函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数

B．函数的图像的对称中心为

C．函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数

D．函数的图像关于直线对称

【答案】ABD

【分析】根据函数奇偶性的定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A，函数的图像关于点成中心对称的图形，

则有

函数为奇函数，则有，

即有

所以函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是

为为奇函数，A正确；

对于B,，则

因为为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，B正确；

对于C，函数的图像关于成轴对称的充要条件是，

即函数是偶函数，因此C不正确；

对于D，，

则，

则，

所以关于对称，D正确

故选:ABD.

10．下列结论中正确的是（    ）

A．若一元二次不等式的解集是，则的值是

B．若集合，，则集合的子集个数为4

C．函数的最小值为

D．函数与函数是同一函数

【答案】AB

【分析】对于A：和为方程的两根且，即可得到方程组，解得即可判断A；根据对数函数、指数函数的性质求出集合、，从而求出集合，即可判断B；当时，即可判断C；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.

【详解】解：对于A：因为一元二次不等式的解集是，

所以和为方程的两根且，所以，解得，所以，故A正确；

对于B：，，

所以，即中含有个元素，则的子集有个，故B正确；

对于C：，当时，，故C错误；

对于D：，

令，解得，所以函数的定义域为，

函数的定义域为，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D错误；

故选：AB

11．已知函数.当时，，，则下列结论正确的是（    ）

A．是函数的一个零点

B．函数的最小正周期为

C．函数的图象的一个对称中心为

D．的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象

【答案】AB

【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为，可得，

又由，所以函数的最小正周期为，所以，

所以，

又因为，可得，即，

由，所以，即，

对于A中，当时，可得，

所以是函数的一个零点，所以A正确；

又由函数的最小正周期为，所以B正确；

由，所以对称中心的纵坐标为，所以C不正确；

将函数的图象向右平移个单位长度,

可得，

所以D不正确.

故选：AB.

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（    ）

A．是偶函数 B．在上是增函数

C．的值域是 D．的值域是

【答案】BD

【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B、D，再根据高斯函数的定义求出的解析式，即可判断A、D.

【详解】解：因为，定义域为，

因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，

所以在定义域上单调递增，故B正确；

因为，所以，所以，则，

则，即，故C错误；

令，即，解得，

所以当时，

令，即，解得，

所以当时，当时，

所以，

所以的值域是，故D正确；

显然，即不是偶函数，故A错误；

故选：BD

三、填空题

13．函数，方程有3个实数解，则k的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据给定条件将方程的实数解问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再利用数形结合思想即可作答.

【详解】方程有3个实数解，等价于函数的图象与直线有3个公共点，

因当时，在上单调递减，在上单调递增，，

当时，单调递增，取一切实数，

在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图：

由图象可知，当时，函数的图象及直线有3个公共点，方程有3个解，

所以k的取值范围为.

故答案为：

14．已知，且，则______

【答案】##

【分析】由，应用诱导公式，结合已知角的范围及正弦值求，即可得解.

【详解】由题设，，

又，即，且，

所以，故.

故答案为：

15．关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______.

【答案】

【分析】根据不等式的解集，可得方程的根与参数与零的大小关系，利用分式不等式的解法，结合穿根法，可得答案.

【详解】由题意，可得方程的解为，且，

由不等式，等价于，整理可得，解得，

故答案为：.

16．已知函数f（x）= 满足对任意实数，都有0 成立，则实数a的取值范围是(          )

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性可得 ，解不等式组即可.

【详解】根据题意可知，函数为减函数，

所以，解得.

故答案为：

【点睛】本题考查了由分段函数的单调性求参数值，考查了基本知识掌握的情况，属于基础题.

四、解答题

17．在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合.

(1)当时，求；

(2)若_______，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）代入，然后根据交、并、补集进行计算.

（2）选①，可知，分，计算；选②可知，分，计算即可；选③，分，计算.

【详解】（1）当时，集合，

所以；

（2）若选择①，则，

当时，解得

当时，又，，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，

当时，解得

当时，又，，

或解得，

所以实数a的取值范围是.

若选择③，，

当时，解得

当又

则解得

所以实数a的取值范围是.

18．计算下列各式的值：

(1)

(2)

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解.

【详解】（1）

.

（2）.

19．已知函数同时满足下列两个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求出的解析式；

（2）求方程在区间上所有解的和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由条件可得，最小正周期，由公式可得,得出答案.

(2)由，即得到，解出满足条件的所有值，从而得到答案.

【详解】（1）由函数的最大值为2，则

由函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则最小正周期，由，可得

所以.

（2）因为，所以，

所以或，

解得或.

又因为，所以的取值为，，，，

故方程在区间上所有解得和为.

20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】（1）（2）100千件

【分析】（1）根据题意，分，两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；

（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.

【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：

当时，．

当时，

所以

（2）当时，．

此时，当时，取得最大值万元．

当时，

．

此时，即时，取得最大值1050万元．

由于，

答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，

最大利润为1050万元

【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.

21．已知函数 (a>0,a≠1)是指数函数.

(1)求a的值,判断的奇偶性,并加以证明；

(2)解不等式 .

【答案】（1），是偶函数，证明见解析；（2）.

【解析】（1）根据，求出即可；

（2）根据对数函数的单调性解不等式，注意考虑真数恒为正数.

【详解】（1）函数 (a>0,a≠1)是指数函数，

所以，解得：，

所以，

，定义域为R，是偶函数，证明如下：

所以，是定义在R上的偶函数；

（2）解不等式 ，

即解不等式

所以，解得

即不等式的解集为

【点睛】此题考查根据指数函数定义辨析求解参数的值和函数奇偶性的判断，利用对数函数的单调性解对数型不等式，注意考虑真数为正数.

22．已知函数，（且），的定义域关于原点对称，．

(1)求的值，判断函数的奇偶性并说明理由；

(2)求函数的值域；

(3)若关于的方程有解，求实数的取值范围．

【答案】(1)，为奇函数

(2)

(3)

【分析】（1）根据的定义域关于原点对称可得，再求解可得判断即可；

（2）根据指数函数的范围逐步分析即可；

（3）参变分离，令，将题意转换为求在上的值域，再根据基本不等式，结合分式函数的范围求解即可.

【详解】（1）由题意，的定义域，即的解集关于原点对称，根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故.

此时，定义域关于原点对称，，因为.

故，为奇函数.

（2）由（1），又，故，解得，故，因为，故，故，即的值域为

（3）由（2）的值域为，故关于的方程有解，即在上有解.令，即求在上的值域即可.

因为，当且仅当时取等号，且，，故，故，即的值域为，即实数的取值范围为.