2022-2023学年江苏省南京市第四高级中学高一上学期期末复习达标检测数学试题（解析版）

2022-2023学年高一期末复习达标检测卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据Venn图表示的集合计算．

【详解】因为全集，所以，

所以图中阴影部分表示．

故选：C．

2. 点落在（    ）

A. 第一象限内 B. 第二象限内 C. 第三象限内 D. 第四象限内

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的诱导公式和符号，得到，即可求得.

【详解】因为，

所以点落在第四象限内.

故选: D.

3. 同时满足：①，②，则的非空集合M有（    ）

A. 6个 B. 7个

C. 15个 D. 16个

【答案】B

【解析】

【分析】根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.

【详解】时，；时，；时，；时，；，，

∴非空集合M为，，，，，，，共7个．

故选：B

4. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.

【详解】由换底公式得：，，其中，，故

故选：C

5. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先判断奇偶性，可排除C，D，由特殊值，可排除B，即可得到答案.

【详解】因为，所以函数为奇函数，排除C，D；又，排除B，

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6. 若，的终边（均不在y轴上）关于轴对称，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，则，，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．

【详解】解：因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，

则，，

选项A：，故A正确，

选项B：，故B错误，

选项C：，故C错误，

选项D：，故D错误，

故选：A．

7. 已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用图象求得函数的解析式为，由结合正弦函数的对称性得出，且有，将代入结合诱导公式可求得的值.

【详解】由图象知函数的最小正周期为，，

又，

且，

，，

所以，，，，

当时，，

因为存在，满足，

即，则，可得，且，

则.

故选：C.

【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

8. 已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由的特性结合函数图象平移变换可得是奇函数，由可得函数的周期，由此探讨出的值域，再将所求问题转化为不等式在上有解即可.

【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，

由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，

又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，

又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，

而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，

因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，

当时，取，成立，即得，

当时，在上有解，必有，解得，则有，

综上得，

所以满足条件的实数构成的集合为.

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 关于x的不等式的解集可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项的形式看，则不等式不可能是二次不等式，分析出；BC选项和的符号与判别式有关；D选项利用韦达定理可求出.

【详解】对于A，若不等式的解集为，不等式不可能是二次不等式， 则，此时，解得．显然不符合题意，∴不等式的解集不会是．故A错误；对于B，当即时，

不等式的解集是．故B正确；对于C，若不等式的解集为，则有事实上，，与矛盾，∴不等式的解集不可以是．故C错误；对于D，若不等式的解集是，则方程的两个实数根分别为和，由韦达定理，此时符合题意．故D正确．

故选：BD．

10. 已知点是角终边上一点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由三角函数的定义可得，，然后逐一判断即可.

【详解】因为点是角终边上一点，所以，，A正确，B错误.

，C正确.

，D正确.

故选：ACD

11. 已知函数的图象如图所示，则（    ）

A. 函数解析式

B. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象

C. 直线是函数图象的一条对称轴

D. 函数在区间上的最大值为2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可.

【详解】由题图知：函数的最小正周期，

则，，所以函数．

将点代入解析式中可得，

则，得，

因为，所以，

因此，故A正确．

将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B正确.

，当时，，故C正确

当时，，所以，即最大值为，

故D错误．

故选：ABC．

12. 设函数，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列选项正确的有（    ）

A. 当m＞3时，f[f（x）]＝m有5个不相等的实根

B. 当m＝0时，g[g（x）]＝m有4个不相等的实根

C. 当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根

D. 当m＝2时，g[f（x）]＝m有5个不相等的实根

【答案】BCD

【解析】

【分析】作出函数的图象，利用函数的图象和函数的图象分析可解得结果.

【详解】作出函数的图象：

令，得；

当时，有两个根：，方程有1个根，方程有2个根，所以A错误；

②当时，，，令，

由得

由

由所以B正确；

③令，，因为，所以有个实根根，

设，所以

，

，

因为在上递减，所以，

所以，所以，

即方程的最小根大于的最小值，

所以、、都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，

所以当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根，所以C正确；

④令，则，

当时，方程化为，得；

当，得；

当得符合题意，所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的最小正周期是______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意，结合正切函数图像性质，即可求解.

【详解】根据题意，结合正切函数图像性质，易知函数的最小正周期.

故答案为：.

14. 设：，：（）．若是的必要条件，则m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】记的解集为，的解集为，因为是的必要条件，所以，讨论，两种情况，利用包含关系得出m的取值范围.

【详解】记的解集为，的解集为

因为是的必要条件，所以

当时，即，不满足；

当时，要使得，则，解得

故答案为：

15. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________．

【答案】##

【解析】

【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.

【详解】由已知得，

则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为，

由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，

∴所求面积为．

故答案为：或．

16. 已知a为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若，则___________，a的取值范围为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】首先根据得出大致范围，从而求出的值，再根据的范围即可求出的取值范围.

【详解】由于函数在区间和上的最大值分别记为和，，则，否则，与条件矛盾.所以=1.于是得

所以，结合，所以,所以.

故答案为：1；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集，已知集合，.

（1）求，.

（2）已知非空集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由指数函数的单调性求集合A，由根式、分式的性质求集合B，再应用集合的交、并、补运算求、、即可.

（2）由题设知，可得，即可求的取值范围.

【小问1详解】

由题设，可得，，则，

∴，.

【小问2详解】

∵，即，

∴，解得.

18. （1）已知角的终边经过点，求的值；

（2）已知角终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为，求的值．

【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析 ．

【解析】

【分析】（1）利用任意角三角函数的定义即可求解；

（2）根据题意，设出终边上一点，然后利用任意角的三角函数分象限即可求解.

【详解】（1）∵角的终边经过点，∴，

∴，，∴；

（2）∵角终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为，

∴，

当角终边在第一象限时，，，；

当角终边在第二象限时，，，；

当角终边在第三象限时，，，；

当角终边在第四象限时，，，．

19. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为

（1）求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;

（2）先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，对称轴方程为；   

（2）

【解析】

【分析】(1)由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据直线函数性质解不等式求x的取值范围.

【小问1详解】

因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，

所以，，所以，

由，可得，，

所以函数的单调递增区间为，

由得，

所以所求对称轴方程为

【小问2详解】

将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，

把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，

由得，所以，，

所以，，所以x的取值范围为

20. 已知函数，．

（1）求证：为奇函数；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）解关于的不等式．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）求得的定义域，计算，与比较可得；

（2）原不等式等价为对恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；

（3）原不等式等价为，设，判断其单调性可得的不等式，即可求出.

【小问1详解】

函数，

由解得或，可得定义域，关于原点对称，

因为，

所以是奇函数；

【小问2详解】

由或，解得，

所以恒成立，即，

则，即对恒成立，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，即取值范围为；

【小问3详解】

不等式即为，

设，即，可得在上递减，

所以，则，解得，

所以不等式的解集为.

21. 已知函数（且）.

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）当时，求函数的值域；

（3）已知，若，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）函数是偶函数   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的定义可判断出结果；

（2）根据基本不等式以及对数函数的单调性可求出结果；

（3）将，使得，转化为，

利用换元法求出，分类讨论，利用函数的单调性求出的最小值，代入可求出结果.

【小问1详解】

因为且，所以其定义域为R，

又，

所以函数是偶函数；

【小问2详解】

当时，，因为,,当且仅当，即时取等，

所以,

所以函数的值域为.

【小问3详解】

，，使得，等价于，

令，，，

令，则在上的最小值等于在上的最小值，

在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以.

因为为偶函数，所以在上的最小值等于在上的最小值，

设，则，

任取，

，

因为，所以，，，，，

所以，，

所以在上单调递增函数，

当时，函数在上单调递减函数，

所以，所以，得（舍）；

当，函数在上为单调递增函数，

所以，所以，.

综上得：实数的取值范围为.

22. 设函数（，且）．

（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；

（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；

（3）若，，且在上的最小值为，求实数的值．

【答案】（1）证明见解析，是减函数；   

（2）(－3，5)；    （3）2﹒

【解析】

【分析】(1)f(x)定义域为R关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系，以此确定奇偶性；f(x)的单调性可以通过单调性的性质进行判断；

(2)利用条件，得到在R上单调递减，从而将转化为，进而得，研究二次函数得到结论；

(3)令，得到二次函数h(t)，分类讨论研究得到，得到结论．

【小问1详解】

证明：的定义域为，关于原点对称，

且，

∴为奇函数，

∵，∴递减，递减，故是减函数；

【小问2详解】

(且)，

∵，∴，

又，且，

∴，

故在上单调递减，

不等式化，

∴，即恒成立，

∴，

解得；

【小问3详解】

∵，∴，即，

解得或(舍去)，

∴，

令，由(1)可知为增函数，

∵，∴，

令，

若，当时，，∴；

若时，当时，，解得，无解；

综上，．