2022-2023学年吉林省松原市扶余市第一实验学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省松原市扶余市第一实验学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式即可求得答案.

【详解】.

故选：A.

2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（    ）

A．y B．y＝3x﹣3﹣x C．y＝tanx D．y

【答案】B

【解析】对选项逐一分析函数的定义域、单调性和奇偶性，由此确定正确选项.

【详解】对于A选项，函数定义域为，在定义域上没有单调性.

对于B选项，在上是增函数又是奇函数，符合题意.

对于C选项，函数的定义域为，在定义域上没有单调性.

对于D选项，函数的定义域为，为非奇非偶函数.

综上所述，符合题意的是B选项.

故选：B

【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.

3．已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，得到函数为偶函数，且在为单调递减函数，则在为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.

【详解】由题意，函数关于直线对称，所以函数为偶函数，

又由当时，恒成立，

可得函数在为单调递减函数，则在为单调递增函数，

因为，可得，即或，

解得或，即不等式的解集为，

即满足的x的取值范围是.

故选：B.

4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.

故选A

5．函数的零点所在的区间是（    ）

A．（0，1） B．(1，2) C．(2，3) D．（3，4）

【答案】B

【分析】先求得函数的单调性，利用函数零点存在性定理，即可得解.

【详解】解：因为函数均为上的单调递减函数，

所以函数在上单调递减，

因为，，

所以函数的零点所在的区间是.

故选：B

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用中间量隔开三个值即可.

【详解】∵，,,

∴，

故选：D

【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.

7．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数                    ②在区间单调递增

③在有4个零点        ④的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（    ）．

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【答案】C

【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】为偶函数，故①正确．

当时，，它在区间单调递减，故②错误．

当时，，它有两个零点：；

当时，，它有一个零点：，

故在有个零点：，故③错误．

当时，；

当时，，

又为偶函数，的最大值为，故④正确．

综上所述，①④正确，

故选：．

8．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.

【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为

，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．化成弧度是

B．化成角度是

C．若角，则角为第二象限角

D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为

【答案】BC

【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用象限角的定义可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项，，故角为第二象限角，C对；

对于D选项，，故扇形的面积为，D错.

故选：BC.

10．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．在上单调递减

C．曲线关于对称 D．曲线关于对称

【答案】ABC

【分析】化简解析式，结合三角函数的最小正周期、单调性、对称性等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】，

的最小正周期为，A正确.

，在上递减，B正确.

，所以图象关于对称，C正确.

，所以D选项错误.

故选：ABC

11．给出下列命题，其中正确的命题有（    ）

A．已知函数的定义域是，则函数的定义域是

B．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时．

C．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于且，不等式恒成立，则不等式的解集为

D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据函数的定义域、奇偶性、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】A选项，的定义域为，所以，

所以，即的定义域为，A选项错误.

B选项，当时，，，B选项正确.

C选项，是偶函数，所以关于直线对称，

对于且，不等式恒成立，即在上递增.

所以在上递减，所以，

即，，解得或，

所以不等式的解集为，C选项正确.

D选项，，，

，

构造函数，在上递减，

所以，D选项正确.

故选：BCD

12．将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象，若函数是奇函数，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由平移变换得到，再根据函数是奇函数，令求解.

【详解】将函数的图象向左平移（）个单位，

得到函数，

因为函数是奇函数，

所以，

解得，

所以的可能取值为，，

故选：AC

三、双空题

13．若的终边过点，则_________．________．

【答案】         

【解析】由三角函数的定义可得，利用诱导公式和同角公式化简后，代入可求得结果.

【详解】因为的终边过点，由三角函数的定义可得，

.

故答案为：；

【点睛】关键点点睛：利用三角函数的定义和诱导公式求解是解题关键.

四、填空题

14．已知则的值为________.

【答案】0

【解析】由余弦函数先求得的周期，再求得一个周期内的函数值，即可求解.

【详解】

即是以为周期的周期函数，

，， ，

，，，，

故答案为：

【点睛】本题考查余弦函数的周期的应用以及特殊角的三角函数值，属于基础题.

五、解答题

15．已知函数.

(1)求函数的解析式；

(2)判断的奇偶性；

【答案】(1)

(2)为奇函数，证明见解析

【分析】（1）利用换元法，可得函数的表达式；

（2）根据奇函数定义判断可得答案．

【详解】（1）令，则，

因为，所以，所以，

由得，且，

所以；

（2）因为，

定义域关于原点对称，

，

所以为奇函数.

16．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求在区间［0，］上的最值.

【答案】(1)（kZ）

(2)最大值为1，最小值为-.

【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；

（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.

【详解】（1）=.

因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），

令（kZ），得（kZ）.

所以的单调递增区间为（kZ）.

（2）因为x∈［0，］，所以2x＋.

当2x＋=，即x＝时，最大值为1，

当2x＋=，即x＝时，最小值为-.

17．已知，.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值.

【答案】(1)；(2) ;(3).

【解析】(1)利用二倍角的正切公式求解即可；

(2)将分子分母同除得到，代值求解即可；

(3)先求得，再用两角差的正弦公式求解即可.

【详解】(1)

(2)

(3)

18．已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1），；（2）单调递减，见解析；（3）

【分析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.

（2）化简得到，，计算，得到是减函数.

（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.

【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，

即，所以．又由，即，

所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.

（2）在上单调递减.证明：由（1）知，

任取，设，则，

因为函数在上是增函数，且，所以，又，

所以，即，

所以函数在R上单调递减.

（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，

因为在上是减函数，由上式推得，

即对一切有恒成立，设，

令，

则有，，所以，

所以，即的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.