2022-2023学年广东省揭阳市惠来县第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

惠来一中2022－2023学年第一学期第一次阶段考试

高一数学

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 下列四组对象中能构成集合的是（　　）

A. 宜春市第一中学高一学习好的学生

B. 在数轴上与原点非常近的点

C. 很小的实数

D. 倒数等于本身的数

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足．

【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；

B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；

C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；

D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．

故选：D．

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.

【详解】由题意可得：

又

∴

故选：C

【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.

3. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；

通过作差法，，确定符号，排除C选项；

通过作差法，，确定符号，排除A选项；

【详解】由，且，故；

由且，故；

且，故.

所以，

故选：B.

4. 已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

【详解】由题意，若，则，故充分性成立；

若，则或，推不出，故必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5. 若、是全集的真子集，则下列四个命题①；②；③；④中与命题等价的有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论．

【详解】解：由得Venn图，

①；

②；

③；

④；

故和命题等价的有①③，

故选：B．

【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn图的应用，属于基础题．

6. 2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．

【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，

则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；

而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，

故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，

故选：C．

7. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.

【详解】由得 ，

若，则不等式无解．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

综上，满足条件的的取值范围是

故选：C．

8. 若，则下列不等式中，①；②；③；④.成立的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据得到，结合不等式的性质、基本不等式，对四个不等式逐一分析，由此判断出成立的个数.

【详解】由可知.

由两边乘以负数得，故①正确.

由得，故②错误.

由，结合基本不等式有，故③正确

由，结合基本不等式有，故④正确.

综上所述，正确的个数为个.

故选C

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，选对一个得2分，全对得5分）

9. 下列说法正确的有（　　）

A. ，

B. ，

C. 若p：，则：

D. 若p：，则：

【答案】BC

【解析】

【分析】通过举例判断A，B，根据含量词的命题的否定方法判断C，D.

【详解】当时，，A错误，

当时，，B正确，

命题“∃n∈N，n2＞2n”否定是命题“∀n∈N，n2≤2n”C正确，

命题“”的否定是命题“”，D错误.

故选：BC.

10. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在上取一点，使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由，得到，然后利用射影定理得到判断.

【详解】因为，

所以,

因为，

所以由射影定理得，

因为，

所以，当且仅当时取等号，

故选：BCD

11. 已知集合，，则下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则或 D. 若时，则或

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．

【详解】，若，则，且，故A正确.

时，，故D不正确.

若，则且，解得，故B正确.

当时，，解得或，故C正确.

故选：ABC．

12. （多选）下列说法正确的有（   ）

A. 的最小值为2

B. 已知x＞1，则的最小值为

C. 若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3

D. 设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.

【详解】解：对于A选项，当x=-1时，，故A选项错误，

对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，

则，

当且仅当时，等号成立，故B选项正确，

对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，

则，

，

当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，

对于D选项，

，

所以，可得，

当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为，D选项正确.

故选：BCD.

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知集合，，若，则实数__________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知及可得，则或，分别解出得值，再检验集合、满足互异性即可.

【详解】由已知及可得，

所以或，

当即时，此时不满足元素互异性，不符合题意，

当即或，

若则不满足元素互异性，不符合题意，

若则，，满足，符合题意.

所以实数，

故答案为：.

14. 若关于的不等式的解集是，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】由题意可得是方程的两个根，所以，从而可求得结果

【详解】解：因为关于不等式的解集是，

所以是方程的两个根，

所以由根与系数的关系可得，得，

故答案为：1

15. 已知，则的最大值为________．

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用基本不等式求最大值.

【详解】，则，

当且仅当即时取等号．

故答案为：

16. 已知集合A＝{x|a+1≤x≤2a+3}，B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}．若x∈A是x∈B的充分条件，则实数a的取值范围是_______

【答案】

【解析】

【分析】首先求出集合，A⊆B，分和两种情况..

【详解】解：B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，

∵若x∈A是x∈B的充分条件，

∴A⊆B，

若A＝∅，则2a+3＜a+1，即a＜﹣2时，满足题意；

若A≠∅，则满足，

即，此时﹣2≤a≤．

综上a≤．

故答案为

【点睛】本题考查了充分必要条件求参数取值范围，涉及不等式的解法，以及利用充分必要性转化为两集合间的包含关系，属于基础题型.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 设集合．求：

（1）；

（2）；

（3）

【答案】（1）   

（2）或   

（3）或.

【解析】

【分析】由集合的交并补混合运算直接得出答案.

【小问1详解】

由集合交集的定义，

；

【小问2详解】

由集合并集和补集的定义，

，

或；

【小问3详解】

由集合补集和交集的定义，

或，

或，

或.

18. 已知实数，，

（1）若，求的最小值．

（2）若，求的最大值与的最小值；

（3）求的最大值，并求此时x的值；

【答案】（1）9    （2）2，2   

（3）当时，

【解析】

【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式，即可得到结果；

（2）直接根据基本不等式即可得到结果；

（3）将原式化为，结合基本不等式即可得到结果.

【小问1详解】

由=，

当且仅当时等号成立

所以的最小值为

【小问2详解】

因为，又因为，所以，解得，

因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以2xy最大值为2；

因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以最小值为2．

【小问3详解】

，当且仅当时，

19. 设函数．

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）若，且，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；

（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.

【小问1详解】

由题意可知：方程的两根是，1

所以解得

【小问2详解】

由得

，成立，即使恒成立，

又因为，代入上式可得恒成立．

当时，显然上式不恒成立；

当时，要使恒成立

所以，解得

综上可知的取值范围是．

20. 已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

（1）当时，求；

（2）若______，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）选择①，；选择②，；选择③，

【解析】

【分析】(1)取化简，化简，再根据交集的定义求；

(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.

【小问1详解】

由题意得，.

当时，，

∴；

【小问2详解】

选择①.

∵，∴，

当时，，不满足，舍去；

当时，，要使，则，解得；

当时， ，此时，不满足，舍去.

综上，实数a的取值范围为.

选择②.

当时，，满足；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时，.

综上，实数a取值范围为.

选择③.

当时，，，∴，满足题意；

当时，，，要使，则，解得；

当时，，，此时，，满足题意.

综上，实数a的取值范围为.

21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【解析】

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【小问1详解】

由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

【小问2详解】

∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

22. 已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．

（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；

（2）求关于的不等式的解集．

【答案】（1）①③，，   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用假设法说明①②、②③均不符合题意，即则只能是①③，即可得到，是方程的两根，利用韦达定理及二次函数的性质计算可得；

（2）由（1）可得不等式即，对分、、、四种情况讨论，分别求出不等式的解集.

【小问1详解】

解：假设条件①②符合题意．∵，则二次函数的图象开口向下，

∴的解集不可能为，不满足题意．

假设条件②③符合题意．由，知二次函数的图象开口向下，无最小值，不满足题意．

∴满足题意的条件为①③．

∵不等式的解集为，∴，是方程的两根，

∴，，即，．

∴函数在处取得最小值，∴，即，

∴，．

【小问2详解】

解：由（1）知，则，即，

即．

∴时，原不等式即，解得，即不等式的解集为；

当时，解得，即不等式的解集为；

当时，解得或，即不等式的解集为或；

当时，解得或，即不等式的解集为或．

综上可得，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或．