2021-2022学年广东省云浮市高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省云浮市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合B，再根据交集的定义即可得解.

【详解】解：因为，所以．

故选：A.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式即可求得答案.

【详解】.

故选：B.

3．指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可

【详解】因为指数函数在R上单调递减，

所以，得，

所以实数a的取值范围是，

故选：D

4．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

在以下区间中，一定有零点的是（    ）A．（1，2） B．（2，4） C．（4，5） D．（5，6）

【答案】C

【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.

【详解】∵

∴ ，，，,

又函数的图象是一条连续不断的曲线，

由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点．

故选：C.

5．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.

【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．

故选：C.

6．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】只需要满足条件即可.

【详解】由题意，

整理可得，，解得.

故选：C.

7．已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象由的图象向右平移个单位长度得到，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.

【详解】由图象可得解得，．

因为，所以．又因为，所以．

因为，所以，，即，．又因为，所以．．．

故选：A.

8．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】C

【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.

【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,

由已知可得，

则，故．

故选：C.

二、多选题

9．下列结论中正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．命题“，”的否定是“，”

D．“”是“”的充分条件

【答案】AB

【分析】根据二倍角正弦公式的逆用，可知A正确；由，解出值，即可判断B项；根据全称量词命题的否定，写出命题的否定，可判断C项；举例可说明D项.

【详解】对于A项，根据二倍角正弦公式的逆用，可知，故A项正确；

对于B项，由，可知，故B项正确；

对于C项，命题“，”的否定是“，”，故C项错误；

对于D项，取，，则成立，，故D项错误.

故选：AB.

10．若函数满足，，则（    ）

A． B．

C．图像的对称轴是直线 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解.

【详解】由题得，即，解得，

所以.

对于A项，因为，故A正确；

对于B项，因为，故B正确；

对于C项，因为的对称轴为，故C项错误；

对于D项，因为，所以的最小值为，故D项正确.

故选：ABD.

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．的取值范围是

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质与基本不等式依次判断各选项即可.

【详解】解：对于A选项，当时，不成立，A错误.

对于B选项，因为，所以，，故BC正确；

对于D选项，当，时，，当且仅当时，等号成立，而，所以的取值范围是，故D错误.

故选：BC

12．已知函数.函数有四个不同零点，，，，，且，则（    ）

A．a的值范围是 B．的取值范围是

C． D．

【答案】AD

【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.

【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解．

的图象如下图示，

对于A项，由图知：当时，与直线有4个交点，故A项正确；

对于B项，由图知：，所以，即的取值范围是(0,＋∞)，故B项错误；

对于C项，，是的两个根，由二次函数的对称性得：，故C项错误；

对于D项，因为，是的两个根，则，即.

又，所以．

故选：AD

【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则______．

【答案】3

【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.

【详解】设，由于图象过点,

得，

，

，故答案为3.

【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

四、双空题

14．已知，则的最小值为______，此时x＝______．

【答案】     ；     .

【分析】根据基本不等式可求出和的最小值，根据等号相等的条件可求出的值.

【详解】因为，所以，

当且仅当，且，即时，等号成立.

故答案为：；.

五、填空题

15．若，则__________．

【答案】

【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.

【详解】若,则,所以.

故答案为:

【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.

16．函数，，且的最大值为3，则实数______．

【答案】

【分析】化简得.令，，可得.令，，则，根据基本不等式推得，推出.根据题意，列出方程，即可得到结果.

【详解】函数

.

令，，

则.

令，，则.

因为，当且仅当时，等号成立.

所以，当且仅当时，取等号.

所以，

解得，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：将函数变形为是本题求解的关键.

六、解答题

17．求下列各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据对数的运算性质，即可得出答案；

（2）现将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质，即可得出答案.

【详解】（1）.

（2）.

18．已知函数．

(1)求的值；

(2)求的最小正周期、最大值、最小值及单调递增区间．

【答案】(1)；

(2)最小正周期为，最大值为，最小值为，单调递增区间为

【分析】（1）将代入解析式，求解即可得出答案；

（2）由已知可得，即可得出最小正周期、最大值、最小值.解，即可得出的单调递增区间.

【详解】（1）由已知可得，.

（2）因为，.

所以，的最小正周期.

当时，有最大值为；

当时，有最小值为.

由可得，，

所以的单调递增区间为.

19．已知函数．

(1)判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

(2)用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；

(3)求f（x）在[－2，－1]上的值域．

【答案】(1)f（x）为奇函数，理由见解析

(2)证明见解析

(3)[－，－2]

【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；

（2）由单调性的定义证明；

（3）由单调性得值域．

【详解】（1）f（x）为奇函数．

由于f（x）的定义域为，关于原点对称，

且，所以f（x）为在上的奇函数

（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）

（2）证明：设任意，，

有．

由，得，

，

即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增．

（3）由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，

故f（x）的最大值为，最小值为，

所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]．

20．已知函数．

(1)若是偶函数，求a的值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）由偶函数的定义得出a的值；

（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围．

【详解】（1）因为是偶函数，所以，

即，故．

（2）由题意知在上恒成立，

则，又因为，所以，

则．令，则，

可得，

又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．

21．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．

(1)求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；

(2)在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少分钟，求t的最小值．

【答案】(1)

(2)25

【分析】（1）建立坐标系，由得出所求函数关系式；

（2）由得出，由余弦函数的性质得出第一圈满足持续的时间，再解不等式得出t的最小值．

【详解】（1）如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处为原点，

以地平面所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O到地面的距离为68米．

因为每转动一圈需要t分钟，所以．

．

（2）依题意，可知，即，

不妨取第一圈，可得，，

持续时间为，即，故t的最小值为25．

22．已知函数．

(1)当时，解方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，，求出，把原方程转化为指数方程，再利用换元法求解，即可求出结果；

（2）⇔|a+1|≥2x−12x，令，，则对任意恒成立，利用函数的单调性求出的最大值，再求解绝对值不等式可得实数的取值范围．

【详解】（1）解：当时，，．

原方程等价于且，，

即，且，，所以，且．

令，则原方程化为，整理得，

解得或，即或（舍去），所以．故原方程的解为．

（2）解：因为，所以，即．

令，因为，所以，．

则恒成立，即在上恒成立，

令函数，因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增．

因为，，所以，则，所以，

解得或．故的取值范围是．