广东省广州市八区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

2021学年第一学期期末教学质量监测

高一数学试题

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，由交集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，即，

故选：B.

2. 已知是第三象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由是第三象限角可判断，利用平方关系即可求解.

【详解】解：因为是第三象限角，且，

所以，

故选：A.

3. 已知指数函数的图象过点，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数过点代入求出，计算对数值即可.

【详解】因为指数函数的图象过点，

所以，即，

所以，

故选：C

4. 已知，若，则（    ）

A. 或 B. 3或5 C. 或5 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解.

【详解】解：由题意，当时，，解得或（舍去）；

当，，解得（舍去）；

综上，.

故选：D.

5. 函数的单调递减区间为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式，，即可得答案.

【详解】解：函数，

由，，得，，

所以函数的单调递减区间为，

故选：A.

6. 已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（    ）

A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断.

【详解】为奇函数,则，

但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数，

所以是的充分不必要条件，

故选：C.

7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出指数式方程，利用指数与对数运算公式求出的值.

【详解】由题意得：，即，两边取对数，，解得：.

故选：C

8. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项.

【详解】由题意可得，

对于A，是奇函数，故A正确；

对于B，不是奇函数，故B不正确；

对于C，，其定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C不正确；

对于D，，其定义域不关于原点对称，不是奇函数，故D不正确.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 以下满足的集合A有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.

【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，

则所有符合条件的集合A为,,.

选项BD均不符合要求，排除.

故选：AC

10. 下列命题正确的有（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BD

【解析】

【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可.

【详解】对于A选项，当时，满足，但是，故A不正确；

对于B选项，根据不等式性质可知准确，故B正确；

对于C选项，当时，满足，但是，故C不正确；

对于D选项，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

11. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由函数奇偶性的定义及指数函数与幂函数的性质即可求解.

【详解】解：对A：，定义域为R，因为，所以为偶函数，且时，，由幂函数性质知函数在上单调递增，故选项A正确；

对B：，定义域为R，因为，所以为奇函数，故选项B错误；

对C：，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，且时，，由指数函数的性质知函数在上单调递增，故选项C正确；

对D：，定义域为R，因为，且，所以函数不具有奇偶性，故选项D错误.

故选：AC.

12. 如图，对于任意正数．记曲线与直线所围成的曲边梯形面积为，并约定和．已知，则以下命题正确的有（    ）

A.  B.

C. 对任意正数k和，有 D. 对任意正数k和，有

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，根据题意，得到，再进行求解即可；同样的方法使用与BCD选项.

【详解】，A选项错误；

，，，B选项正确；

对任意正数k和，，，故，C正确；

对任意正数k和，有，D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】

【分析】真数大于0求定义域.

【详解】由题意得：，解得：，所以定义域为.

故答案为：

14. 已知，则___________．

【答案】2

【解析】

【分析】将齐次式弦化切即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：2.

15. 已知命题：，都有是真命题，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】

由于，都有，所以，从而可求出实数的取值范围

【详解】解：因为命题：，都有是真命题，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

16. 已知函数有两个零点分别为a，b，则取值范围是_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.

【详解】不妨设，

因为函数有两个零点分别为a，b，

所以，

所以，

即，且，

，

当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，

，

即，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数（，且）．

（1）若函数的图象过点，求b的值；

（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．

【答案】（1）1    （2）或

【解析】

【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.

【小问1详解】

，解得.

【小问2详解】

当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；

当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.

综上：或

18. 在①两个相邻对称中心的距离为，②两条相邻对称轴的距离为，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．

问题：函数的图象过点，且满足__________．当时，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】选①②③，答案相同，均为

【解析】

【分析】选①②可以得到最小正周期，从而得到，结合图象过的点，可求出，从而得到，进而得到，接下来用凑角法求出的值；选③，可以直接得到最小正周期，接下来过程与选①②相同.

【详解】选①②：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，

；

选③：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，

；

19. 已知函数．

（1）证明：函数在区间上单调递增；

（2）已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明；

（2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小.

【小问1详解】

证明：函数，

任取，且，

则，

因为，且，

所以，，

所以，即，

所以函数在区间上单调递增；

【小问2详解】

解：由（1）可知函数在区间上单调递增，

因为，，，

所以，

所以，即.

20. 已知函数的最小值为0．

（1）求a的值：

（2）若在区间上的最大值为4，求m的最小值．

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式化简，由正弦型函数的最值求解即可；

（2）由所给自变量的范围及函数由最大值4，确定即可求解.

【小问1详解】

，

，

解得.

【小问2详解】

由（1）知，

当时，，

，

，

解得，

.

21. 筒车是我国古代发明一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为，圆心O距离水面，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．

（1）根据如图所示直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m，在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求时，点P到水面的距离；

（2）在点P从开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于的时间有多长？

【答案】（1），m   

（2）4s

【解析】

【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h关于时间t的函数，和时的函数值；（2）先确定定义域，再求解不等式，得到，从而求出答案.

【小问1详解】

筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为，故，当时，，故点P到水面的距离为m

【小问2详解】

点P从开始转动的一圈，所用时间，令，其中，解得：，则，故点P到水面的距离不低于的时间为4s.

22. 已知函数．

（1）若函数在区间上有且仅有1个零点，求a的取值范围：

（2）若函数在区间上的最大值为，求a的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）结合函数图象，分四种情况进行讨论，求出a的取值范围；（2）对对称轴分类讨论，表达出不同范围下的最大值，列出方程，求出a的值.

【小问1详解】

①，解得：，此时，的零点为，0，不合题意；

②，解得：，此时，的零点为，1，不合题意；

③，解得：，当时，的零点为，不合题意；当时，的零点为，不合题意；

④，解得：，

综上：a的取值范围是

【小问2详解】

对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；

当，即时，，解得：或（舍去）；

当，即时，在上单调递增，，解得：（舍去）；

综上：