2021-2022学年广东省茂名市“五校联盟” 高一上学期期末联考数学试题含解析

2021-2022学年广东省茂名市“五校联盟” 高一上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.

【详解】由题意，集合，，∴.

故选：B.

2．命题“且”是命题“”的（       ）条件

A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】将化为，求出x、y值，根据充要条件的定义即可得出结果.

【详解】由，

可得，

解得x=1且y=2，

所以“x=1且y=2”是“”的充要条件.

故选：A.

3．不等式的解集是（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；

【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，

故选：D.

4．若，则（       ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】C

【分析】根据正弦、余弦函数的有界性及，可得，，再根据同角三角函数的基本关系求出，即可得解；

【详解】解：∵，，又∵，∴，，又∵，∴，∴，

故选：C

5．下列函数中既是奇函数又在定义域上是单调递增函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得正确.

【详解】对A，∵是奇函数，在(一∞，0)和(0，+∞)上是单调递增函数，在定义域上不是递增函数，可知A错误；

对B，不是奇函数，可知B错误；

对C，不是单调递增函数，可知C错误；

对D，，则为奇函数；当时，单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，根据奇函数对称性，可知在上单调递增，则D正确.

故选：D

6．某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宜传资金投入.若该政府2020年全年投人资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番（2020年的两倍）的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30）（       ）

A．2027年 B．2026年 C．2025年 D．2024年

【答案】B

【分析】根据题意列出指数方程，取对数，根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行求解即可.

【详解】设第n(n∈N)年该政府全年投入的资金翻一番，依题意得：120(1+12%)n－1=240，则

lg[120(1+12%)n-1]=lg240，∴lg120+(n-1)lg1.12=lg240，∴(n－1)lg1.12=lg2，∴，即该政府全年投入的资金翻一番的年份是2026年，

故选：B.

7．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得在上单调递增，，进而根据函数的单调性比较大小即可.

【详解】解：因为函数定义域为， ，故函数为奇函数，

因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递增，

因为，

所以，所以，

故选：C.

8．已知函数，若存在实数，（）满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】令=t，分别解得，，得到，根据参数t的范围求得最小值.

【详解】当0≤x≤2时，0≤x2≤4，当2<x≤3时，2<3x－4≤5，

则[0，4]∩(2，5]=(2，4]，令=t∈(2，4]，

则，，

∴，

当，即时，有最小值，

故选：A.

二、多选题

9．甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（       ）

A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多

【答案】AD

【分析】设投资总额为a元，分别求出甲、乙经历一次涨停与一次跌停后的资金数，即可判断；

【详解】解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：元，

乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：元，

故选：AD.

10．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由题知，，进而根据对称性得判断即可得答案.

【详解】解：由二次函数图象开口向下知：，对称轴为，即，故.

又因为，

所以.

故选：ACD.

11．已知函数，下列说法中正确的是（       ）

A．不是周期函数 B．在(0，)上是单调递增函数

C．在(0，)内有且只有一个零点 D．关于点(，0)对称

【答案】BCD

【分析】根据周期函数的定义、指数函数、正弦函数、余弦函数的单调性，结合零点定义和点对称的性质逐一判断即可.

【详解】∵，∴是周期函数，A错误；

当x∈(0，)时，sinx是增函数，cosx是减函数，∴是增函数，是减函数，是增函数，∴是增函数，B对；

由得sinx=cosx，因为 ，所以有，C对；

∵，

∴关于点(，0)对称，D对，

故选：BCD.

12．关于的函数有4个零点，则整数的可能取值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．9

【答案】ABC

【分析】利用对勾函数得性质画出函数图象，结合最值列出不等关系，求出实数k的取值范围，进而得到答案.

【详解】由对勾函数得单调性可知，

的图象大致如下：

x>0时，有两个零点，须满足：k>0，且；x<0时，有两个零点，须满足：k>0，且，

当时，当时，单调递增，无零点，当时，单调递减，有一个零点，故不合题意；

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，故不可能有4个零点，

综上：实数k的取值范围为[5，9)，

故选：ABC.

三、填空题

13．已知，则____________.（可用对数符号作答）

【答案】

【分析】根据对数运算法则得到，再根据对数运算法则及三角函数弦化切进行计算.

【详解】∵，∴，

又，.

故答案为：

14．已知，，且，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】由已知凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】因为，，且，

所以，当且仅当，即时等号成立．

故答案为：．

15．已知，则____________.

【答案】

【分析】求得函数的最小正周期为，进而计算出的值（其中），再利用周期性求解即可.

【详解】函数的最小正周期为，

当时，，，

，，

，，

所以，，

，因此，.

故答案为：.

16．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：

①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）

①；②；③；④.

【答案】②③

【分析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.

【详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；

∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；

∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；

在同一坐标系中画出与的图象如下：

由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；

在同一坐标系中画出与的图象如下：

所以没有实根，∴④不存在.

故答案为：②③.

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数运算法则化简求值；

（2）根据指数、对数的运算法则化简求值.

【详解】(1)

(2)

18．已知角的终边经过点，试求：

(1)tan的值；

(2)的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可；

（2）利用同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】(1)∵，

，

∴点P的坐标为(1，3)，由三角函数的定义可得：

；

(2)

.

19．已知函数（，），若函数在区间上的最大值为3，最小值为2.

(1)求函数的解析式；

(2)求在上的单调递增区间；

(3)是否存在正整数，满足不等式，若存在，找出所有这样的，的值，若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在，，或，或，

【分析】（1）根据函数在区间上的最大值为3，最小值为2，利用正弦函数的最值求解；

（2）利用正弦函数的单调性求解；

（3）先化简不等式，再根据，为正整数求解.

【详解】(1)解：∵，

∴，

∴，

又∵m>0，最大值为3，最小值为2，

∴，解得m=2，n=1.          

∴.

(2)令，k∈Z，

得到，k∈Z，        

当k=0时，，

∴在[0，2]上的单调递增区间是.

(3)由，得，     

∵a∈N，b∈N，

∴a=1时，b=1或2；a=2时，b=1；a>2时，b不存在，                         

∴所有满足题意的a，b的值为：a=1，b=1或a=1，b=2或a=2，b=1.

20．某手机生产商计划在2022年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产（千部）手机，需另投人成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.5万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；（利润销售额成本）

(2)2022年产量为多少千部时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?

【答案】(1)

(2)2022年产量为千部时，该生产商所获利润最大，最大利润是3800万元

【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型得；

（2）结合（1）的函数模型，分类讨论求解最值即可得答案.

【详解】(1)解：销售千部手机获得的销售额为：

当时，；          

当时，    

故，

(2)解：当时，，

当时，，       

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

因为，

所以当 (千部)时，所获利润最大，最大利润为：3800万元.

21．已知函数为偶函数.

(1)求的值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)根据奇偶函数的定义可得，列出方程，结合对数运算公式解方程即可；

(2)根据指数、对数函数的性质求出函数，进而得到，解不等式即可.

【详解】(1)∵是偶函数，

∴，       

即，∴

(2)由(1)知，

∴        

又由

解得，          

∴当且仅当x=0时等号成立，          

∴

∴               

又∵恒成立，

∴          

∴m≤－1或m≥3

22．已知函数，.

(1)若在区间上是单调函数，则的取值范围；

(2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)或；

(2)存在，且的取值范围是.

【分析】（1）分、两种情况讨论，根据函数在区间上单调可出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围；

（2）分、、、四种情况讨论，分析两个函数在区间上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.

【详解】(1)解：当时在上单调递减.

当时，是二次函数，其对称轴为直线，

在区间上是单调函数，或，即或，

解得：或或.

综上：或.

(2)解：①当时，单调递减，单调递增，

则函数单调递增，

因为，，

由零点存在定理可知，存在唯一的使得，

此时，函数与函数在区间上的图象有唯一的交点，合乎题意；

②当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，

所以，在上单调递减，单调递增，

则函数在上单调递增，

要使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，

则，解得，此时；

③当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，

则在上单调递减，在上单调递增，

则函数在上单调递增，

要使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，

则，解得，此时；

④当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，

所以，在上单调递增，在上单调递增，

则，，所以，在上恒成立，

此时，函数与函数的图象在区间上没有交点.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.