2021-2022学年广东省云浮市高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年广东省云浮市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求集合B，然后取交集即可.

【详解】因为，

所以.

故选：A

2．若函数则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据解析式直接计算即可.

【详解】因为，所以.

故选：C.

3．某班一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则估计该班这次数学考试的平均分为（       ）

A．85 B．90 C．95 D．105

【答案】C

【分析】利用正态分布的性质计算可得答案.

【详解】因为，所以估计该班这次数学考试的平均分.

故选：C.

4．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（       ）

A．为上的奇函数 B．为上的奇函数

C．为上的偶函数 D．为上的偶函数

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性定义逐项判断可得答案.

【详解】因为为上的奇函数，为上的偶函数，

所以，，

对于A， ，设，则，故错误；       

对于B， ，设，则，故错误；

对于C， ，，设，，故错误；

对于D，， 设， ，所以为偶函数，故正确.

故选：D.

5．下列结论正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】根据不等式的性质及指数函数、幂函数的性质判断即可；

【详解】解：对于A：若，则，故A错误；

对于B：因为幂函数在上单调递增，所以当时，故B正确；

对于C：若，则，所以，故C错误；

对于D：因为指数函数在定义域上单调递增，所以当时，故D错误；

故选：B.

6．已知函数的零点分別为，则的（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出的图象与，，的图象，根据交点可判断.

【详解】由题可得即为的图象分别与，，的交点的横坐标，

如图，画出函数图象，由图可得，.

故选：A.

7．已㭚，若，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据可得到方程，求得，结合n的取值，可得答案.

【详解】由题意可知，

因为，所以，

整理得，即，

又，且，所以，

故选：B

8．是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析可得，可得出的值，求出的值，推导出函数是以为周期的周期函数，利用函数的周期性和对称性可求得的值.

【详解】因为是奇函数，所以，则，

所以，，解得，所以，，

又是偶函数，所以，

故，则是以为周期的周期函数，

因此，

故选：A.

二、多选题

9．下列函数求导正确的是（       ）

A．已知，则

B．已知，则

C．已知，则

D．已知，则

【答案】AD

【分析】根据初等函数和复合函数的求导方法计算即可.

【详解】对于A，已知，则，故正确；

对于B，已知，则，故错误；

对于C，已知，则，故错误；

对于D，已知，则，故正确.

故选：AD.

10．已知随机变量X的分布列为

下列结论正确的有（       ）A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】利用分布列的性质判断A，期望、方差的定义计算判断B，D；期望的性质计算判断C作答.

【详解】由分布列的性质得：，解得，A正确；

，B正确，C不正确；

，D正确.

故选：ABD

11．下列说法正确的是（       ）

A．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法

B．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种

C．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种

D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种

【答案】ACD

【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确；

对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法，

所以共有种排法，故B错误；

对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法，

所以共有种排法，故C正确；

对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，

若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，

所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D正确.

故选：ACD

12．已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列结论正确的有（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若是增函数，则是减函数

D．若是减函数，则是增函数

【答案】BD

【分析】，求导后确定出函数的单调性，由单调性判断AB，利用函数单调性的性质判断CD．

【详解】令函数，则，则在R上单调递增．

当时，；

当时，．

A不正确，B正确．

，是增函数，若是增函数，则的单调性不确定；若是减函数，则是增函数．C不正确，D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．命题“”的否定是 ____________.

【答案】

【详解】原命题是全称命题，其否定为.

14．袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个黄球，每次从袋子中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是___________.

【答案】0.5

【分析】利用条件概率的公式计算即可.

【详解】记事件第1次摸到红球，事件第2次摸到红球，

第1次摸到红球的事件种数，

在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的事件种数，

则.

故答案为：.

15．已知，则的最小值为___________.

【答案】9

【分析】由展开利用基本不等式可求解.

【详解】因为，

所以，当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为9.

故答案为：9.

四、双空题

16．中国象棋是中国棋文化､也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，使用方格状棋盘，每个棋子摆放和活动在交叉点上.其中象位于A处，其移动规则为循着田字的对角线走两格，即下一步可到达的地方为B或D；同理，若象位于D处，下一次可到达的地方为A，C，E或G.已知象从某位置到达下一个位置是随机的，假设象的初始位置是在A处，则走2步后恰好回到A处的概率为___________，4步后恰好回到A处的概率为___________.

【答案】         

【分析】列出树状图,根据树状图和相互独立的概率公式求解即可.

【详解】走3步后象到达位置的所有情况可以用树状图表示，则走2步后恰好回到处的概率；

走4步后恰好回到处的概率.

故答案为：；

五、解答题

17．（1）求展开式中第8项的二项式系数及第4项的系数；

（2）若，求.注：结果用数值表示.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用二项式系数的定义、二项式展开式的通项公式列式计算作答.

（2）利用赋值法直接计算作答.

【详解】（1）展开式的通项是，

所以展开式中第8项的二项式系数为，

其第4项的系数为.

（2）因，

则令，得，令，得，

所以.

18．已知函数．

(1)求的单调区间及极值；

(2)求在区间上的最值．

【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为和；极小值；极大值

(2)最大值为；最小值为

【分析】（1）求出函数的导函数，得到，的变化表，即可得到函数的单调区间与极值；

（2）由（1）可得在区间上的单调性，求出区间端点值，即可得到函数的最值；

【详解】(1)解：函数的定义域为R，．

令，得或．

当变化时，，的变化情况如表所示．

故的单调增区间为，单调减区间为和．

当时，有极小值；当时，有极大值．

(2)解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为．

又，，，所以在区间上的最小值为．

19．某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表．

(1)在给出的坐标系中画出散点图；

(2)建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；

(3)利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少．

（参考公式：线性回归方程中的系数，）

【答案】(1)见解析

(2)

(3)107万元

【分析】（1）根据表中数据直接描点即可；

（2）根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案；

（2）根据回归方程，将代入即可得解.

【详解】(1)解：如图所示，

(2)解：，，

则，

，

所以，

则，

所以销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；

(3)解：由（2）得，当时，，

所以当广告费用支出为12万元时，销售额为万元.

20．已知函数.

(1)若，求的图象在处的切线方程；

(2)若对于任意的，当时，都有，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；

（2）原问题等价于，即，令函数，由题可知在上单调递增，则在上恒成立，然后分、和三种情况讨论即可求解.

【详解】(1)解：因为，所以，

所以，

所以的图象在处的切线方程为，即；

(2)解：因为，所以等价于，即，

令函数，由题可知在上单调递增，

所以在上恒成立，

若，则恒成立，显然在上单调递增，符合题意；

若，则，则在上恒成立，即，解得；

若，则，则在上恒成立，即，解得.

综上，实数的取值范围为.

21．为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过55kg的关联性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．

单位：人

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？

(2)按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过55kg的学生中抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记选中的女生数为X，求X的分布列与期望．

参考公式和数据：，n＝a＋b＋c＋d．

【答案】(1)可以认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联；

(2)分布列见解析，1.

【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.

（2）求出抽取的9人中男女生人数，再求出X的可能值及对应的概率，列出分布列、计算期望作答.

【详解】(1)零假设为：该中学高三年级学生的性别与体重无关联，

根据列联表中的数据，经计算得到

，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．

(2)依题意，抽取的9人中，男生有人，女生有人，

从中任意选取3人，X的取值可能为0，1，2，3，

且，，，．

则X的分布列为

故．

22．已知函数．

(1)若的最小值为，求的值；

(2)证明：当时，有两个不同的零点，，且．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而求出的值；

（2）由（1）及零点存在性定理得到在和上各有一个零点，不妨设，则，，对其两边取对数，即可得到，则要证，即证，再令，，即证，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；

【详解】(1)解：因为定义域为，所以，

①当时恒成立，此时在定义域上单调递增，函数无最小值，不符合题意；

②当时，令，解得，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得；

(2)证明：由（1）可知，当时，

又，，所以在和上各有一个零点，

即有两个不同的零点，，不妨设，

即，，

即，，

两边取对数可得，，

所以，即，

要证，即证，

即证，

令，，即证，

令，，

所以，

所以在上单调递增，又，所以，即，

所以，得证.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化不等关系为，再构造函数即可得证.