四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二下学期第三次考试（6月）数学（文科）试题及答案

四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二下学期第三次考试（6月）

数学（文科）试题

一、单选题（每题5分，共60分）

1．已知，则在复平面内复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为（    ）

A． B． C． D．

3．设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

4．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

7．．已知函数，则的大致图象为（    ）

A．B．C．D．

8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

9．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ）

A．3 B．4 C． D．6

10．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知点O为坐标原点，点F是椭圆的左焦点，点，分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且轴，过点A的直线l交线段PF于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则椭圆C的离心率（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．设为虚数单位，复数的实部与虚部的和为12，则___________.

14．过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.

15．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．

16．已知函数在上单调递增.则的取值范围为__________.

三、解答题（第17题10分，其余试题每题12分，共70分）

17．（本题10分）已知抛物线上一点到焦点F的距离为4．

(1)求实数p的值；

(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．

18. （本题12分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．

已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为．

(1)完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．

附：，其中，．

19．（本题12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．

(1)求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；

(2)若射线与圆的交点为P，与圆的交点为Q，求的值．

20. （本题12分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点．求证：

(1)底面；

(2)平面平面

21．（本题12分）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，离心率，点E在椭圆C上，的面积的最大值为．

(1)求C的方程；

(2)设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：为定值．

22．（本题12分）已知函数.

(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若恒成立，求实数a的取值范围.

                      高二下期第三次考试数学

                      （文科试题答案）

1．A 2．D  3．A 4．C 5．C 6．A 7．C  8．D 9．B 10．A 11．D 12．D

11．D

【详解】如图，设OE上靠近O点的三等分点为N，椭圆的半焦距为c，轴，则，

在中，，在中，由，得，

而，则，即，解得，又，于是，

所以椭圆C的离心率.

12．D

【详解】由题知，在上恒成立，即在上恒成立，

当时，恒成立，；

当时，恒成立，令，则，

令，得，令，得，令，得，

则，可得；当时，恒成立，

此时，故只需，即；综上，的取值范围为.

二、填空题 13．2  14．  15．/  16．

16【详解】由题得.

由题可知在上恒成立，即，

即在上恒成立，

因为，所以，解得. 故答案为：

17．(1) (2)或

【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离， ，解得：；

（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为F，

显然直线l斜率不为0，设直线l为：，，

联立直线与抛物线方程：，得：，

则，，则

所以 ，解得，

所以直线l为：或；

综上， ，直线l为：或.

18【详解】（1）设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，则，解得．

列联表完成如下．

（2）由（1）可知，，

因为，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．

19 【详解】(1)

圆，即，则，

圆，即，则，

两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：．

(2)将代入圆和圆的极坐标方程得：，，

所以．

20【详解】（1）因为平面底面，，

平面底面，平面，

所以底面.

（2），，为中点，

，则四边形平行四边形，

，所以四边形为矩形，

，.

底面，平面，.

又平面，且，

平面，平面，.

和分别是和的中点，，.

又，，平面，

平面，平面，

平面平面.

21．(1)(2)证明见解析

【详解】（1）设C的半焦距为，

由题意可得，解得，

所以C的方程为．

（2）由（1）可得，，

设椭圆上任意一点，

所以直线AM的方程为，

令，得，即

同理可得 ，

所以，

∵在椭圆上，则，整理得，

∴（为定值）.

22．(1)

(2)当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(3)

【详解】（1）当时，，则.

根据导数的几何意义，可得函数的图像在点处的切线斜率，

又.

所以，切线方程为，整理可得.

（2）定义域为R，.

当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；

当时，解，即，解得，

解，得，则在上单调递增，

解，得，则在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（3）由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.

则由（2）知，在时，取得最小值.

要使恒成立，则只需满足即可，即.

令，即.

.令，则.

当时，，当时，，

所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.

又，所以，所以有.

即当时，，有成立.

所以，实数的取值范围为.