2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形 （含答案）

这是一份2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形 （含答案），共60页。试卷主要包含了抛物线经过点和点，已知等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形
1．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线．

(1)求该二次函数表达式；
(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线交x轴于点A和点B（A在B左边），与y轴交于点C，P是抛物线上第一象限内的一个动点

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)连接交线段于点D，当与x轴不平行时，的最大值 ；
(3)若直线交于点M，是否存在这样的点P，使以B、O、M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为1的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动．

(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)求的最小值；
(3)过点作轴于点，当和相似时，求点的坐标．
4．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点M以每秒1个单位的速度从点C沿向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与相似时，求运动时间t的值；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点H、K，求证：为定值．
5．抛物线经过点和点．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点M、N．
①连结，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连结，过点C作，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得与相似？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．

(1)求抛物线解析式．
(2)点是抛物线上的一点．
①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标．
②当时，求点的坐标．
7．已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
8．已知：如图，，，点的坐标为，抛物线过、、三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于点，求四边形的面积；
(3)在轴上方轴左侧的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知菱形的边长为5，且点，点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线与边AB交于点D．

(1)求点E的坐标；
(2)连结，将沿着翻折痕．
①当点B的对应点恰好落在线段上时，求点D的坐标；
②连接，，若与相似，求出此时抛物线二次项系数a的值．
10．如图①，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线，是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)过点向轴作垂线（如图②），垂足为点，是否存在点，使与相似？若存在，请求出点横坐标的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．

(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
12．如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)连接BC，CD，DB，求的正切值；
(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，直线与对称轴交于点，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使和相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点，点C的坐标为，，点C关于点B的对称点M刚好落在抛物线上，连接AM．

(1)求点M的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)过点M作MD平行于y轴交AB于点D，若点E为抛物线上的一点，点F在x轴上，连接AE，AF，EF．是否存在点F使得△ADM与△AEF相似？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线）与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0.2）．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段BC上方抛物线上的动点，过点P作AC的平行线交线段BC于点Q，求PQ的最大值；
(3)已知点M是直线BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若，且相似，求此时N点的横坐标．
15．如图，抛物线与轴交于A（），B（4，0），过点A的直线与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线AC的下方，且时，求点P的坐标；
(3)当直线PD为时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由．
16．已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．

(1)求点、的坐标；
(2)连接，若的中点为点，请你求经过点和点的直线表达式；
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出所有点坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线交轴于、两点，点坐标为，与轴交于点，以、为边作矩形交抛物线于点．

(1)求抛物线的关系式：
(2)现有一条垂直于轴的直线在、两点间（不包括、两点）平行移动，分别交轴于点，交于点，交于点，交抛物线于点，请用含的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连结，则在上方的抛物线部分是否存在这样的点，使得以、、为项点的三角形和相似？若存在，求出此时的值，并直接判断的形状；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线经过点，点，交y轴于点A，点H是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE⊥x轴于点E，交线段AB于点D，HQ⊥y轴，交y轴于点Q．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若四边形HQOE是正方形，求该正方形的面积．
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点H，使得以点O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．(1)y＝﹣x2﹣x+2
(2)存在，点M（0，2）或（0，）
(3)存在，（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，0）或（﹣，2+）或（﹣，2﹣）

【分析】（1）分别求出点A，点C的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；
（2）以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可；
（3）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可．
【解析】（1）对于，当时，，即点，
令，则，即点.
∵抛物线的对称轴为直线，则点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
设二次函数表达式为：，
∵抛物线过点，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）存在，理由：
在中，，，则，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，
∴或，
∴或，
即或，
解得：或2，
即点或；
（3）存在，理由：
根据题意对称轴，设点，
由点A、C、P的坐标得：，，，
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或；
当时，则，
解得：，
即点；
当时，则，
解得：，
即点P的坐标为：或．
综上，点P的坐标为：或或或或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键．
2．(1)A点为，B点为，C点为
(2)
(3)存在，或者

【分析】（1）对于，令，得；令，得，从而可得结论；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作交于点，设，得，求出，证明，得，得，再运用二次根式的性质可得结论；
（3）由勾股定理求出，过作，可求，设的解析式为，分和两种情况利用相似三角形的性质求出点的坐标，从而求出直线的解析式，再联立方程并求解方程即可得到点的横坐标
【解析】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，，
综上，，，；
（2）解：过点作交于点，如图，

设直线的解析式为
又，，
将两点坐标代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为
设点的横坐标为，则，








∴抛物线开口向下，图象有最高点，
∴当时，的最大值为；
故答案为：；
（3）解：，



由勾股定理得，

过M作轴于N，则
依题意，
设的解析式为，
∵∠OBM是公共角，
∴或者，
当时，，
即，
解得，
∴，则，
此时，
则，
解得，，
∴OM解析式为，
解得或（不合题意，舍去），
当时，，即，
解得，，
∴，则，
此时，
则，
∴OM解析式为，
解得或（舍去），
综上，P点横坐标为或者时符合题意．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质、二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（2）问将比例转化是关键，第（3）问求出点M坐标是解题关键．
3．(1)，，
(2)6
(3)，或，或，

【分析】（1）由可得，，；
（2）将向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴于，可知四边形是平行四边形，及得，而，，共线，故此时最小，最小值为的值，由勾股定理可得，即得最小值为6；
（3）由在得抛物线对称轴为直线，设，，则，，，，，知，，，，①当时，，可解得，或，；②当时，，得，．
【解析】（1）解：在中，
令得，
令得或，
，，；
（2）将向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴于，如图：

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，共线，
此时最小，最小值为的值，
，，
，
，
，
，
最小值为6；
（3）如图：

由在得抛物线对称轴为直线，
设，，则，，，，，
，；
，，，，
，
和相似，只需或，
①当时，，
解得或，
，或，；
②当时，，
解得或（舍去），
，，
综上所述，的坐标是，或，或，．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
4．(1)，
(2)当或时
(3)见解析

【分析】（1）用待定系数法求解该函数的表达式，再化为顶点式即可；
（2）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；
（3）先求出点G的坐标，根据直线l与抛物线只有一个公共点可得方程只有一个实数解，根据根的判别式，求出m，利用待定系数法可得直线的解析式，即可得出点H的横坐标，同理可求出点K的横坐标，即可求解．
【解析】（1）解：将、代入得：
，解得：
∴抛物线的函数表达式为：，
∵，
∴顶点为；
（2）解：依题意，t秒后点M的运动距离为，则，点N的运动距离为．
由题意点，
所以，
①当时，
∴ ，
解得：；
②当时，
∴ ，
解得：；
综上所述，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与相似；
（3）解：∵点和点G关于点的对称，
∴ ，
∵直线l：与抛物线只有一个公共点，
∴ 只有一个实数解，
∴，
即： ，
解得： ，
设直线的解析式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为： ，
同理可求得直线的解析式为： ，
联立 ，结合已知，
解得： ，
同理可得： ，
∵，
∴，且，
则：，
，
∴，
∴的值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，用待定系数法求解函数表达式，相似三角形的性质和判定，函数与方程的关系，解题的关键是熟练掌握相关内容，具有分类讨论和数形结合的思想．
5．(1)
(2)或

【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）联立抛物线与直线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，根据三角形面积公式可得出，利用二次函数的性质即可解决最值问题；利用相似三角形的性质可得出：若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，进而可得出，，，，将其代入或中即可求出x的值，结合即可得出点P的坐标．
【解析】（1）∵抛物线经过点和点，
，
解得，
该抛物线对应的函数解析式为；
（2）联立抛物线与直线的解析式成方程组，
得：，
解得：，，
点C的坐标为，点D的坐标为．
设点P的坐标为，则点N的坐标为，
，
．
，
当时，取最大值，最大值为64，
在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为64．

，
若与相似，则有或．
设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，
，，，．
当时，有，
解得：，舍去，
点P的坐标为；
当时，有，
解得：，舍去，
点P的坐标为．
综上所述：存在点P，使得与相似，点P的坐标为或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出；分、两种情况求出x的值．
6．(1)
(2)①或；②或

【分析】（1）先根据直线的解析式求出点和的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①设出点的横坐标为，用的代数式表示和，然后根据相似三角形的两种情况，由两组对应角相等，利用相等的三角函数值列出关于的方程即可；
②过点作平分，交拋物线于点，过点作轴，交于点，可得到，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，可确定点G的坐标，进而求出直线BG与抛物线的交点坐标，便可得出其中一个满足条件的点坐标；利用翻折，设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，进而求得直线BN与抛物线的交点坐标，便可得出另一个满足条件的点坐标．
【解析】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于、两点，
当时，，
∴，，
当时，得，解得：，
∴，，
∵，设，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，
∴，
解得：．
∴拋物线的解析式为．
（2）①设，
∵轴交于点，轴交于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴和相似分以下两种情况：
当时，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上所述，当和相似时，点的坐标为或．
②如图，过点作平分，交拋物线于点，
∴，
∴，
过点作轴，交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点G的坐标为，
又∵，
设直线BG的解析式为，
∴，
∴直线BG的解析式为，
由，
解得：，，
∴；
将直线沿轴翻折，交拋物线于点，
∴，
设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，
∵直线BG的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴设直线BN的解析式为，
∴
∴，
由，
解得：，，
∴．
综上所述，当时，点坐标为或．

【点评】本题考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解，利用方程组确定两个函数图像的交点．分类讨论的应用是解题的关键．
7．(1)
(2)或
(3)存在符合条件的点，且坐标为：，，，，

【分析】（1）根据，可得，将，的坐标代入抛物线解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据小得到的抛物线的解析式，可求得点的坐标，分点在轴上方和在轴下方两种情况，根据相似三角形和轴点的坐标特征即可得点的坐标．
（3）根据，的坐标，可知进而由相似三角形可得或者，可设出点的横坐标根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，然后表示出，的长，从而得出点的坐标．
【解析】（1）解：∵且
    ∴
    ∴将代入抛物线及解析式中，
∴可得： ，解得；
∴
故答案为：．
（2）如图：

解：∵，
∴
∴
∴
∵函数解析式为：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
当点在轴上方时
∵
∴
∴=
∴=
∴
∵
∴
当点在轴下方时
∵
∴点和点关于轴对称
∴点的坐标为
故答案为：或者．
（3）解：∵
∴
∵
若以，，为顶点的三角形与相似
∴或者
∴或者
设则
如图：

∵当时
∴
若
∴
解得
若
∴
解得
∵且
∴上述四个结果都不符合题意
如图：

∵当时，
∴
若
∴
解得(舍去)
若
∴
解得(舍去)(舍去)
∴，
如图

∵当时，
∴
若
∴
解得（舍去），
若
∴
解得：(舍去)，
故）或者
综上所述符合，存在符合条件的M点，且坐标），，
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，要注意的是第二和第三小问需要分类讨论，一定要考虑全面，以免漏解．
8．(1)
(2)
(3)存在点，使与相似

【分析】（1）由题意知，为等腰直角三角形，则，由此可得、、的坐标，进而利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）由，可得，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，由于点位于抛物线的图象上，将点代入抛物线的解析式中，即可确定点的坐标；易知的长，可分别求出和的面积，它们的面积之和即为四边形的面积；
（3）根据、、的坐标，可求出、的长，由于，若以、、三点为顶点的三角形与相似，那么它们的对应直角边对应成比例，可设出点的横坐标，然后表示出、的长，进而可根据①，②，两种情况下所得不同的比例线段，求出不同的点的坐标．
【解析】（1）解：，，
为等腰直角三角形，
点，
点，点，
设抛物线的解析式为，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：，
，
，
；
过点作轴于点，则为等腰直角三角形；

令，则，
；
点在抛物线上，
，解得，（不合题意，舍去），
；
四边形的面积．
（3）解：假设存在符合条件的点．

，
，
轴于点，
，
在中，，
，
在中，，
，
设点的横坐标为，则，
点在轴上方轴左侧，
；
①当时，有，
，，即，
解得（舍去），（舍去）；
②当时，有，
即，
解得（舍去），；
综上可知，存在点，使与相似．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标意义、相似三角形的判定和性质，注意（3）小问中，要根据相似三角形不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．
9．(1)
(2)或；或

【分析】（1）过点B作轴，垂直为E，过点A作轴，垂直为F，由条件可得，，根据菱形的性质，求出B，C的坐标，则E点坐标可求出；
（2）①求出直线的解析式为，由求出的坐标，再设，由可得m的方程，则D点坐标可求出；
②分别根据点在的上方和下方两种情况进行讨论，当在的下方时，证明四边形是菱形即可求出点D的坐标；当在的上方时，证明三角形为等腰三角形求出点F的坐标，从而求出直线的表达式，根据求出点的坐标，再根据求出点D的坐标，根据抛物线过点A，E，D三点，由待定系数法可求出a的值．
【解析】（1）解：（1）如下图所示，过点B作轴，垂直为E，过点A作轴，垂直为F，

∵点
∴，,
∵四边形为菱形，
∴，，,
∴，，
∵点E是线段BC的中点
∴；
（2）①设，把点和代入，
解得：，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得或，
∴或，
∵点D在上，
∴设点，
∵，
∴或
解得或，
∴或．
②当在下方时，如下图所示，连接，，

∵四边形是菱形，
∴
∵与相似，
∴，
∴与重合，点在OB上
∵
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴点，
∵抛物线过点，，，
∴
解得．
当当再AB上方时，如下图所示,延长交轴于点F，

∵与相似，
∴，
∵平行轴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
设直线为，代入和得
，
解方程组得，，
∴直线为，  
设，
∵
∴，
解得或，
当时，点与点B重合，舍去，
当时，点，
设点，
∵，
∴，
解方程得，
∴，
抛物线过点，，，
∴
解得．
故答案为：或．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质，折叠的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，用方程的思想是解题的关键．
10．(1)抛物线表达式为
(2)四边形ABCD面积最大值为，点D的坐标为
(3)存在，m的值是或–1或

【分析】（1）先求出的坐标，根据对称轴为，列方程组，求解即可；
（2）连接，由题意可得：点D的坐标为(m，)，根据求得与的关系，利用二次函数的性质，求解即可；
（3）根据相似三角形的性质，求得点坐标，再代入抛物线解析式，求解即可．
【解析】（1）解：把代入中，得．
∴点C坐标为．
把代入中，得．
∴点A坐标为．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即．
由题意列方程组，得
解得
∴抛物线表达式为．
（2）解：连接，
∵点B与点关于直线对称，
∴点B的坐标为．

由题意，点D的坐标为(m，)．
∴

=
=
∵，
∴当时，四边形面积最大值为．
．
∴此时点D的坐标为．
（3）解：存在

由题意可得：，，，
∵与相似，
∴或
∴或
∴或
∴点的坐标为或或或
把代入，得：
解得；
把代入，得：
解得；
把代入，得：
解得；
把代入，得：
解得，舍去；
∴的值是或–1或．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和相似三角形的性质．
11．(1)见解析
(2)①；②或．

【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值；
②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【解析】（1）解：令，得，
，
令得，
，
，
，，
，
，
，
，
（2）①设直线的解析式为：，代入，得
，
，
，
设，
，
，
∴，
∴，
，


，
，
，
，
，
即的最大值为9；
②点是的中点，
在中，，
即为等腰三角形，

，
，
，
，
，
若以点为顶点的三角形与相似，
则①，
，
又，
，
，
，，
，
，，
或，
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又，
，
，
，
整理得，，
，，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键．
12．(1)，D（1，-4）
(2)
(3)存在，（1，0）或（1，）

【分析】（1）将点B、的坐标代入，即可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）求得BC，CD，DB的长，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）根据二次函数的对称性得，可得直线为，则，由（2）可知是直角三角形，，若和相似，可分和两种情况进行分析，借助相似三角形的性质求解即可．
【解析】（1）解：将点B、的坐标代入抛物线表达式，
可得，解得，
故抛物线的解析式为；
∵，
∴；
（2）解：如下图，连接BC，CD，DB，

∵，
∴，，
，，
，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，的对称轴为，
∴，
又∵，可设直线BE的解析式为，将点B、E的坐标代入，
得，
解得，
∴直线为，当时，，
∴，
由（2）知是直角三角形，，
若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点在轴上，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴和，
∴；
②时，

∵，
∴，
∵和，
∴，
∴，
解得，
∴点的纵坐标为，
∴．
综上所述，存在，点的坐标为或．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、勾股定理及逆定理的应用、求正切值、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质，用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键．
13．(1)
(2)
(3)存在，

【分析】(1）先由“点C的坐标为，”这些条件求得B的坐标，再利用轴对称的性质从而得到点M的坐标；
(2）由“点C的坐标为，”这些条件先求得点A、B的坐标，将点A、C的坐标代入求解即可；
(3）先根据已知条件和前面的结论证明△ADM是顶角为120°的等腰三角形，然后再分类讨论求出所有可能的结果即可，点F在点A左侧的情况有四种结果，点F在点A右侧的情况有两种结果，共有6种结果．
【解析】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
∵M是C关于B的对称点，即B是CM的中点，
∴．
（2）如下图，

∵C的坐标为，由（1）知，，
∴，．
∵抛物线经过A，B，M三点，
把点坐标分别代入，得
，解得，
∴．
（3）解：存在点F使得△ADM与△AEF相似．
根据题意得，在△ABC中，，
，
分类讨论：有六种情况．
如图2，
①当，时，；
②当，时，；

如图3，
③当，时，；
④当，时，；

如图4，
⑤当，时，；

如图5，
⑥当，时，．

综上所述，点F的坐标共有6个：

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握轴对称的性质及二次函数的解析式的求法即待定系数法、相似三角形的判定是解题的关键．
14．(1)；
(2)；
(3)N的横坐标为

【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x﹣3），将点C坐标代入求出a即可得到解析式；
（2）过P点作PD∥y轴交BC于D，过点A作AE∥BC交y轴于E．求出直线BC的解析式，证明△CAE∽△PQD，得到，由△AOE∽△BOC求出EO得到CE的长，由此求出，PQ是PD的正比例函数，当PD最大时，PQ最大．设P（x，），则D（x，）根据函数的性质得到PQ的最大值；
（3）过点N作x轴的平行线，与y轴交于点G，过点M作MH⊥GN，垂足为H．可证△GCN∽△HNM，得，设点N的坐标为（n，），则GN＝n，GC＝，当△NCM∽△OCB时，，求出NH＝CG＝，HM＝NG＝n，得点M的坐标，代入直线BC上，求出n即可．
(1)
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x﹣3），
将点C（0，2）代入，得：﹣3a＝2，
解得：，
∴该抛物线解析式为：；
(2)
如图，过P点作PD∥y轴交BC于D，过点A作AE∥BC交y轴于E．

设直线BC的解析式为，
则，∴，
∴直线BC的解析式为；
∵∠ACD=∠CQP，∠AEO=∠ECB=∠CDP，
∴∠CAE=∠PQD，
∴△CAE∽△PQD，
则，
∵△AOE∽△BOC，   
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴PQ是PD的正比例函数，当PD最大时，PQ最大．
设P（x，），则D（x，）
PD＝
PD＝，
∵，
∴当时，
，
则；
(3)
如图2，过点N作x轴的平行线，与y轴交于点G，过点M作MH⊥GN，垂足为H．

可证：△GCN∽△HNM，
∴，
设点N的坐标为（n，），则GN＝n，GC＝，
当△NCM∽△OCB时，，
∵OB＝3，OC＝2，
∴CN∶MN＝OC∶OB＝2∶3，
∴NH＝CG＝，HM＝NG＝n，
∴GH＝GN＋NH＝，
y＝GC＋CO﹣MH＝，
∴点M的坐标为（，），
∵点M在直线BC上，
∴＝，
解得：n＝0（舍去）或，
点N的横坐标为．
【点评】此题考查了二次函数知识，利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值，相似三角形的性质，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
15．(1)
(2)(1，-6)
(3)存在，点Q的坐标为（1，-4）或（1，-6）

【分析】（1）将点，代入，求出的值，进而可得抛物线解析式；
（2）设，则， ，则，，根据，即，求出满足要求的的值，进而可得点P的坐标；
（3）依题意联立方程得，求出满足要求的的值，进而可得点C坐标为（3，-4），由勾股定理求，由题意知，，，,，求出的值，根据，△QCE与△EDA相似，可知分两种情况求解：①当时，△EQC≌△EDA，，求出点Q的坐标；②当时，△ECQ∽△EDA，则，求出的值，进而根据，求出点Q的坐标．
【解析】（1）解：将点，代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设，则， ，
∴，，
∵，
∴，
解得，，，
将代入，
∴点P的坐标为．
（3）解：存在，理由如下；
∵直线与抛物线交于A、C两点，
∴联立方程得：，
解得，
∴点C坐标为（3，-4），
由勾股定理得，，
由题意知，，，
∴,，
∴，，
∵，△QCE与△EDA相似，分两种情况求解：
①当时，
∵，
∴△EQC≌△EDA，
∴，
∴点Q的坐标为（1，-4）；
②当时，
∵△ECQ∽△EDA，
∴，即，
解得，
∴，
∴点Q的坐标为（1，-6）；
综上所述，当点Q的坐标为（1，-4）或（1，-6）时，△ECQ与△EDA相似．
【点评】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综合，勾股定理等知识．解题的关键在于对二次函数，相似三角形知识的熟练掌握与灵活运用．
16．(1)；
(2)
(3)存在，或或或或或

【分析】（1）直接根据解析式即可求出B，C的坐标；
（2）先根据中点坐标公式求出，再利用待定系数法，即可求解；
（3）根据点与点关于该抛物线的对称轴对称．，可得，，设，再根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标．
（1）
解：∵，
令，得，
∴，
令，得，
解得：，，
∴；
（2）
解∶ 由（1）得，
∵的中点为点，，
∴点坐标为，即，
设直线的表达式为，
由，得：
，解得，
∴直线的表达式为；
（3）
解：存在点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称．，
∴，，
∵，
∴，

根据题意得：，
设，
∴当时，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴或．
∴当时，，
∴，
∴，即：，
解得：，，，
∴或或或．
∴存在点坐标为或或或或或
【点评】本题主要考查二次函数的性质，相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)存在，的值为或；直角三角形或等腰三角形

【分析】（1）将A（-3，0），C （0，4）代入抛物线解析式，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点Q的坐标，即可得到PQ的长；
（3）由于∠QFC和∠AEP都是直角，F和E对应，则若以Q、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△CFQ∽△PEA，②△QFC∽△PEA，可分别用含A的代数式表示出AE、EP、CF、QF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形的判定判断出△PCQ的形状．
（1）
因为抛物线经过点，．
所以，
解得，
因此抛物线的解析式为；
（2）
设直线的解析式为，
因为，．
所以，
解得，
所以直线的解折式为．
因为直线交于点，
所以点的坐标为，
因为点的横坐标为，点在抛物线上，
所以点的坐标为，
所以，
即．
（3）
在（2）的条件下，连结，在上方的抛物线部分存在这样的点使得以
、、为顶点的三角形和相似，理由如下：
由题意，可得，，．
．
若以、、为顶点的三角形和相似，分两种情况：
情况①：若，则，
即，
因为，，所以．
因为，所以，
因为，所以．
在中，因为，所以，
即，因此为直角三角形．
情况②：若，则，
即，
因为，，所以．
因为，所以，
因为，所以．
于是，即为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点使以、、为顶点的三角形和相似．此时的值为或，为直角三角形或等腰三角形．
【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时要分类讨论以免漏解．
18．(1)
(2)
(3)存在，点H的坐标为或

【分析】(1)根据点C， B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
(2) 设正方形的边长为，则， 利用正方形的性质可得出关于c的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(3)过点D作DM⊥y轴于点M．①若△OAD∽△CBA，根据相似三角形的性质得，即可求出H点横坐标为．将代入中，得，即可求出H坐标，②若△OAD∽△ABC，根据正方形的性质解得AD，，即求出H点横坐标为．将代入中，即可求出点H坐标．
(1)
解：将点，点代入中，
得，解得，
∴函数的解析式为．
(2)
设正方形的边长为，则，
把代入，得，解得（负数舍去），
∴．
(3)
存在，点H的坐标为或．
如图，过点D作DM⊥y轴于点M．

∵OA＝OB＝4，
∴∠OAD＝∠CBA＝45°，．
若△OAD∽△CBA，则，即，
解得，
∴，即H点横坐标为．
将代入中，得，
∴点H坐标为．
若△OAD∽△ABC，
则，
即，
解得，  
∴，即H点横坐标为．
将代入中，
得，
∴点H坐标为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、等腰直角三角形以及相似三角形的性质，解题的关键是，根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用正方形的性质，找出关于x的一元二次方程；