2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度(含答案)

这是一份2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度(含答案)，共48页。试卷主要包含了如图，抛物线y=-0，如图1，点A为抛物线C1等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度
1．如图，抛物线交x轴于，两点，顶点B的纵坐标为4．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)若点C是抛物线上异于原点O的一点，且满足，试判断的形状，并说明理由．
(3)在⑵的条件下，若抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标．

2．如图，抛物线y=-0．5+bx+3，与x轴交于点B(﹣2，0)和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
(3)连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．
3．如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中A在y轴上，点B的横坐标为4，P为抛物线上一动点，过点P作PC垂直于AB，垂足为C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在直线AB上方的抛物线上，设P的横坐标为m，用m的代数式表示线段PC的长，并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标.
(3)若点P是抛物线上任意一点，且满足0°＜∠PAB≤45°．请直接写出：
①点P的横坐标的取值范围；
②纵坐标为整数点P为“巧点”，“巧点”的个数．

4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与轴交于点C．

(1)如图１，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若时，求点P的横坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH=∠FKH，，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长.
5．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3,0），将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．

（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且，求点P的坐标；
（3）连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
(1)求点M、A、B坐标；
(2)连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．

7．如图，直线y＝x＋m与抛物线y＝x2－2x＋l交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）．
(1)设抛物线的顶点为B，对称轴l与直线y＝x＋m的交点为C，连结BM、BN，若S△MBC＝S△NBC，求直线MN的解析式；
(2)在(1)条件下，已知点P(t，0)为x轴上的一个动点，
①若△PMN为直角三角形，求点P的坐标．
②若∠MPN>90°，则t的取值范围是 ．

8．平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3,0），（0,3），对称轴直线交轴于点E,点D为顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且,，求点P的坐标；
（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标.

9．抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第二象限的抛物线上，求点关于直线的对称点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，点为y轴
上一点，且，求出点的坐标．
10．如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．
(1)求点C的坐标；
(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4：3，求a的值；
(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．


图1                                                         图2
11．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=x2﹣mx+m2+m﹣2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ=45°，求点P的坐标；
②抛物线与直线y=2交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ=45°，求n的取值范围．

12．如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
求此抛物线的解析式；
已知点在第四象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标．
在的条件下，连接，问在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

13．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

14．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；
①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

16．在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-bx+c的图象经过点A，点B（1，0）和点C（0，3）．点D是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式和点D的坐标
（2）直线y=kx+n（k≠0）与抛物线交于点M，N，当△CMN的面积被y轴平分时，求k和n应满足的条件
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点E，将抛物线向下平移m（m＞0）个单位，平移后抛物线与y轴交于点C′，连接DC′，OD，是否存在OD平分∠C′DE的情况？若存在，求出m的值；若不荐在，请说明理由．

17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C（0，﹣x2），且x1＜0＜x2，tan∠OAC＝3，△ABC的面积为6
（1）求抛物线的解析式．
（2）D为抛物线上一点，E为抛物线的对称轴上一点，若以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．
（3）抛物线上是否存在一点P，使得∠APB＝∠ACO成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．已知抛物线经过和两点，与轴交于点，点为第一象限抛物线上一动点，

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，交于点，当时，求出点的坐标；
(3)如图2，点的坐标为，点为轴正半轴上一点，，连接，是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.





参考答案：
1．(1)抛物线的解析式是；
(2)是直角三角形，理由见解析；
(3)点D的坐标为或．

【分析】（1）根据抛物线交x轴于，两点，顶点B的纵坐标为4，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）设，由勾股定理得点，则，，因此是直角三角形；
（3）作轴于E，根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点D．中，，可得直线上方的点D即为点，由点B关于点O的对称点，且，可得，将直线解析式为代入抛物线，可得点D的坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，顶点B的纵坐标为4，
∴，
解得．
故抛物线的解析式是；
（2）解：是直角三角形．
如图1，设，

由勾股定理得：，，，
∵，
∴化简得，
代入，
解得，
即点，
则，，
因此是直角三角形．
（3）解：如图2，作轴于E，则．

∵，
∴，
∵，
∴，
只要经过点C，在的上方与下方各作一条直线，使所作直线与所成锐角的正切值为，则直线与抛物线的交点即为所求点D．
∵中，，
∴直线上方的点D即为点，
∵点B关于点O的对称点，且，
∴，
∵直线解析式为，
∴代入抛物线，
解得（舍去），
当时，．
则．
综上所述，点D的坐标为或．
【点评】本题主要考查了二次函数综合题，涉及运用待定系数法求抛物线解析式、直角三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识，运用图形结合的思想是解题的关键．
2．(1)抛物线的解析式为y=-0．5+0．5x+3；
(2)点M的坐标为(2，0)或(−2，0)；
(3)点M的坐标为(0，10)或(0，−10)．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，首先证明△AOC是等腰直角三角形，由OMDE，推出△BMO∽△BDE，要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），可得，解方程即可；
（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．首先证明∠FAB=∠OMB，设M（0，n），由△AFB∽△MOB，得，由此列出方程即可解决问题．
【解析】（1）解：将点B（-2，0）代入抛物线的解析式y=-0．5+bx+3得
-0．5×-2b+3=0，
∴b=0．5，
∴抛物线的解析式为y=-0．5+0．5x+3；
（2）解：如图1中，

∵抛物线的解析式为y=-0．5+0．5x+3，与x轴交于B（-2，0），A（0，3），C（3，0），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OMDE，
∴△BMO∽△BDE，
∵要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，
∴只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），
∴，
∴，
∴m=±2，
∴点M的坐标为（0，2）或（0，-2）；
（3）解：如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．

∵OA=OC，∠AOC=∠GAC=90°，
∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45°，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45°，
∴∠FAB=∠OMB，设M（0，n），
∵∠AFB=∠BOM=90°，
∴△AFB∽△MOB，
∴，
∵FB=，AF=，OB=2，
∴，
∴n=±10，
∴点M的坐标为（0，10）或（0，-10），
∴AM=7或13．
【点评】本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题．
3．(1)
(2)线段PC的最大值为，
(3) 且  ‚7个

【分析】（1）求出A、B两点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题；
（2）作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．设P（m，－m2＋m＋1），则E（m，m＋1），PE＝－m2＋4m，由△PCE∽△DOA，可得，构建二次函数后即可解决问题；
（3）①如图2中，取点F（1，4），连接AF、FB，首先证明△FAB是等腰直角三角形，推出∠FAB＝45°，设直线AF交抛物线于P，可得直线AF的解析式为y＝3x＋1，利用方程组求出∠PAB＝45°时，点P的坐标即可解决问题，再根据对称性求出P′A⊥PA时的点P′的坐标即可解决问题；②观察图象可知点P的纵坐标的范围3＜yp≤或－≤yP＜3，所以整数yp为4，5，6，0，1，2，又点P的横坐标≤m＜4．推出对应的点P有7个．
（1）
解：由题意A（0，1），B（4，3），
把A（0，1），B（4，3）代入y＝－x2＋bx＋c得到
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1．
（2）
解：作PF⊥x轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D．

由题意D（－2，0），A（0，1），
设P（m，－m2＋m＋1），则E（m，m＋1），PE＝－m2＋4m，0＜m＜4,
∴OA＝1，OD＝2，AD＝，
∵PF∥OA，
∴∠DAO＝∠DEF＝∠PEC，
∵∠AOD＝∠PCE＝90°，
∴△PCE∽△DOA，
∴，
∴，
∴PC＝－（m2－4m），
∵PC＝－（m2－4m）＝－（m－2）2＋，
∵－＜0，
∴m＝2时，PC有最大值．最大值为，此时P（2，6）；
（3）
解：①如图2中，取点F（1，4），连接AF、FB，

∵A（0，1），B（4，3），
∴AF＝，FB＝，AB＝，
∴AF＝FB，AF2＋BF2＝AB2，
∴△FAB是等腰直角三角形，
∴∠FAB＝45°，设直线AF交抛物线于P，
∴直线AF的解析式为y＝3x＋1，
由
解得或，
∵A（0，1），
∴P（，），
当P′A⊥PA时，
直线P′A的解析式为y＝－x＋1，
∴，解得或，
∴P′（，－）
∴观察图象可知，满足条件0°＜∠PAB≤45°的点P的横坐标≤m＜4或4＜m≤．
②观察图象可知点P的纵坐标的范围3＜yp≤或－≤yP＜3
∴整数yp为4，5，6，0，1，2，又点P的横坐标≤m＜4或4＜m≤．
∴对应的点P有7个，
∴“巧点”的个数为7个．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．(1)
(2)6
(3)7

【分析】（1）通过解方程可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入中求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设设P（m，），则，通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到，然后解方程求出m即可得到点P的横坐标；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），则可得到-10a=6-1，解得a=-，再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2，接着证明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，则K（6，2），然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x-4，再通过解方程组得到Q（-1，-5），利用P、Q点的坐标可判断PQx 轴，于是可得到QP=7．
（1）
解：当y=0时，
∴，
∴
解得，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵△ABC的面积为3，
∴，
解得OC=2，
∴C（0，-2），
把C（0，-2）代入中得4a=-2，解得a=-，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点D，如图2所示，
设P（m，），则，

∵PH⊥AB，CD⊥PH，
∴ABCD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠BCP=2∠ABC，
∴∠PCD=∠ABC，
又∵∠PDC=∠COB=90°，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，
∴PD：OC=CD：OB，即，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的横坐标为6；
（3）
解：过点F作FG⊥PK于点G，如图3所示，
∵AK=FK，
∴∠KAF=∠KFA，
∵∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠FKP+∠KPF，
∵∠KAH=∠FKH，
∴∠PAH=∠KPA，
∴HA=HP，
∴△AHP为等腰直角三角形，
∴∠HPA=45°，
由（2）得点P的坐标为（6，10a），
∴，
∵HA=HP，
∴-10a=6-1，
解得a=-，
在Rt△PFG中，∵，∠FPG=45°，
∴FG=PG=PF=2，
在△AKH和△KFG中，
，
∴△AKH≌△KFG（AAS），

∴KH=FG=2，
∴K（6，2），
设直线KB的解析式为y=mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得
，
解得，
∴直线KB的解析式为y=x-4，
当a=-时，抛物线的解析式为，
，
联立，
解得或（舍去），
∴Q（-1，-5），
∵P（6，-5），
∴PQx 轴，
∴QP=7．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用全等三角形的知识证明线段相等和相似比计算线段的长．
5．（1）y=－x+3；y=－4x+3；（2）（2,2）或（2，－2）；（3）45°
【分析】（1）根据平移得出点C的坐标，然后设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据二次函数得出点D和点A的坐标，然后得出OB、OC、OA和AB的长度，得出△OBC为等腰直角三角形，则∠OBC=45°，CB的长度为3，然后得出△AEC和△AFP相似得出PF的长度，从而得出点P的坐标；
（3）作点A（1,0）关于y轴的对称点A′，根据等腰直角三角形的性质得出角度．
【解析】解：（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+3．
∵B（3，0）在直线BC上，∴3k+3=0．
解得k=－1，直线BC的解析式为y=－x+3．
∵抛物线过点，
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）由． 可得D（2，－1），A（1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形．∴∠OBC=45°，CB=3．
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴AF=AB=1．
过点A作AE于点E．∴∠AEB=90°．可得BE=AE=，CE=2．
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
．，．解得PF=2．
∵点P在抛物线的对称轴上，  
∴点P的坐标为（2,2）或（2，－2）．
（3）作点A（1,0）关于y轴的对称点A′，则A′（-1，0）
连结A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OC A′=∠OCA
由勾股定理可得CD2=20， A′D2=10，
又 A′C2=10 ∴ A′D2+ A′C2=CD2
∴△ A′DC是等腰直角三角形，∠C A′D=90º，
∴∠DC A′=45º，∴∠OC A′+∠OCD=45º，
∴∠OCA+∠OCD=45º，
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45º．

【点评】本题考查勾股定理、二次函数的性质、三角形相似．
6．(1) M（1，-3），A（0，-2），B（3，1）；(2)；(3) 点P的坐标为（3，1）或（，）．
【分析】（1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A、B坐标即可．
（2）首先证明△ABE∽△AMF，推出的值，∠BAM=90°，根据tan∠ABM=即可解决问题．
（3）分点P在x轴上方或下方两种情形解决问题．
【解析】解：（1）∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）2-3，
∴顶点M（1，-3），
令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，
∴点A（0，-2），
x=3时，y=（3-1）2-3=4-3=1，
∴点B（3，1），
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴，
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，
∴tan∠ABM，
（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，
∴设点P（x，x2-2x-2），
①点P在x轴的上方时，，
整理得，3x2-7x-6=0，
解得x1=-（舍去），x2=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②点P在x轴下方时，，
整理得，3x2-5x-6=0，
解得x1=（舍去），x2=，x=时，y=x2-2x-2=，
∴点P的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，）．

【点评】本题考查了二次函数的平移变换，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，属于二次函数的综合题，恰当分类是解题的关键．
7．（1）直线MN的解析式为y=x+1；
（2）①若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，P1的坐标为（，0）；
若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，P2的坐标为（，0）；
若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，P3的坐标为（，0）；
②＜t＜．
【解析】试题分析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E，根据已知条件可求出m的值，进而得到直线解析式；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F，因为直角三角形的斜边不确定，所以要分三种情况分别讨论，求出符合题意的t值，即可求出P的坐标；②由①可知当若∠MPN=90°，P的坐标，进而可求出∠MPN＞90°，则t的取值范围．
试题解析：（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得x2﹣5x+2﹣2m=0，
则x1+x2=5①，x1•x2=2﹣2m②．
过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E．
∵S△MBC=S△NBC，
∴MD=NE，即2﹣x1=（x2﹣2），
∴x1=﹣x2+ ③，
③代入①，得x2=5，x1=0，
代入②，得m=1，
∴直线MN的解析式为y=x+1；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F（﹣2，0）．
若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，
∴，
∴t=，
∴P1的坐标为（，0）；
若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，
∴，
∴t=，
∴P2的坐标为（，0）；
若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，
∴，
∴2t2﹣10t+7=0，
解得：t=，
∴P3的坐标为（，0）；
②由①可知P3的坐标为（，0），
∵∠MPN＞90°，
∴＜t＜．
．
考点：二次函数综合题．
8．（1）y=-x2-2x+3；（2）（-4，-5）或（1，0）；（3）（，）．
【解析】试题分析：（1）由已知中点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴为直线x=-1，得出B点坐标，进而利用交点式求出即可求出抛物线的解析式；
（2）由已知中C点坐标，再假设出P点坐标，可求出直线PC解析式，求出R点坐标，进而根据S△PAC=2S△DAC，可得点P的坐标；
（3）过点C作CH⊥DE交DE于点H，设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，由∠MAC=∠ADE，可得N点坐标，进而求出CN的方程，联立直线与抛物线方程可得M点坐标．
（1）由对称轴x=-1，A（-3，0），可得B点坐标（1，0）
设y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a，
解得：a=-1，
所求解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）如图：y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，顶点D（-1，4），

由A（-3，0）、C（0，3），得直线AC解析式为y=x+3；
设对称轴交AC于点G，则G（-1，2），∴S△DAC=（4-2）×3=3，
设P点（m，-m2-2m+3），
设PC解析式为：y=qx+p，
∴，
解得：k=-m-2，
∴PC解析式为：y=（-m-2）x+3，
设PC与x轴交于点R，
∴R（，0），
∴AR=3+，
∴S△APR+S△CAR=（3+）×（m2+2m-3）+×（3+）×3=+，
则S△PAC=+，
由S△PAC=2S△DAC，∴+=2×3，
解得：m1=-4，m2=1，
把m1=-4，m2=1分别代入y=-x2-2x+3中，
∴y1=-5，y2=0，
∴P点坐标为（-4，-5）或（1，0）；
（3）由以上可得出：D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），
如备用图：过点C作CH⊥DE交DE于点H，

∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=，AC=3，△ACD为直角三角形，且tan∠DAC=．
设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=．
∵A（-3，0），
∴ON=1，即N（0，1），
设直线CN解析式为：y=dx+h
∴，
解得：，
∴直线CN解析式为y=x+1，
联立方程
得：x=-3（舍）或x=，
∴点M的坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
9．(1) y=-x2-3x+4(2)(0,1)(3) (0,)
【解析】（1） 因为抛物线，经过A（1,0）C（0,4）
把各点代入抛物线得出
a+b-4a=0
-4a=4
解得：a=1，b=-3
故解析式是：
（2） 因为点D（m，m+1）在该抛物线上，故

故m=3，
故D（3,4）
因为抛物线与x轴交于另一点B
故B（4,0）
所以直线BC的方程是：y=-x+4
故点D关于直线的对称点的坐标是（1,0）
（3） 由上解知，直线BD的方程是
y=-4x+16
由图分析得出，直线BD的倾斜角是
故BP直线的方程为：
故P（0，）
考点：二次函数，一次函数的求法
点评：此类试题属于难度较小的试题，需要考生对此类试题熟练把握，进而学会分析各类函数的解析式的解法
10．(1)C（4，6）．
(2)或 或
(3)2

【分析】（1）由点A在抛物线C1上求得点A的坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标．
（2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2．把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，即可得等式
FG=，解之即可得a的值．
（3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C2的解析式，求得t和m的关系．求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的结论．从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值．
（1）
解：∵当x=0时，y＝－2．
∴A（0，－2）．
设直线AB的解析式为，则，
解得．
∴直线AB的解析式为．
∵点C是直线AB与抛物线C1的交点，
∴，
解得或（舍去）．
∴C（4，6）．
（2）
解：∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，

∴，
解得，
∴点D的坐标为（3，4），
令，，
∴点E的坐标为（3，），
∴DE=．
∵FG：DE＝4∶3，
∴FG=2．
∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，
∴，，
∴FG=．
解得或或．
（3）
解：设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H．

设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为．
∴．∴．
∴．
∴P（0，）．
∵点N是直线AB与抛物线C2的交点，
∴，
解得或（舍去）．
∴N（）．
∴NQ=，MQ=．
∴NQ=MQ．
∴∠NMQ=45°．
∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形．
∴MO=TO，HT=HN．
∴OT=－t，，．
∵PN平分∠MNQ，
∴∠TNP=∠QNP，
∵TP⊥x轴，NQ⊥x轴，
∴TP∥NQ，
∴∠TPN=∠QNP=∠TNP
∴PT=NT．
∴，解得，（舍去）．
∴．
∴ ．
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．(1) y=（x﹣2）2 ;(2) ①（3+，3+）或（3﹣，3﹣）;②﹣6≤n≤2.
【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，， 因顶点在x轴上，可得m-2=0，即m=2，即可求得函数的解析式；
（2）由∠POQ=45°可知点P是直线y=x与抛物线的交点，令，解得x的值即可得点P的坐标；
（3）当E点移动到点（2,2）时，n=2，当F点移动到点（-2,2）时，n=-6，由图象可知，符合题意的n的取值范围是 .
【解析】（1）.    
由题意，可得m-2=0．
∴．
∴．
（2）①由题意得，点P是直线与抛物线的交点.
∴.  
解得  ，.
∴P点坐标为或 .   
②当E点移动到点（2,2）时，n=2.
当F点移动到点（-2,2）时，n=-6.                 
由图象可知，符合题意的n的取值范围是 .    

12． ；点关于直线对称的点；存在．，或．
【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，-3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx-3a中，列方程组求a、b的值即可；
（2）将点D（m，-m-1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；
（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB=∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，
分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．
【解析】将、代入抛物线中，
得，
解得，
∴；
将点代入中，得
，
解得或，
∵点在第四象限，
∴，
∵直线解析式为，
∴，，，
∴点关于直线对称的点；
存在．
过点作轴，垂足为，交直线于点（如图），

∵，
∴，
又∵轴，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
设与相交于点，
易求解析式为：，
由，得到关于的方程，解方程后，得；
于是，点坐标为：；
于是解析式为：，
令方程中，，则，
所以，点坐标为：，
∴，或．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．
13．（1）二次函数的表达式为：；（2）4；（3）或.
【分析】（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，设，则.用含有a的代数式表示出的长，再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC，过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC两种情况求点D的横坐标即可.
【解析】（1）直线，当时，；当时，，
∴，.
∵二次函数的图象经过，两点，
∴解得
∴二次函数的表达式为：.    
（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，

依题意设，则.
其中，
∴，  
∴
，
，
，
，
，
  .                        
∵，∴抛物线开口向下．
又∵，
∴当时，有最大值，  ；
（3）或   
在轴上取点，使，则.
过点作∥交延长线于点，过点作轴于点，

设点的坐标为，则，
.
在中，，解得.∴.
当时，
∴.
∴.                                         
易证∽.
∴.
∴,.
∴.
∵，
∴直线的函数表达式为：.
由，解得：，（舍）.
∴点的横坐标为2.
②当时，方法同①，可确定点的横坐标为.
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（1）抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）①当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1；②存在点Q坐标为（，）.
【解析】分析：（1）应用对称轴方程、根与系数关系求b，c
（2）①设出点P坐标表示△BDF面积，求最大值；
②利用勾股定理逆定理，证明∠BDC=90°，则QC⊥y轴，问题可解．
解析：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1
∴-＝1
∴b=2
由一元二次方程根与系数关系：
x1+x2=-，x1x2=，
∴，
∴，
则c=-3，
∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3；
（2）由（1）点D坐标为（1，-4），
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴点B坐标为（3，0），
①设点F坐标为（a，b），
∴△BDF的面积S=×（4-b）（a-1）+（-b）（3-a）-×2×4，
整理的S=2a-b-6，
∵b=a2-2a-3，
∴S=2a-（a2-2a-3）-6=-a2+4a-3，
∵a=-1＜0，
∴当a=2时，S最大=-4+8-3=1，
②存在.
如图，由B，C，D可知，
BC=，CD=，BD=，
∵，即，
∴，
∴，
∵点Q再线段BD上，所以设点Q的坐标为，
过点Q作QH⊥y轴于点H，
当时，，
此时，
解得，
∴，
∴点Q的坐标为.

点评：本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及勾股定理逆定理．在求△BDF面积时，合理设出未知数可以简化计算．
15．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
解析：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM=AB=×4=2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，
综上所述，P点的横坐标为4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣，
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3=
∴x=，
∴M2（，﹣）.
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
16．（1）y=-x2-2x+3，点D（-1，4）；（2）k=-2，n＜3；（3）存在，m=．
【分析】（1）利用待定系数法求得解析式，利用二次函数的顶点坐标公式即可求得点D的坐标；
（2）联立直线与抛物线的解析式得出关于x的一元二次方程，根据要使y轴平分△CMN的面积，则M、N两点的横坐标互为相反数，根据根与系数的关系即可得出k值；再根据而点H在点C之下这一条件，可得出n的取值范围；
（3）解答本类题目的总体思路在于先假设存在，若能求出m的值则假设成立，否则不成立；若存在，首先根据角平分线的性质，得出OH= 1，DH= 4；进而设HG=a，由△DOG的面积建立关于a的方程组，解之可得点G的坐标，进而求出直线DG的表达式和OC′，与OC作差，即可求出m的值，说明存在OD平分∠C′DE的情况.
【解析】（1）y=-x2-bx+c=-x2-bx+3，将点B坐标代入上式得：0=-1-b+3，
解得：b=2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3，
则点A（-3，0）、点D（-1，4）；
（2）设点M、N的横坐标为x1、x2，

当△CMN的面积被y轴平分时，则x1+x2=0，
将二次函数表达式与直线表达式联立并整理得：
x2+（2+k）x+（n-3）=0，
x1+x2=-（2+k）=0，即k=-2，
而点H在点C之下，故n＜3，
故：k=-2，n＜3；
（3）存在，理由：
OD平分∠C′DE，即：∠EDO=∠ODC′，
延长DC′交x轴于点G，过点O作OH⊥DG交于H，

∵∠EDO=∠ODC′，
∴OH=OE=1，DH=DE=4，
设HG=a，则OG=，
S△DOG=OG×DE=OH×GD，
即：4=1×（4+a），
解得：a=，即点G（，0），
∴直线DG的表达式为：y=-x+，
即OC′=，
m=3-=．
【点评】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像与一次函数图像的交点问题，二次函数的图像与几何变换等知识，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.
17．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E1 （1，8），E2 （1，2），E3 （1，0）；（3）P1，．
【分析】（1）由条件可求得A、B、C三点的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）画出图形，分BC是平行四边形的一条边或一条对角线两种情况，分别求解即可；
（3）以AB为底边，作顶角为2∠ACO的等腰三角形MAB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，与抛物线的交点为P满足∠APB＝∠ACO，求得M（1，6），由MA＝MB，可求出点P的坐标．
【解析】解：（1）由题意得，x2＝﹣3x1，
∵S△ABC＝6，
∴，
∴，
∵x1＜0＜x2，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①如图1，如图2，若BC为平行四边形的一边，则DE∥BC，且DE＝BC，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点E的横坐标为1，
∴点D的横坐标为﹣2或4，
∴D1 （﹣2，5），D2 （4，5），
∴E1 （1，8），E2 （1，2），
②如图3，若BC为平行四边形的一条对角线，则BE∥CD，

设BC、DE交于点F，则点F的横坐标为，
∴点D的横坐标为2，
∴D（2，﹣3），
∴CD∥x轴，
∴点E在x轴上，
∴E3 （1，0）．
（3）存在点P的坐标使得∠APB＝∠ACO成立，如图4，

以AB为底边，作顶角为2∠ACO的等腰三角形MAB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，与抛物线的交点为P满足∠APB＝∠ACO，
当点M在AB上方时，易知M（1，6）．
设P（x，y），其中y＝x2﹣2x﹣3，
由MP＝MA，得（x﹣1）2+（y﹣6）2＝（1+1）2+62，
即x2﹣2x+1+y2﹣12y+36＝40，
∴y+3+1+y2﹣12y＝4，
∴y2﹣11y＝0，
∴y＝0（舍去）或y＝11，
由x2﹣2x﹣3＝11解得，
∴ ，．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形判定和性质，解一元二次方程等，分类讨论思想的运用是解题的关键．
18．(1)；(2)；(3)
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，即可求解；
（2）S△CPD：S△BPD=1：2，即CD：BD=1：2，则，即可求解；
（3）因，和，可求得，则直线EP的表达式为：y=x-1，即可求解．
【解析】解：(1)将和代入得：

解得：
∴抛物线的解析式为：.
(2)作轴，垂足为，

∵
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴直线为：，
由得：
(3)设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴直线为：，
由得：，
∵点在第一象限，
∴.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等知识点，难度不大．